1610915390-52cbd25d82d9110658c00fb8dfb6bccc (824753), страница 16
Текст из файла (страница 16)
о о 1 221. Найти 1щ1 ( г"(пх)г(х, если функцин г" непрерывна на прол-ааю З о межутке [О;+со) и 1пп г'(х) = А. а-а-~-аа 222. Исходя из свойств интеграла доказать, гго для интегрируемой на отрезке [а; Ь] функции р' функция х'(х) = / Г(1) й1 непрерывна а на этом отрезке и дифференпируема во всякой точке х непрерывности функции 1, причем г" (х) = 1(х). Существует ли произнодная функции 1г в точках разрыва функции г" Г 223. Сильнетричной производной функции х' в точке хо называет- У(ха + Ь) — ~(ха — Ь) ся по определению РЕ(хо) = 1пп . Доказать, что 6-ао 26 если функция ~ интегрируема на отрезке [а; Ь] и хо б [а; Ь] является ее точкой разрыва первого рода, то функция Е(х) = ~Ф) йг не дифференцируема в точке хо, но у нее в этой точке существует симметричная производная, причем РГ(хо) = — [г (хо + 0) + Г(хо — 0)].
1 2 224. Пусть функция ~ интегрируема на отрезке [а, Ь], функция Е имеет на отрезке [а; Ь] конечное число точек разрыва хы хз, ... ...,х„, причем все они первого рода. Если во всех точках отрезка [а; Ь], кроме, быть может, конечного множества его внутренних точек, функция Е дифференцируема и ха(х) = Г"(х), то имеет место формула 6 л / г" (х) дх = Е(Ь вЂ” О) — Е(а + О) — ~ [Г(хь + О) — Г(хь — 0)].
а а=1 Функция Е называется обобщенной пврвообразной функции З". 225. Найти непрерывные обобщенные первообразные следующих разрывных функций: 1) ябпх; 2) я3п(япх); 3) [х]; 4) х[х]; 5) ( — 1)(л). 220 Гл. Уь. Определенный интеграл и его приложения 226.
Найти интеграл /,)'[1) И1й где о 11, если [1[<1, 1 О, если [1[>1, 227. Найти интеграл: 2 2 е ') 1- [х-х')" ') Н')'х ') Г[.)-""0* о о о П пе) 1 4) / хяйп)(созх) 22х; 5) ) 1п[х]32хь пЕ И; 6) / яцп[аш1пх) 32х. о Ь о 228. Доказать формулу Гаусса и)'2 ;ь )'2 дьр ') дф , „2) ырьь ' ) РОГ'др+ь~ О < Ь < а, аь — — [а+ Ь)))2, Ь) = трраЬ. У к а з а н и е. Сделать замену перен|енного 2а ян 2)) япьр = (а + Ь) Ь 1а — Ь) яп ьу 229. Пусть а > Ь > О, а, = [а+ Ь)/2, Ьь = трраЬ, ап Рп [а„.ь -~- РЬ,))2, Ь =2),,ь,, =2,3,.. 2 Ь Р Е предел [см.
задачу 244, 1) в [12 2 8)) 1пп а„= 1пп Ьп = с[а, Ь). П вЂ” ЬОО П вЂ” ЬОО и )2 дьр Л' Доказать, что О Р е ь Р,ЫР 2 .) ° ,ь) п,)2 др 233. И» Р И)ь) = )), )и о — ь' р р р д д Р .2 РР. 1 — и)Г- Йг Пусть Й = . Доказать, что 1+ ьд)Г: Йг К[Й) = [1+Й))К(Й)). 231. Доказать, что если К[Й) -.— полный эллиптический интег- рал первого рода [см, предыдущую задачу), [Й[ < 1, Йо = Й, ЙП вЂ” ) Ц 1)га К[Йп) — 2 2) К[Й) — 11)п [1 + )ь))[1 + Й2)" [1+ Йп) ° 4 6.
Определенны л интограл 12 Г 232. Найти положитсльную диффереццируемую на промежутке [О;+со) функцию /, если известно, что при замене независимой переменной 5 = / /11) г11 функции / переходит в функцию е о ОТВЕТЫ 1. аи = 9/2. 1 175 125 1 ~- /гй 10230 . 2нр" 4 2п 4из ' и л-' )l и ' п(2"г7н — Ц ь=г 3. ггТ /2+ аоТ. 4 Ц е — 1; 2) 1; 3) япх; 4) 1/2. 5. 15/4. 6.
(Ьнн г — аи~ г)/(гг+ Ц. 7. 1п(Ь/а). 8. Ц О, если ~о~ < 1; 2) гг!ггаз, если ~а~ > 1. 17. (/1а) — 1 15) ) . 36. Ц Второй больше парного; 2) первый больше второго; 3) первый больше второго; 4) второй болыпе первого. 40. Нет. 41. Нет. 54. Ц 0; 2) — в1паз; 3) япЬ'г 4) 2хт/Г+хл; 5) ' —; 6) — япх сов(л сов х) — сов х сов(л вш х). /Г+ '-' /1+" 55 —. 56 О. 57 — (2 1з 2 2— Ц. 58 — (2Г2 — Ц. 59.
7/3. 60. — 10/3. 61. 19/15. 62. 2. 63. л/6. 64. л/3. 65. 1. 66. 45/4. 67. е(е — Ц. 68. 3/1п2. 69. 1п2. 70. (1п3)/2. 71. гг/12. 72. 1п2. 73. 1п1,5. 74. л, 75. гп 76. — + . 77. — (2 — Зс1г2+ с1гз2). 78. — агсг8 —. и 8х/3 1 1 4 б 27 3 4 7 79. 11/2+ 71п2. 80. 21гг(4/3) — 1/2. 81.
(1/6) 1п(2/5). 82. 2 — 1п5. 83. —. 84. 1п . 85. —. 86. 4 — 21пЗ. и 2+х/5 и 4 1 Ь ъг2 2ыг2 87. 7+21п2. 88. 2 — 1п2. 89. (е — е'г~)/2. 90. яп1. 91. гг/4 92. л/3+ т/3/2. 93. агс18е — л/4. 94. 5т/2/12. 95. (1/12)в1г2+ 1/6. 96. 1п2. 97. л/ГЗт/3). 98. 1 — 2/е. 99. + — 1п —. 100. 31пЗ вЂ” 2. 101. 21п2 — —. Зб 2 2 4 102. — + — — 1.
103. гг — бгг. 104. г/З з е 12 2 105. а(вш1 — совЦ/2. 106. 1. 109. Ц5/6; 2) 1/2 110. 1/3 — 1/2, если 1 < 0; 1/3 — 1/2+го/3, если О < 1 < 1; 1/2 — 1/3, если 1 > 1. Гл. 9. Ояределонныа интеграл и его приложения 115. —. 119. 1) —; 2) — (2г/2 — 1); 3) е г; 4) 2; 5) 16; 6) 120. //(х) г!х.
121. 1) — гг; 2) —: 3) х+ —; 4) б ' !/3' 2' !н2 о 122. 1) 1; 2) ггв/4; 3) О; 4) 1. 125. Да. 127. О. 128. О. 129. л/2. 130. О. 131. О. 132. ба!п(л/9). 133. 2ъ/3. 134. (ео — 1)/2. 135. г/16. 136. (4 — г)/2. 137. (1/2) !п(е/2). 138. гг. 139. 1/4. 140. 4н. 141. 1. 142. гг/6 — у'3+ 1. 143. 2(т/2 — 1).
144. 2агс18е+ (1/2) !п((ев+ 1)/2). 145. 2в т/3/9 1 !' 1 1 1 1 9-~-4г/2 146. — ! асс!8 — — агсгн — )/ъ'2. 147. — !п ',2(' ' ,2 .б) 2 148. — 468/7. 149. агсвш(1/3) — гг/6. 150. 29/270. 151. 1/6. 3 225 8 7 поп пп» 1 152. — !п2 — . 153. — !п2 — —. 154. !пп— 3 2 2б 4 б 159. 2(1 — е !).
160. 5ез/27 161 4н/3 — т/3 162 т/3/(8а~) 163. !п 3/2 —; /(2г/3). 164. ( г/8) !п 2. 165. »/т/ав — Ьв 166. и/(2]вшо]). 167. (3/2)евгв. 168. 4п. 181. /(х+гЗ) — /(х+о). 182. ав(г/2+!п(1+ т/2))в!8па. 184. н/2, если ]а] < 1 и н/(2ов), если ]о] > 1. 185. 2, если ]о] < 1 и 2/]о], если ]гл] > 1. 187.. 188. !и .
189. ог ~ — — — ] . 2н 1 1+!/оЬ / 2 1 !/1 — ео г/аЬ 1 — !/оЬ Ь(, и!3 иГ2,l 190. 2!/2н. 191. агс18(32/27) — 2н. 192. лв/4. 193. 200ъ~2. 194. 4н/аЬ. 196. гг/!/ас — Ьв. 202. 2. 204. 1) —, — — —; 2) — — + —, 205. 1) О, если и, четное: л, если п нечетное; 2) ( — 1)";г.
цй-! 207. 1) —,; 2) —; 3) —. 215. ( — Цо( — — ~ ~). в=! 216. —,(~ +( — 1)""'!п2) = (~~ — !п2). й=! й=! 221. А. 225. 1) ]х]:, 2) атосов(совх); 3) ог(х] -!- 2 4) — (х] — ( ](( ] )( ( ) ); 5) — агссовх(совогх). 2 12 г 226. (]х+ !] — ]х — !])/2. 227. 1) — 1; 2) 14 — !п(7!); 3) ЗО/л; 4) — нв/4; 5) !п(п!); 6) — г!г (ог/2) .
232. 1/(1+ х). у 7. Вы шсление площадей плоских фигур и длин кривых 3 7. Вычисление площадей плоских фигур н длин кривых СПРАВОЧНЫЕ СВЕДЕНИЯ 1. Вычисление площадей. Пусть функция у = р[х) непрерывна и неотрицательна на отрезке [а;Ь]. Площадь фигуры Ф [рис. 7.1), ограниченной графиком функции у = у[х), отрезком [а; Ь] оси Ох и соответствующими отрезками прямых х = а и х = Ь, равна ь 5 = / у[х) е7х. Фигуру Ф называют иногда нриволи- у=у1 ) а О Ь х неинои пграпециеи. Рис.
7.1 Если функция у = у(х) задана параметрически уравнениями х = х(Ь), у = у[Ь), Ь Е [о;~3], где функция х[Ь) имеет непрерывную неотрицательную производную на [сй П], х[о) = а, х[о) = Ь, а функция у[1) непрерывна и неотрицательна на [о; Д], то площадь фигуры Ф равна 5 = [Гу(Ь)х'[Ь) й. [2) о Пусть функции у = уг (х) и у = уг(х) непрерывны на [а; Ь] и уз [х) > > у1[х), х Е [а; Ь]. Площадь фигуры Ф [рис. 7.2), ограниченной графика- Рис. 7.2 Рис. 7.3 ми функций у1(х) и уг(х) и соответствующими отрезками прямых х= и и х = Ь, равна '= У["[.)- [.))"' [3) и При аналогичных предположениях относительно данных функций для площади фигуры Ф [рис.
7.3) имеют место формулы о' = / х[у) е1у, с Гл. 2К Определенный интеграл и его приложения Рис. 7.4 Рнс. 7гв ченного графиком функции г[7г) в полярных координатах и соответ- ствующими отрезками лучей 7г = о и со = 6, равна в 5 = — / гз [7г) Нр. [4) 2. Вычисление длин кривых. Длина пространственной кривой, заданной параметрически уравнениями х = хЯ, у = рЯ, з = г[б), б 6 [и; б), где х[г), у[г), г[г) непрерывно дифференцируемые па [а; б) функ- ции, равна оеггегггге Длина плоской кривой, заданной параметрически, равна 7~~2+ й,з ле [6) о где х[б) и р[б) непрерывно дифференцируемые на [а;б) функции.
Если плоская криная задана явно уравнением у = у[х), х 6 [а;б), где у[х) -- непрерывно дифференцируемая на [а;б) функция, то ее длина равна [5) в = / тгг1+ ~' ах. а [7) з Я = 1хюр'Юа, [2') а для площади фигуры Ф [рис. 7.4) / [хг[у) х1[р)) лв'. с Пусть функция г = г[~р), р 6 [ой Щ где 0 < ~9 — о < 2к, непрерывна и неотрицательна па [о;,3). Площадь сектора Ф [рис. 7.5), ограни- з 7. Выкислекие площадей плоских Фигур и длин кривых Длина плоской кривой, заданной в полярных координатах уравнением г = г(ф, х Е ~о;Д], где г(у) непрерывно дифференцирусмая па ]о;Д] функция, равна (8) Длину дуги кривой иногда называют ее натуральным парамепьром.
Задание плоской кривой уравнениями х = хДв), у = у(в), где з длина дуги этой кривой от некоторой ее точки ЛХо до точки ЛХ(х; у), называют натуральной параметризаиией криной. При этом, задав на кривой направление, считают длины дуг до точек в этом направлении положительными, а до точек в противоположном направлении отрицательными. Уравнение г'(В,в) = = О, связывающее радиус В кривизны кривой в точке и длину в ее дуги до этой точки, называют натуральным (внутренним) уравнением кривой.
ПРИМЕРЫ С РЕШЕНИЯМИ П р и м е р 1. Вычислить площадь фигуры Ф, ограниченной параболой у =бх — хз — 7 и прямой у=х — 3 (рис. 7.6). а Находим абсциссы точек пересечения данных кривых: из уравнения бх — хз — 7=х — 3 имеем х1=1, ха= площадь фигуры: В = / Кбх — хз — 7) — (х — 3)) с1х = 1 4 = /(Дх — х — 4) сХх = Пример 2. К эллипсу х у — '„+ — ', =1 ое уе проведена касательная в точке ь/з~ Найти площадь криволинейного треугольника АВС (рис. 7.7).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
