1610915390-52cbd25d82d9110658c00fb8dfb6bccc (824753), страница 15
Текст из файла (страница 15)
121. Найти пределы следующих числовых последовательностей: и — 1 и 1) еи= ~(1+ — )аш —,; 2) еи=яш 1=1 ь=т 3) еи = —, ~~ [ттх + 1с) [ттх + Ь + 1), х > 0; 1 а=1 211тт 4) = ~~-~ 2 1=1 122. Найти пределы: 1) !пп ( / соя!а аГЬ/х); 2) !пп ( / [ахс1я1)~ т!1/~/х~ + 1); о о 3) !шт ((/ ег т)1) / / егт еГГ); о о Ыае тел 4) !пп ( ~ Д~~а/~ Яй Г1). о о и 2 1' те е' 123. Доказать, что д! е ат1 — при х -+ +со. 2х о 124. Доказать, что если Г'[х) .
непрерывнан положительная при х > О функция, то функция ~р[х) = ~ЦЯ М/~~[1) ГИ о о возрастает на промежутке [О;+ос). Гл. ец Определенный интеграл и его приложения 112 /Дх) йх = 2 / ~(х) а!х; (19) 2) осли г' нечетная функция, то / 2!х) 1зх = О. — ! (20) Найти интеграл (127" 168). 127.
/ Ятхйх. 128. / е' зшх8:е, — ю я г,12 129. / (совах+ ха ешх) йх. 130. / соахтЬх!!х. — п12 — 1 1 я,12 131. /!ел+с е)!8хйх. 132. / (хззш5х+соя — +28 х) йх. 3 -1 — я~а я ~З 2 2х — хе+ 2х — х+1 гг 134 / ее~ соег х — я!3 о 1 1п 2 !е2 135. / хзЛ вЂ” хз ох. 136. / ъ'е' — 14х. 137. / хе '* ох. о о о я/Л ап 138. / хззпхйх. 139. / хззп2х1!х. 140. / ха соахох. о о о 1 3 141. / агссоах!1х, 142. /а!с!8,,гхйх, 143. / йх хЯ -!-!пх о 1 1 ! л!'2 л!'2 144.
/ ',, Дхи 145. / ' . 146. / о о я 01 2,11 а — 2 147. / . 148. /х0Т- х!1х. 149. / о — з 1 125. Можно ли в интеграле /~(1 — х28х при замене перемен- а ной х = зш! в качестве новых пределов интегрирования взять числа я и я,г2Г 126. Пусть функция 1 непрерывна на отрезке [ — 1;/). Доказать: 1) если 1 . четная функция, то Ь 6. Определенный интеграл п12 150. / х" ыТ+Зхе е[х. о 1и 2 2 152.
/ ей "хДх, 153. / о 1 нз 1 1 155. / х атссйхг1х. 156. / х[2 —:ез)12 Йх. 157. / атсз1п,/х 11х. о о а л е 158. / еесоззхДх. 159. / [1пх[11х. 160. / (х1пх)111х. о 11е е 3 2а 16'1-- Г...- 16'1~-' о а 1 и д хг-Ь х-Ь 1 д 1-Ь хг д а -Ь Ьсоех — 1 о о 1 166. /,, а 7'.
-пп, п 6 л. дх хе — 2х сое а -Ь 1 ' — 1 2 1 167. / [1+х — — )ел'11'11х. 168. / [ соз1п — ) 11х, и 6 И. 112 е 169. Доказать, что если непрерывная на отрезке [а; 6) функция 1 в точках, симметричных относительно точки х = [а+ 6)12, принимает равные значения, то (ае-ЬУ2 И а 170. Доказать, что для любой непрерывной на отрезке [а; 6) функции 1 имеет место равенство /Ю *= /1[+6- ) ' 171. Доказать, что если функция 1 непрерывна на отрезке [а; 6), то ь 1 /1 [х) 11х = [6 — а) / 1 [а -Ь (6 — а) х) 11х.
172. Для непрерывной при х ) 0 функции 1" доказать равенство а а" /х'1[х ) Йх = — /х)[х) Йх, а ) О. Гл. 2Ц Определеннььй интеграл и его приложения 173. Для непрерывной при х > 0 функции 1 доказать, что х'ь'К ') йх = — 1~х ~ "~[х) йх, а > О, г > 1. 1 о о 174. Доказать, что для любой непрерывной на отрезке [О; Ц функции 1 имеют место равенства: л12 л/2 1) / 1[япх)йх = / 1[созх) йх: о о 2) ~хд[япт) ах = — 1 1'[япх) ах.
21 о о 175. Доказать формулу интегрирования по частям для определенного интеграла с помощью формулы Ньютона-Лейбница. 176. Доказать, что для и+ 1 раз непрерывно дифференцируемых на отрезке [а; 6) функций и[х) и о[х) имеет место формула ь п ь ио1иа1) йх ~[ 1)ьи(ь)о(и — ь)[ь + [ 1)иь1 /и(иьцойх а ь=о а 177. Доказать, что для полинома Лежандра [см. [17)) имеет место формула ! [р2[ )л 178. Доказать, что если функции п + 1 раз непрерывно дифференцируема на отрезке [а; 6), то для любых точек хо Е [а; 6) и х Е [а; 6) имеет место формула [называемая формулой Тейлора с остаточным членом в интегральной форме) 'и л ~[*) = ~ '",о) [. - *.)ь+ -', ~ [ — И" 0[1) ь=о аь 179.
Доказать, что если функции 1 непрерывна на отрезке [а; 6) и для всех 1 Е [О; Ь вЂ” а) выполняется равенство 1" [а+ 1) = 1'[Ь вЂ” 1), то ь ь / х 1'[х) ах = —, ~ ~[х) йх. а а 180. Доказать, что одна из первообразных четной функции нвляется нечетной функцией, а любая первообразная нечетной функции -- четной функцией. 181. Для непрерывной на отрезке [а; 6) функции 1 найти д й т — дь 1" [х+ у) йу, где 0 < а — о < х < 6 —,3. йх о 46. Онределенныа интеграл 115 функции Р(22). ярпхдх 222.Н 2 р 186. Доказать равенство л 2212 если 1 — 2" , 1/х = О, если — 2н, если 1 — 22.22оях Ч- ге 0 <г< 1, 1 =О, г > 1. Найти интеграл (187 — 196). 187.
/, 0<я<1. ,/ 1 Ч-есоях о 188. ', )а)<1, (Ь)<1, аЬ>0. (1 — 2ах Ч- а') (1 — 2Ьх -~- Ье) 2л 2л 189. 190. / (2+ соя х)(3 Ч- соя х),/ я/пл х+ соя' х а о ,/ 1 + Уг(22) ' хя(х — 2) — 1 22 ран, 192. / " „г/х. ,/ 1+ сонг х о 194. 1 . 2 ... а>0, Ь>0. / ааяшах+Ьасоягх' 195. Доказать, что л/2 (ае яше х + Ье саян х)- '4 а'Ьн о 223.
/ гр — .Б рыг о а 182. Найти интеграл / нгаз+ хг г/х. 1 Зх(ха — 1) 183. Пусть Г(х) = — — агс18, р Показать, что 3 хл — 4хе + 1 и„( ) 1+х 1+хе ' 1 Г 14-х 1 и объяснить, почему интеграл ~ х е/х не равен Г(х) ~ . ,/ о ярп хдх 184. Найти Г(ен) = / ' , е/х и построить график / 1 Ч-2осоях 4-ое о Гл.2. Определенный интеграл и его приложения 196. Найти интеграл я/З 4х а ас — Ь >О.
а сонг х Ч- 2Ь сое х гйи х Ч- с гйпг х — я ~З 197. Доказать, что если 1 — — непрерывная на нсей числовой оси периодическая с периодом Т функция, то длн любого числа а выполняется равенство ~(х) дх = ~ ~(х) дх. 198. Доказать, что при п нечетном функции ~(х) = ~ з|п" 1са и у(х) = / соеп2д2 периодические с периодом 2х, а при п четном калгдая из этих функ- ций является суммой линейной функции и периодической. 199. Доказать, что если ф — непрерывная на всей числовой оси периодическая с периодом Т функция, то функция К(х) = / ~фар го нвляется суммой линейной функции и периодической с периодом Т.
200. Средней функцией Стеклова с шагом Ь > О, периодической и интегрируемой на периоде функции 1, называется функция 28 л л — ь Доказать, что если функция 1' непрерывна, то при любом и > 0 ее функция Стеклова фь является непрерывно дифференцируемой функцией, и если период функции ф равен Т, то 1пп апр ф,(х) — ~(х) ~ = О. "-'о ю;т) 201. Доказать, что если периодическая функция ф удовлетворяет условию Гельдера степени о )~(х+ 6) — ф(х)( < ЛХ)6)~, 0 < о < 1, где ЛХ вЂ” некоторая постоянная, Ь > О, х Е й, и ее период равен Т, то зпр ~д~х) — гь(х)~ < Ыоо, где функция )ь(х) определена в за,'о;т1 даче 200.
202. Найти предел !пп — ~ 1и ~1 Ч- — ) дх, ,Н / ),,г;,) 1 7 6. Определенный интеграл 117 203. Доказать равенство 1 т' и! 11 — х)™х йх=, той И, пЕ И. !т -!- п Ч- Ц! о и и 204. Найти интегралы: 1) /1хвшх)зе)х; 2) /1хсовх)зе)х. о о г вших г сов12п -1- 1)х 205. Найти интегралы: 1) д! ах; 2) д! ' е)х. вшх ' г сове о о и/2 206. Доказать для интеграла Хп = ~ вш" хйх, и > 2, рекуррентную формулу п — 1 ип — ип — 2. и 207. Найти интеграл: и/2 и/2 е/2 Ц )' анвх6х; 2) / совлхйх; 3) / совехох. о о о 208. Доказать, что !,и — 1!!! и и/2 — при и четном, о вш хе1х = д! сова хйх = !и — Ц!! пЕИ.
о при п, нечетном, и!! !пп 209. Доказать для интеграла,1„= г) сЬахдх рскуррентную формулу — !и п, Яп= „, (1 — —,)(п+ — ) +(1 — — )Рп 2, п>2. 1 Г (2п)п 12 и 210. Доказать, что 1нв и — ып 2п+ 1 (2п — 1)!! ~ 2 У к а з а н и е. Использовать результат задачи 208.
211. Доказать, что —, если т, и п четные, в!в"' х сова х йх = 7т + ")" 1т — 1)!! 1п — 1)!! о в остальных случаях, Нп+ и)!! т Е И, и Е И. 212. Доказать, что при и Е И справедливы равенства; е, Х2) и На. !2п-!-1 !2п+ 1)!! ' о Гл.2. Определенный интеграл и его приложения а / 7 2 .2)72п — 11,72 7 2п 1лп (2и) и. 2 о 213. Доказать формулу: н,72 п 1 2 1) / соя хя1аихйх = ~~' —, 71 Е И:, о Я=1 лг'2 2) / сояпхсояихггх = —, и Е И. 1 о 214. Доказать формулу (ги Е И): л12 1) / соя'"хвоя(~и+ 2)хс1х = 0; о лг'2 2) / сояп'хягп(т+ 2)х71х = 1 пг + 1 о :7,72 яги(пиг772) 3) ~ яш хсоя(т+2)хс1х =— т Ь 1 о г,72 1 пш 4) / ягн хягн(т+ 2)хе1х = соя —. 7п+1 2 о г,74 215.
Найти интеграл / 182"х11х, и Е И. о пг'Л / зги х — соя х 1 и+ 216. Найти интеграл д7 ~ ) 71х, и б И. ягих "; соя х о 218. Доказать, что л22 Е-аг Связи 1 Х вЂ” пг'2 71 =2Ь 2 (ил+17)(ее+31)..4аг+ (2п+ Цг)' 219. Доказать п,72 яш пх яшх о равенство 1 77 пп, г х" дх 71х = — — 2соя — ' 1 2 2 7 1 Ч- лд ' о п =0,1,2, 21Т. Доказать, что 2л — 'е/е "сояг" хах =, (С"„+2~~ СЯ„,,), о я=о а~О, иЕИ й 6. Определенный интеграл 119 220. Доказать, что для всякой непрерывной на отрезке [О; 1] функции Г выполняется равенство а/з а/2 ,г"(яп2х) гоахйх = / Д(совах) соахйх.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
