1610915390-52cbd25d82d9110658c00fb8dfb6bccc (824753), страница 13
Текст из файла (страница 13)
2 1, а Поэтому, согласно формуле Ньютона —.Чсйбница, получаем о а зго — х Ы = — 11а агсЯп — + х 1Уа — х ) = —. А 2 2 1 .. х 2 2~ 11аг 2 а о Пример 16. Показать форл1улу (9). й В силу непрерывности функции Дх) на интервале (а;Ь) она имеет первообразную Г(х), длн которой определена композиция Р(1р11)). Эта композиция является первообразной на интервале (о;,6) для функции )(р(1))р'ф, ибо дгрМ1)) =, — до =У(х)~.,й~ '„,' =Уг Ф)~р'(1) 2.=1е(Ц Поэтому, согласно формуле Ньютона —.Чейбница, ое ое ~ ХгР( 2) )'Р' Я 111 = Е('Роте) ) — Г'(221оо) ) = Г (Ьо ) — Р'гас ) ае оо Гб.
Определенный интеграл (11) а Сделав при х ф О замену переменного 1 = х — 1/х в соответствующем неопределенном интеграле, получим 1 + хе ~ й(х — 1/х) 1 х — 1 1+ хл / 2+ (х — 1ггх)г нг2 хнГ2 йх =, = — агс18 + С и, следовательно, 1 х — 1У 1рх — агс18 ( =,, х ф О.
тг'2 хеГ2 ( 1+х' ' (12) Поскольку 1 х — 1 я 1пп — агсг8 г — г-ео ~/2 х42 2нГ2 1 х — 1 н 1пп — агсгн г-г-о уГ2 х 12 2у'2 то функция 1 х — 1 я — агсг8 +, если х > О, уг2 хн'2 2нГ2 Е(х) = О, если х = О, (13) 1 х — 1 и — агс18 —, если х ( О, ~/2 хч'2 2нг2 будет непрерывной на всей числовой оси, а так как согласно (12) (14) то в силу непрерывности функции (1 + хз) (1 + хе) равенство (14) вер- но и при х = О. Таким образом, функция (13) явлнется первообразной для подынтегральной функции интеграла (11).
Поэтому а 1-е хг 1-'; х' Йх = Тл(2) — Г( — 1) = — ~ассой + я . а 1 / 342 нГ2 [ 4 — 1 Пример 19. Найти интеграл / 1пхох, применив формулу интег- 1 рировапия по частям для определенного интеграла. 1 г агсгда П р и м е р 17. Доказать равенство ~ х о а Сделав замену переменного х = 18 ®2), 1 е/а агетб х )' агс18 Н8 (1/2)) М х / 18 (1/2) 2 сонг($/2) о о Пример 18. Вычислить интеграл 2 ~' 14-х — 1 ерз о получим н/2 2 „( о Гл. Я. Определенный интеграл и его приложения 100 а Имеем / 1пхНх = х1пх)зе — [ Дх = 21п2 — 1. Пример 20. Найти интеграл,7 = / сЬхсовпхНх, и Е И. А Дважды проинтегрировав по частям, получим л 1 ,7 = ~сЬхсовпхНх = — ~ сЬхдв1ппх = п л' л я я сЬхвшпх 1 1 г — — / вЬхв1ппх4х = —, д1 вЬхе1совпх = и и пе — и вЬ х сов пх 1 „2вйя 1 — —,, [ сЬхсовпхе1х = [ — 1)" — ',, — —,, Х г$ и" Найдя из получившегося уравнения значение 7, будем иметь и 2вЬя.
пе ж 1 П р и м е р 21. Найти интеграл ,7„„= /х'1п" хе1х, о (16) о>О, патрй. 3 1 .чл[1п,)о ' Г, 1п —, П, — У о+1 ев о+1/ о -~- 1 о Из получившейся рекуррентной формулы следует, что и! и.' 1 и о П р и м е р 22. Ыногочлены, задаваемые формулами 1 д" [[хг — 1)"] [17) а Подынтегральная функция г(х) = хи 1п" х определена и непрерывна на полуинтервале [О; Ц, и у нее существует предел 1пп 1[х) = О. Е-0 Доопределим функцию 7" нулем при х = О, тогда получим непрерывную, а следовательно, и интегрируемую на отрезке [О; Ц функцию. Данный интеграл [16) и понимается как интеграл от этой функции.
Интегрируя по частям, будем иметь 1 а-.1 7 /[1 )и о -~- 1 0 Гб. Определенный интеграл 1О1 / с),„(х)Рн(х) е[х = О. (18) де[(хг — 1)н) а Заметив, что функция при и = 0,1,2,...,п — 1 обрагцается в нуль в точках х = — 1 и х = 1, имеем, интегрируя последовательно по частям, 1 — 1 1 1 Ю ( ) д" '[(хе — 1)н) Г -) ( ) й' '[(хе — 1)п) 4 — 1 1 ( 1 т/д(т)( ) [(х ) ) -г = (-1)-а~;~(х) "",',["е -, ')") = О, (пй дн[(х — 1)") так как Щ (х) = сопэС.
Поскольку многочлсн только дан постояннылг множителем отличается от многочлена Лежандра (17), то равенство (18) доказано. А ЗАДАЧИ 1. Написать интегральную сумму он для функции г'(х) = 1+ х на отрезке [ — 1; 2), разбив его на и равных отрезков и выбрав значения аргумента ~б г = 1, 2, ..., и, в середине этих отрезков. 2. Для данной функции г"(х) найти нижнюю е, и верхиюго 5, суммы Дарбу на указанном отрезке, деля его на п равных частей: 1) 1"(х) = хз, х Е [ — 2:, 3); 2) 1"(х) = тггх, х Е [О; 1); 3) т"(х) = 2', х Е [О; 10).
т 3. Найти / (д! + ио) й исходя из определения интег рала. о 4. Вычислить определенный интеграл как предел интегральной суммы; нг'з 1) /е Дх; 2) / гйпхг(х; 3) о о 5. Вычислить интеграл / хз ггх 1 х з / соз1Ж; 4) / —, как предел интегральных сумм, называются леногочленалеи Лежандра. Доказать, что, каков бы ни был многочлен Я степени гп ( и, имеет место равенство Гл. у. Определенныя интеграл и его приложения ьоз разбивая отрезок [1; 2[ на части точками, которые составлнют геометрическую прогрессию.
ь 6. Найти интеграл /х" Пх, п, Е л, и ~ — 1, как предел интегральа нын сумм, разбивая отрезок на части точками, образующими геометрическую прогрессию [Ферма). ь г дх 7. Найти интеграл ~ — '', 0 < о < Ь, как предел интегральных х сумм. а = ехр (/!п1[х) Их).
о 1пп л — еоа 13. Доказать, что если функции 1 и д непрерывны на отрезке [о; Ь], т = (хь), о' разбиение етого отрезка, С, Е [хь ь,х,[, гЬ Е Е [х, ь,х,[, г1х, =х, — хь ы 1= 1,2,...,й„то ь. ь 1пп ~ т [се)у[гу)лх; = ~~[х)у[х) о!х. ~=1 а 14. Доказать исходя из определения интеграла, что если функция ицтегрируема на отрезке, то она ограничена на нем. 8. Найти интеграл Пуассона / 1п(1 — 2осоах+ ог) Нх: о 1) при [о[ < 1; 2) при [о[ > 1.
9. Доказать, что определения 1, 2 предела интегральных сумм о, равносильны. 10. Пусть функция 1 ограничена на отрезке [о;Ь[, о, и Я, соответственно ее нижняя и верхняя суммы Дарбу, т = ~хь)~~ разбиение отрезка [о;Ь[. Доказать: 1) для любых двух разбиений т, и тз отрезка [о; Ь[ выполняется неравенство е„< 5„,; 2) если ьг, = о,(1';си ...,с„) интегральная сумма Римана [1), то г = 1п1 п„Н = апр и; 4о" дн го..дь.
~,[Г) 1хь, где иг,[Г) колебание фУнкции л' ца г=! отрезке [хь ~',хь[. 11. Доказать, что всякая монотонная на отрезке функция ингегрируема на нем. 12. Доказать, что если функции 1 непрерывна и положительна на отрезке [О;1), то аб. Онределенныа интеграл 103 Указание.
Воспользоваться результатом задачи 86 [1, з 10]. 17. Пусть функция «непрерывно дифференцируема на отрез- кс [а; 6] и ь Ьи = ««(х) 11х — ~ ~«(о+ ). а Ь=1 Найти 11па пбх„. и — гаг 18. Сформулировать определение предела 1пп е„в терминах пре- ~ ,'- о делов последовательностей и доказать его эквивалентность определению 3. 19. Доказатьн если функция «интегрируема по Риману на отрезке [а;6], то ь Ппь е = 1пп Ь = / «(х) 11х.
(г) — го (г) — го 20. Доказать: если Де и а'* интегралы Дарбу функции «, а е„ мы Дарбу, то ,«е = ~,)-~0 соответственно нижний и верхний и 5, ее нижнис и верхние сум- );-(-~0 21. Доказать: для того чтобы ограниченная на отрезке [о; Ь] функция «была интегрирусма на нем, необходимо и достаточно, чтобы ее верхний Де и нижний «е интегралы были равны, причем в атом случае ь / «(х) Де = йе = .Г*. 22. Доказать, что разрывная функция «(х) = йяп гйп(л«х) ицтег- рируема на отрезке [О; Ц, 23.
Доказать, что функция «(.) = „-,' — [-,'.~, если х ~ 0 и «(0) = О, интегрирусма на отрезке [О; Ц ([у] целая часть числа у Е Й). 15. Доказать, что если функцин «монотонна на отрезке [О; Ц, то 1 и /«(х)гаях — — ~~ «( — ) =0( — ), и — 1 со.
о Ь=1 16. Доказать, что если функция « ограничена и выпукла вверх на отрезке [а;Ь], то она интегрируема на цем и ь (Ь )«() «() <~«(х)Д <(6 о)«( ). Глмй Определенный интеграл и его приложения 10й 24. Доказать, что функция Дирихле ]( 1, если х рациональное, ] О, если х иррациональное, на любом отрезке не интегрируема по Риману. 25. Построить пе интегрируемую на отрезке функциьо, квадрат которой интегрируем на этом отрезке. 26. Построить функцию, непрерывную в точке и не интегрируемую ни на каком отрезке, содержащем эту точку. 27.
Функцией Римана называется функция, равная 1ьд в каждой рациональной точке, которая записана в виде нссократимой дроби рьд ф. О, р Е й, д Е рь, и равная нулю во всех остальных точках. Доказать, что функция Римана па любом отрезке интегрируема. 28. Пусть функция 1 непрерывна на полу интервале (а; 6] и существует конечный предел 11га ф(х).
Доказать, что при любом доопределении функции 1 в точке х = а полученная функция будет интегрируема на отрезке [а;6] и значение интеграла от нее не зависит от значения функции в точке т. = о.. 29. Пусть функция 1 ограничена на полуинтервале (а;Ь], при любом е > О (О < с < Ь вЂ” а) интегрируема по Риману на отрезке [а + в;Ь] и существует конечный предел ь 1пп / 1(х) ьбт.
Доказать, что при любом доопределении функции 1 в точке х = а она будет интегрируема по Риману на отрезке [а; 6] и ь ь /1(х) е1х = 1пп / г"(х) ь1х о а-~-г ( и, следовательно, интеграл / 1(х)ь1х не зависит от значения 1(а)). 30. Доказать, что функция, ограниченная и имеющая конечное число точек разрыва па деппом отрезно,иптсгрирусма па псм по Ри ману, причем значение интеграла пе зависит от значений функции в точках разрыва. 31. Доказать, что если функция г' интегрируема на отрезке [а; 6], с < 1(х) < й для всех х Е [а; 6] и функция д непрерывна на отрезке [с; а], то композиция д о г" также интегрируема на отрезке [а; 6]. 32.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
