1610915390-52cbd25d82d9110658c00fb8dfb6bccc (824753), страница 11
Текст из файла (страница 11)
1п ' — + С. 1 -~- 4хг х 167. 2хагс18х — — агс18вх — 1п(1+ т,') + С. 2 ,2 168. — атство х — х ~1 — — ' ) агссх х — — + — 1п(1+ х ) + С. 2 3) 6 3 1х — Цагссгд х — х 4(хг + Ц х -~- 3 2х — 3 170 ъ(2х — ха + агсвш(х — 1) + С.
4 4 171. (1/3)хв агссов2х — (1/36)(1+ 2ха)ъ1 — 4хв+ С. 172. 1п((1+ Л вЂ” хт)!~х~) — (агссовх)ггх+ С. 173. хагсяп' — + Зт 9 — х ~ агсвш — — 2! — 6хагсвш — + С. а 1 х+2 174. — атосов — — ъ'х~ — 1+ С. 4 х 12 175. ~ ) ~ — 4 „Г С. — т+ 176. хагсгр (1 — ~/х) + тгх+ 1п(х — 2л/х+ 2) + С. 177.
(х — 2)агсс18нЛ вЂ” х — ~/1 — х+ С. 178. 2лггх агс18 нгх — агссх г л1х — 1п(1 + х) + С. Гл. 1. Неопределенный интеграл и — 1 201. х+(а — 6)(г11п~х+6~ — ~ ~— С~ '( ) ) +С. à — -1 и — 1 1 / х — а и / йгг / 2 Йп 202, 1г1п — + л2 1гсое — 1п(х — 2ахсое — +а )— 2паг" ' х -1- а и, п Ьп х — асое(йк/и) 11 — 2еш — асс!8 . () +С.
и а яп(йт/п) 203. х+2 (~/ах+ — г!!И)~/ах+В+с(!)+С. а 204. — 1п(~/ах + ~/ах-' + 6) + С, если а > О; ,Га 1 . Г а агсвш / — — т, + С, если и < О. 2х — а — 6 л/ — а Ь 205. агсяп + С. ~а — Ь~ 206. ' ~~( гг)*г 2х -1- о, -1- Ь 4 — ( ) 1п(огх + а+ ~гх + 6) + С. 207. — 1п +С, если а > 0; 1 12) л/а г/аг -н г/хе+ а ЯР1 ( — х) 1 г/ — а + С, если а = О; — агссое + С, если а < О.
)а~~/У вЂ” аг (~/Р— о,'-'х -1- ~а~Л-' — хЦ вЂ” + С, если и = Ь; , , агссое „ , + С, 62~1Ь'- — х' (а)~/аг — Ье )6)г/аг †,хг если аа > Ьг. 209. аггп8 '' +С, если а < 6; ', +С, 2 2. аг/Ьг — аг аъ~х'+62 Ьгг/22+62 если а =Ь; !п, +С, если а >Ь. 2аг/аг — 62 ангхг + Ьг — г/аг — Ьг х 210. 1п +С, если а>О; 1 г/хп + а — г/а и,/о,;/х" + а 4- г/а гг — а агссов + С,. если а < О.
ггглг — а /х" и. 1 211. — '~г/ — +С, еслиа~Ь; — +С, если а=Ь. Ь вЂ” а 1/2 †х яп 2ах яп 2Ьх яп 2(а — Ь)х яп 2(а+ Ь)х 4 8а 86 18(а — 6) 1б(а -1- 6) лх еш 26х яп 46х 2 — 62 46 32Ь 213. 1п . +С, если афЬ+ЛЬ, Ьбл; 1 яп(х -1- Ь) вш(а — 6) яп(х -н а) — его(х+6) н-С, если а = В+наг Й е Е. 45. Интегрирование разных функций 85 214. 1п +С, если а~ — +хб, ЬЕУ; сова сов((х -~- а)/2) ' 2 /х к1 зг — 18~ — + — )+С, еслиа= — +2тк, ЬЕЕ; 12 4) ' 2 18( — — — )+С, если а= — — +2кб, ЬЕЕ. 2 /а — 1 х1 215, агсг8 ~ — 18 — /г + С, если а ф х1; ае — 1 го+1 2) 1 х 1 х — ги — + С, если а = 1; — — с18 — + С, если а = — 1; ~х~ < зг.
2 2 ' ' 2 2 х 1 /а — 1 х1 216. — '+ — агсг8~ 18 — ') +С, )х( <к, если афО, 2а а за 4-1 2) а р'. -— 1: вшх+ С, если а. = О; — х/2+ С, если а = — 1. 217. сг8а!п — х+ С, если а р'. -тб, б Е Е; сов(х 4- а) 18х — х+ С, если а = тгб, б Е Е. х 1 гих 218. — агс18 +С, если а>0, а~1; а — 1 (а — Ц к/а к/а х 1 ги х — к/ — а 1п и +С, еслиа<0; а — 1 2(а — 1)~/ — а Глх+ з/ — а х вш2х — + 4-С, если а=1; — сб8х — хц-С, если а=О. 2 4 219. — агс18 +С,. ф < —. 1 бвих зг аб а ' 2 1 авшх — бсовх '+С. аз -~-Ьз асов х 4-Ьяпх 1 г асих — 11 221, ~1п~асовх-бе)их~+ х ) +С. аз+ 1 а+гих 222. 8 + С.
а(а + 1ах + 6)гд х) 223. +С если ЬфО ЬЦах — Ь) яп х + (а + Ьх) сов х) вгп х — х сов х аз(хвшх+ сова) 224. агсг8 ~,/ — ' ез) + С, если аб > 0; ъ'абб )п ' +С, если аЬ<0. 1 Ь -~- ъ~ — об ее 2 и/-об бЬ вЂ” з/ — аб ех 225. — !п ' +С, если а>0; 1 ъ'а ~- Ьее — к/а з/а к/а+бее -'г к/а 2 ъги+бех агс18 + С, если а < О. ~ — а г/ — а сб (а -~- Ь)х с1г (а — Ь)х 2(а -р Ь) 2(а — Ь) сб 2Ьх сб 26х +С, если а=6; — +С, если а= — 6. 88 Гл. 1. Неопределенный интеграл 22/. // ' ')-а . / /(, (/ — ),/(*(/) х х х //- /' — -*- ' (.-/)е( /~),Ь* -//-.
1)г +С, ' — Р ( — /) /(*(/) — 'З .' — / если Ьа < аг + сг, а ~'= Ь; — 1п (Ь+с1Л вЂ” (+ С, если Ьг < ах+с, а = Ь; с 2 2 +С, если Ь =а +сг, а~ь; — с -г (а — Ь)1Л (т/2) 1 х Ь 2 — 1Л вЂ” +С, если а=ь, с=О. Л " Ьх'-Ье1 Ьх +С аг+ Ь' 229.
х1п ~хо+ а~ — 2х+2;~аагссд(х/г/а) -~-С, если а > 0; х1п ~х +а~ — 2т+ г/ — а 1п 4-С, если а < О. хл- / — а х — г/ — а 1п(х 4- л/х-' 4- а) 1 н/хг + а + //а 230. — ' ' + — 1п +С, если а>0; х Л' И 1п(х+ г/хе+а! 1 г/хе+а + агс1а +С, если а<0; х // — а н/ — а — ) +С, если а=О. 231. 2(!пх — 2);/х+ а+ 2~/а 1п ' + С, если а > 0; //х + а — //а 2(1пх — 2)г/х+ а+ 4~/ — аагсгр,' + С, если а < О. г/ — а 232. хо 1п~ х + С.
агсе)п х 1 х//а + 1 233. — ' ', + агсьд + С, если а > — 1, 2о(14-ахг) 2а~/а+1 ъ'1 — хг а~О; (---) х//à — хе — — — ) асса(пх+ + С, если а = 0; 2 4 4 агсяпх 1 1 ч'1 — х + х~~ — а — 1 С + 1п +С) если а< — 1; 2а(1 -(- ахг) 4а / — а — 1 г/1 —:гг — х./ — а — 1 агсяп х х — +С, если а= — 1. 2(1 — хг) 2~/1 — хг Ьъ'охг -1- Ь Ь~(а — Ь ~1 а — Ь х агсГн х + 1 +С/ если а=6; ЬДЪ/ г+ 1 т, гасГК х 1 ~н/аххг + Ь вЂ” //Ь вЂ” а~ 1п +С, если а < 6.
Ь//ахг -1- Ь 2Ь//Ь вЂ” а,/ахг -1- Ь -г //Ь вЂ” а ГЛАВА 2 ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ у 6. Определенный интеграл СПРАВОЧНЫЕ СВЕДЕНИЯ 1. Интеграл Римана. Пусть задан отрезок [а; Ь). Через ь=ь. = (х.);=.- будем обозначать разбиение отрезка [а;Ь) такими точками хь, Ь = = 0,1, ...,Й„что а=хо<х~ <...<ха< ..<хь.=Ь. Отрезки [х; ~,.х,), 1 = 1,2, ...,Ь„называются отрезками разбиения т, а наибольшая из их длин -- л~елкостью [т[ разбиения т: [т[ = шах [х; — х, г[.
~=из, .л Разбиение т' называют разбиением, вписанныл~ в разбиение т (а также разбиениелй следующим за разбиением т), и пишут т' ~- т или т и т', если каждый отрезок разбиения т' содерзкится в некотором отрезке разбиения т. Пусть на отрезке [а;Ь) задана функция 1, т = (хз)"=е некоторое разбиение этого отрезка, [т[ — его лзелкость и Ьх, = х, — х; Выберем произвольно по одной точке ~, Е [х;,; х,) и составим сумму ь.
а~ = от(~14ычз "".чь ),~~,((4~)'~х (1) г=з Суммы этого вида называются интегральными суммами (Римана) функции 1. Функция 1 называется интегрируемой (по Риману) на отрезке [а; Ь), если существует конечный предел 1пп а,. Этот предел назыр-(-~о вается определенным интпегралом (или, подробнее, определенным интегралом Римана) функции 1 на отрезке [а; Ь) и обозначается ь / 1(х) дх. ь Число и называетсн низхним, а Ь вЂ” верхним пределом интегрированип. Таким образом, з(х) 4х = 1шз и„. (2) (~) — ~о а Гл.
У. Определенныи" интеграл и его приложения Определение предела (2) можно сформулировать в терминах пределов последовательностей или па "языке в — д'". Сделаем и то, и другое. Определение 1. Число д называется пределом интегральных сумм (1) при [т[ — » О, если для любой последовательности ти аа = (х ), о " разбиений отрезка [а;Ь), у которой 1»»1 ь=ь.„ 1пп [ти[ = О, и — »аа и для любого набора точек существует предел последовательности интегральных сумм с»,„, п = 1,2» , и он равен,У: 1ш» а,„=,1.
(3) и»х Определение 2. Число,У называется пределом интегральных сумм (1) при [т[ — » О, если для любого г > О существует такое б > О, что, каково бы ни было разбиение т = (хь) отрезка [а; У[ мелкости, меньшей б; [т[ < д, и каковы бы ци были точки (ь Е [х, »1х,], верно неравенство [с „—,У[ < в.
(4) Определения 1 и 2 предела интегральных сумм (1) равносильны. По определению полагается а а ь 1Ю =О, 1~(.)а:=-1~(х)д, <Ь. а ь а Теорема 1. Если функция интегрируема на некотором отрезке, то она ограничена на этом отрез»ге. Для каждого разбиения т = (хь)ь ь отрезка [а;д), на котором определена ограниченная функция (, положим М, = зпр З(х)» гпь = ш1 д(х), ь = 1 2,...,й„ г ~ <»<а а, а<»<.», Е, = Е,Ф = ~' ЛТ,~х„,, =.,(у) = ~,-„,,,Ьзц »=» »=1 Сумма Я„называотгя верхне»Г, а сумма е, - ннлгнеу гуммиб У(аряу функции 1. Верхняя грань д нижних сумм Дарбу г, называется нижним интегралом функции 1, а нижняя грань з~ верхних сумм Дарбу ее верхним интегралом: зе = зцря», з = 1г»г Е».
Предел нижних и верхних сумм Дарбу при [т[ -+ О определяется аналогично пределу интегральных сумм Римана. Сформулируем его, например, па "языке г — би для нижних сумм Дарбу. зб. Определенный интеграл Определение 3. Число,7 называют пределом сумм Дарбу з, при ~т~ — ь О и пишут 1пп з, =,У, (т)-~0 если для любого е > О сугдествует такое д > О, что для всех разбиений т мелкости ~г~ < б выполняется неравенство (з, — д( <г. Теорема 2. Для того чтобы ограниченнал функция й" бьли интегрируема на отрезке (а; Ь), необходимо и достаточно, чтобьь 1шь (о', — з,) = О. (т~-те С л с д с т в и е.
Для того чтобы ограниченная функция ~ была интегрируема на отрезке (а; Ь), необходимо и достаточно., чтобы ь 1пп ~ ~ш,(з')злхз = О, ~т~-~0 где ш,(1) --- колебание функции й на отрезке (х; Ох;); ш,(Д = гпр /Д(хп) — Р(х')/, з'=1,2,...,У,. а'01а,. пт,1 Теорема 3. Для того чтобы огракиченкал функция ( была иктегрируема на отрезке (а; Ь), необходимо и достаточно, чтобы Х~ =,7 Следствие. Для того чтобы ограниченная функция Г" была интегрируема на отрезке (а; Ь), кеобходильо и достаточно, чтобы для любого г > О нашлось такое разбиение т отрезка (а; Ь), что 5'т — Ет < г. Заметим, что на практике интегралы от основных элементарных функций нецелесообразно находить с помощью предела интегральных сумм для этого есть более простой способ (см.
ниже формулу Ньютона Лейбница). Наоборот, можно находить пекоторью пределы сумм, если их удастся преобразовать к интегральным суммам функций, интеграл от которой известен (см. ниже пример 13). Интеграл, рассматриваемый как предел интегральных сумм, иногда удобно использовать для его приближенного вычисления (см. ~ 10). 2. Свойства интеграла. ь а 2. Если функция й" иптегрируема на отрезке (а; Ь), то она интегрируема па любом отрезке (а*; Ь*), содержащемся в [а; Ь).
Гл. д. Определенный интеграл о его приложения 90 3. Аддитивность интеграла. Если функция 7" интегрируема на отрезках [а;с] и [с; 6], то она интегрируема и на отрезке [а; Ь], причем Ь е ь ~((х) Йх = ~~(х) йх+ ~ Р(х) дх, а < с < Ь. 4. Линейность интеграла. Если функции 71, ннтегрируемы на ото резке [а;Ь], то для любых чисел Ль, Ь = 1,2,...,н, функция " Льгь также интегрируема на отрезке [а; 6] и 1=1 Ь и и Ь / (~ Лять(х)) дх = ~ Ль~рь(х) ах и Ь=1 Ь=1 и 5. Произведение интегрируемых на отрезке функций интегрируемо на нем. 6. Если функция г" интегрируема на отрезке [а;Ь] и 1п1 [Дх)[ > О, (о1Ь1 то функция 1/Д(х) также интегрируема на этом отрезке.
7. Интегрирование неравенств. Если функции 7" и д интегрируемы на отрезке [а;6] и для всех т, Е [а;6] верно неравенство Дх) > д(х), то ( Дх) дх > / д(х) дх. В частности, если на отрезке [а;6] функция г"(х) > О, то [ У(х) дх > О. 8. Если неотрицательная функция интегрируема на отрезке [а;Ь] и существует такая точка хо е [а;6], что функция в ней непрерывна и принимает положительное значение, то Ь ( 7(х) дх > О. Из свойств 4, 7 и 8 следует, что если на отрезке [а;6] для интегрируемых функций 7 и д выполняется неравенство 7(х) < д(т) и если существует точка хо е [а; 6], в которой Дхо) < д(хо), причем обе функции 7" и д непрерывны в этой точке, то имеет место строгое неравенство: ~ ((г1) дх < [ д(х) дх. 9 б.
Определенный интеграл 91 9. Если функция Г иптегрирусма на отрезке [а;6), то и ес абсолютная величина ф также интегрируема па этом отрезке и 1~(') ' Г [~(х)[дх, и и 40. Непрерывность интеграла. Если функция Г" интегрируема на отрезке [а; 6), то функции х ь Г(х) = ~ ((6) а1 и С(х) = ~ (Я сН непрерывны на этом отрезке. 3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
