1610915390-52cbd25d82d9110658c00fb8dfb6bccc (824753), страница 17
Текст из файла (страница 17)
а Дуга АС эллипса и отрезок ВС Рис. 7.6 4. По формуле (3) находим ( , )'= 5 з 1 з 1 9 — х — — х' — 4х) = —. а 2 3 ! 1 2 Рис. 7.7 касательной являются гра- Гл. Хб Определенный интеграл и его приложения фиками функций х = хг(у) = а)» 1 — — ,, у ГР х = хг(у) = а(2 — У )., и О «, б'~3.
2 По формуле 13) имеем е з72 = /' (' Ь)-х(у)) у интеграл от функции х21У) вычисляем непосредственно е~ 372 е 7".172 дг = / хг(у) »ХУ = / а(2 — ) ау = аб. Интеграл от функции хг(у) находим с помощью подстановки = бгйп1, О < 1 < н,»3» Ь»»3/2 я/3 ,Хг = / хг(у) Ну = аб / сов21йй = ( — + — )аб. о о В результате получаем Я =,Хг — Хг = аб(ЗтХЗ вЂ” п)»»6. а Пример 3. На гиперболе хг — уг = аг дана точка ЛХ(хо,уо). Найти площадь криволинейного треугольника ОАЛХ (рис. 7.8).
а Перейдем к полярным координатам по формулам о 1 Х 2 Х а Х а»» а 1 1-~1йо 2 Х 2 Х сов27» 4 1 — 1ио' о о где бда = уо»»хо Отсюда, учитывая, что хе — уог = а-, получаем а', (хе г- 1»»») а', хс Ч- у»» Н = — 1п = — 1п 4 аг 2 а П ример 4. Найти площадь фигуры, ограниченной кривой х = г сов и», у = г вш а».
Тогда уравнение гиперболы примет вид г 2 а а Рис. 7,8 сов' 3» — гйпг»р сов 23» Площадь треугольника ОАЛХ находим по формуле (4)» 97. Вегнисление илощадей илоских фигур и длин кривых 127 Отсюда к72 Я = — / (сов 1яп 1+ яп 1сов 1) Н1 = — / вш 1сов 1г(1 = Заб Г л . 2 , л г ЗаЬ Г 2,/ 2,/ о о е72 г12 Заб г . 2 ЗаЬ г Зкаб 8 ./ = — / яп 21г11 = — / (1 — сов41) г11 = —. 1б ./ 32 о о Следовательно, площадь данной фигуры равна Зка12/8.
а Пример 5. Найти площадь фигуры, ограниченной кривой х = У У=ух(х) = авшбсов21, д = асовбяп 1, 0 < 1 < я/2 (рис. 7АО), а Пусть при 1 = 11 Е (О;.г/2) функция х(1) = аяп1сов 1 имеет наибольшее значение хг. Нижняя дуга ОА кривой является графиком функции у = уг(х), х 6 [О;х11, заданной параметрически о м лами 'У=уг( ) А, О Ф р Рис. 7.19 х = х(1) = а вшбсов-1, у = у(1) = а сов1вгп 1 при 1 Е [О;11].
Верхггяя дуга ОА является графиком функции у = л Кривая (рис. 7.9) симметрична отно- У сительно осой Ох и Оу. Найдем плошадь четверти данной фигуры, лежащей в первом квадранте, т. е. криволинейного треугольника ОАВ. Зададим кривую параметрически; х = авшл1, у = Ьсовз1, О ( 1 ( 2к, так что Ф х(0) = О, х(гг/2) = а. Отрезку [О;к/2[ соответствует дуга АВ кривой. Площадь треугольника ОАВ по формуле (2) равна к72 5 = / у(1)х'(1) г11. (9) о Вычисление атой площади можно упрос- Рис. 7.9 тить следующим образом.
Применяя к (9) е12 формулу интегрирования по частям и учитывая, что у(1)х(1)[ = О., получим л72 Я = — / х(1)у'(1) г11. (10) о Сложив равенства (9) и (10), найдем к 72 В = —, / (у(1)х'(1) — ' (1)11'(1)~)д1 о Гл. 2С Определенный интеграл и ега приложения = дз[х), х Е [О;х1), заданной параметрически теми же формулами х = х[1), д = д[1), но уже при 1 Е [1~, .и/2). Площадь фигуры ОВАА1 и криволинейного треугольника О.4А1 находим по формуле [2). Площадь данной фигуры равна разности этих плошадей: и 5 = / у[1)х'Я е11 — / д[е)х'[т) е11, т. е я7а Я = — /' д(й)х'(т) й.
[12) о Формула [12) аналогична формуле [9) из примера 4, но в данном случае рассматриваемая фигура ограничена замкнутой кривой. Часто вычисления по форл1улам типа формулы [12) можно упростить таким же способом, как и в примере 4. Применяя к [12) формулу интегрирования по частям и замечая, что д(1)х[1)[„~ =О, приходим к формуле яра Я = / х[г)д'[г) е1г.
(13) о Складывая [12) и [13) получаем формулу, аналогичную [11), я/а '= 4 У [*[1) '[') -.«). «)) (14) о В данном случае вычислении по формуле [14) значительно проще, чем по формулам (12) или [13): ,, я/з Я = — ) [з1п1соз 1[2з1п1соз 1 — зиг 1)— а р . а . з 2 л' о , я/з — созгзьпн е(соа 1 — 2гйп йсоай)) гИ = — ~ гйп гсоз Хе11 = —.
а г,,з .з а р. а д ии 2 л' 32 о П р и м е р 6. Найти периметр криволинейного треугольника, ограниченного дугой окружности ха -Ь да = 2 и графиком функЦии д = Хге[х[. а Находим координаты вершин А и В [рис. 7.11) как точек пересечения окружности и графика функции д = ~/[х[: А( — 1;1), В[1; 1). Дугу АВ окружности зададим явно в виде д = ъ'2 — х', [х[(1.
Рнс. 731 97. Вы щсление площадей плоских фигур и длин кривых 129 и длину ес дуги АВ найдем по формуле [13): 1 1 (' Г2, . х з и е = ~ ос1+у'зевах = / ~/, Йх = ч"2агсзш— д 2 — х ъ'2 — с с/2 -1 — 1 [этот результат сразу получаетсн и по известной формуле ез — — Ло, где в данном случае В = сс2, а = х/2). Длины зг и зз дуг графика ОВ и ОА равны в силу симметрии этих дуг относительно оси Оу. Найдем длину дуги ОВ. По условию она задана формулой у = т(х, О < х < 1, но производная функции у = тсср не ограничена в окрестности х = О. Приняв за незанисимое переменное у, зададим дугу ОВ уравнением х = уз, О < у < 1. Тогда х' = 2у, и по формуле, аналогичной [7), получим з ' = ~Я+ "1у= ~ Б+Ау" 1у. о о 1 Полагая у = — зйз, находим 2 асеи 2 зг = — / сЬ~зс11 = — ( — зЬ22+ 1) = — [29'5+1п[2+ ъ'5)).
о и 1 Периметр треугольника равен зс + 2зг = — + иГ5+ — 1п[2+ ъ'5). а 2 2 П р и м е р 7. Найти радиус окружности с центром в начале координат, которая делит дугу астроиды хгсз Ч уз7з азсз х > О у > О на т1н, У дуги раиной длины. А в Параметризуем дугу астроиды, па- с 1хе'Уе) лагая х = агйпз с, у = а созе 1, О < 2 < х/2, и вычислим по формуле [6) длину дуги р от точки А, соответствующей 1 = О, до и точки, соответствующей 1 = 1о Е [О;л/2) [рис. 7.12): сп з[8о) = ~ Я' + у'з с12 = о се да = За / гйпссоз1ссз = — зш" зо. 2 Рис.
7.12 о Длина з всей дуги АВ [зо = х/2) равна е = За/2. Из условия, что длина дуги АС равна з/3, получаем гйп 1о = 1/3, откуда зшзо = 1!ъ'3, сов зо = т7с2/3 а 2 12 Га г а хо=, уо= -~/-а, [ОС[= „1'хог+у3= —. Гл. 2Ч Определенный интеграл и его приложения 130 В силу симметрии астроиды относительно примой у = т окружность с центром О и радиусом Л = а/х/3 разделит дугу .4В па три равные по длине дуги.
А П р и м е р 8. Найти длину дуги пространственной кривой х = 2ат — ', у = а!п (1 — — 1, 0 < з < <20 < 2а. 2а/' а Возьмем за параметр 1 =;672и, 0 < 1 < йо — — „Йо/2а < 1. Тогда 2 = 2а12 х = 2айу'1 — 12 у = а 1гг(1 — 12) 1 — 21 , 2ай х'=2а, у = — „, 2 лл4ай, Я:Р' и по формуле (ог) находим ге ео Г 2а 1+20 Ла + т/ео е лл I х'2+у'2+ 2'2г11 = / о <Ы ли а1п = а1п . А 1 — 1'-' 1 — го иг2а — игео Пример 9. Выразить длину эллипса тз/25+ уз/9 = 1 через эл- липтическую функцию. А Параметризуем дугу эллипса, лежащую в первом квадранте, полагая х = 5зшй, у = 3 соей, 0 < 1 < гг/2.
Длина ег этой дути равна л22 л/2 /~й' Гр' Л= / 21. 1Ге ~ 1Е1= о лГ2 О л12 — И г 16 . 2 .гйх 25 — 16аш йг1г= 5 / 1 — — яп йг1г=5Е~ — ). 25 'л 5) о о Длина всего эллипса равна 4ег — — 20 Е(4/5). А ЗАДАЧИ Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми (1 — 6). 1.1) у=з|пх, у=О, 0<х(х; 2) у=1/х, д=О, х=а, х=б, а>5>0; 3) у=е л, х=О, у=О, х=а: 4) у=асЬ(т/а), у=О,:г=О, т=хо, 5) у=хо/2, у=2 — Зх/2; 6) у=22 — т-', у=х; 7) д=х — и/2, у=сает, х=О; 8) у=ашх, д=соах, 0<х<и/4; 9) у=х, у=(п/2)япх, т>0:, 10) у = зш2пх, у = япих/х, 0 < х < 1/4; 11) у =е'япх, у=О, х=гг/4.
2.Ц у=ал, у=а, х=О, а>1; 47. Вынисление площадей плоских Яигуд и длин кривых 131 2) гд=(1о8,х), р=О, х=1/а, х=а, а>1; 3) у = а /ъ'а~ — хз, у = 2а, а > 0; 4) у=япгх, у=хяпх, 0<х(п; 5) р =18х, р = (2/3)совх, х = 0; 6) у=-хг, у=хе — 2х — 4; 7) р=1п11+х), у=-хе ', х=1; 8) у = 6хг — 5х+1, у = совах, 0 ( х. (1/2; 9) у=6/(х+5), у=~х~, х> — 2; 10) р = вшгх+ совах, у = О, — и/4 < х < Зп/4. 3.1) у=2хг, у=хе/3; 2) у=х1х — а)г, д=О; 3) у =х — хг, у =хх/à — х; 4) д=вш2х, у=япх, к/3<х<л", 5) у = хг/2, у = 1/11+ хг); 6)„= Г, , д+ в=0, 7) у = ав/1ав + хв), 2ау = хг; 8) у =10/(х~+4), у = (х~+5х+4)Дх'+4): 9) у=1хв — 2х)е', у=О, х>0; 10) у=)х(ве х, (х)=а, а>0.
1) р ахгс р хзе . 2) хв + рг 8 2у хг р > О. 3) д = т/х/(1 + хз)., У = О, х = 1; 4) у = е х)япх(, у = О, кп < х < п1п+1), где и -- заданное целое число; 5) 2у = тг хл -в уг 4у 2у > тг 6) д = 2 — 4хг + 4хг — хл, р = О, х = хг, х = хг, где хг и хг точки максимума данной функции; 7) у=х, у=х о, х=а, а>0, 0<а<1; 8) р=х'", у=хгг", х>0, а>1; 1аЬ)' г 9) у=, '... у=О, х=О, .х=гг. о' сове т -1- ве яп- т ' 5.1) х=рв1р — 1), х=О; 2) уг+х=4, уг — Зх=12; 3) у=1(х, д=х — 2, х=О; 4) хг+уг=2, уз=2х — 1, х>1/2; 5) д = агсяпх, у = агссовх, у = 0; 6) у=х+1, х=япгу, у=О, 0<у<1; 7) у=2л в+1 у=21 *+1 у=15; 8) у=З', д=(9/4)(3 *+1)+8/3, у=9 6.1) у=1/13х), у=О., у=1, х.=О, х=1; 2) у=х, д=1/х, у=10/3 — х, х>1, 3) у=х-', у=х +х — 1, у=5х/2, у(хг; 4) у = ъ'Зх'-', у = т/4 — т'г; 5) хв/4 ~- у'/9 = 1, у = 9х'/32, у < 9х'/32; 6) д=4 *, у= — 1ойлх, у=О, х=О; 7) у=хо, у=х '*, д=О, х=а, о>0, оф1, а>1; Гл.
Гь Определенный интеграл и его приложения 8) у=1п(х+6), У=31пх, х=О, У=О. 7. Найти площадь фигуры, ограниченной осью абсцисс, кривой у = (х — 1)' + 1 и касательной к ней, параллельной прямой 10х— — 2у — 5=0. 8. Найти площадь фигуры, ограниченной параболой у = хг — 2х+ + 3, касательной к ней в точке (3; 6) и осями координат. 9. Найти площадь фигуры, ограниченной данной параболой и касательными к ней, проведенными в точках с абсциссами х2 и хг, если: 1) у=хз+4х+9, х2 = — 3, хе=0; 2) У=4т,— х2+1 х2 =0 то =3 10. При каком значении Ь площадь фигуры, ограниченной параболой д = хе+ ух+ у и прямой у = Ьх -Ь Ь, будет наименьшей 1р, 95 Ь = = сопе1, Ь > у) Г 11. Доказать, что площадь фигуры, ограниченной прямыми х = = хы т, = хг, д = 0 и дугой цепной линии у = а со (х/и), пропорциональна длине этой дуги. 12.
Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми а+ аггее — уг е —— х=а1п — „га' — дл, х=О, у=до, 0<де<а. У 13. Пусть у(х) = ах2 + Ьх+ с > 0 при х2 < х < х2. Доказать, что площадь фигуры, заданной неравенствами 0 < у < д(х), х~ < х < хг, равна 1 — 6 ( 2 *1НУ( 2) д(*2) + ~д( ои где хо = (х2 + хз)/2 1формула Симпсона). 14. Пусть В вершина параболы, АС хорда этой параболы, перпендикулярная ее оси и пересекающая ось в точке Р. Доказать, что плошадь параболического сегмента АВС равна 2аЬ/3, где Ь = = ВР -" высота, а = АС ." основание сегмента.
15. К параболе в ее вершине А проведена касательная. Из точки В параболы опугден перпендикуляр ВС на эту касательную. Доказать, что плошадь параболического прямоугольного треугольника АВС равна аЬ/3, где а, = АС, Ь = ВС. 16. Прямая касается параболы в точке А. вторая прямая, параллельная оси параболы, пересекает первую прямую в точке В, а параболу - в точке С. Доказать, что плошадь треугольника АВС, ограниченного дугой .4С параболы и отрезками .4В и ВС, равна — АВ .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
