1610915390-52cbd25d82d9110658c00fb8dfb6bccc (824753), страница 20
Текст из файла (страница 20)
функция, обратная к функции с51, 1>0. 113. Найти натуральную параметризацию винтовой линии х = асов1, р = ая1п1, х = Ы. Рл. 2. Определениыа интеграл и его приложения 114. Найти зависимости кривизны 1 и кручения лг от длины дуги '1нагпуральные уравнения) для кривой: 1) х = а сов 1, у = а сйп1, г = 51; 2) х = ас)г1, у = авЬ1., г = а1; 3) х = е', у = е ', г = т/21; 4) х = а1, у = т/2а 1пс, г = а/Е ОТВЕТЫ 1.
1) 2; 2) 1п(а/Ь); 3) 1 — е ', 4) аззЬ(хо/а); 5) 125/12; 6) 1/6; 7) 1+ ла/8; 8) т/2 — 1; 9) т/2 — лз/8; 10) (4 — л)/12ли); 11) 1/2. 5) — +1п ~ — /; 6) 9; 7) 1п4 — 2е г; 8) — — —; 9) 61п2 — 2,5: 3 12)' и 8 10) — тГ2. 3. 1) 36; 2) а~/12; 3) 0,1; 4) 9/4; 5) л/2 — 1/3; 6) л/2 — 2/3; 7) (Зл — 2)аз/6; 8) 5(агс18(1/2) +агс1яЗ) + (15/2) 1п2 — 7; 9) 4; 10) 1 — е " (1-ь аг).
4. 1) 18е з — 2; 2) 2л+ 4/3; 3) к/Ь; 4) 0,5(1+ е ')е 16 44 3 ' 15' 1 — аг аЬ1 а — 1' а+1' 9) ггт/аб. 5. 1) 1/12; 2) 32т/6/3; 3) 16/3; 4) л/2 — 1/3; 5) т/2 — 1: 6) 2/.г — 1/2; 7) (1 — 1п 2)/ 1п 2; 8) (45 1п 3 — 24)/ 1п 9. 6. 1) (1+ 1пЗ)/3; 2) 20/9 — 1пЗ; 3) 37/48; 4) (2л+ т/3)/3: 5) бл — 6агсв1п(т/8/3) — 4т/2/9; 6) 1о8л е — 1/4; 7) „+; 8) 121п2 — 61пЗ+1.
сге — 1 1 — о 7. 8/5. 8. 9/2. 9. 1) 9/4; 2) 9/4. 10. 1 =р. а+;~ие — у, 1 з, 1, уе 12. — Уоа1п ' + — Уо,Я~ — Уо + — а- атосов У, . 19. 125/48. 20. 16рз/3. 21. 1) —; 2) 12; 3) а агсв1п — + —; 4) — 5~ 4рг . ее хе 4 1 2руд 3 а бр' 3 1 рро' , згз ,г 13/з " ьу.,(*'- ~ ~|~ 7) г 22. 1) а ье; 2) —; 3) — '; 4); 5) ар2 ' 2' 3 ' 4 ' 8 6) (л — 2) —; 7) у7. Вычисление пло)надей плоских фигур и длин кривых (45 23.
к/4. 25. 1) тгаб: 2) Зк!ав — бв)вД8аб); 3) Зкав/8; 4) ксвп/ть+ 1); 5) кгвп/тт — 1); 6) Зкав/2. 26. Зуав. 27. ав!4кв+ Зк)/3. 28. кавб/И+ 2). 29. 1) ав/60: 2) 8ав/15; 3) 8; 4) 1/3; 5) (4 — тг)/4; 6) 4ав/3; 7) ах( — — — ), 8) ав(ъ~З+ — тг — 41п(2+ 3)ГЗ)) ( 9) — ( —,, — 1). 30. 1) — „!(рл — у) ) ( 2) — ( — — — 1; 3) — ' !еав"2 — еввпе)) 31.
(ив — /и — !)в)кав/3. 2 Ьлнп Ьпл 32. 1) 2.кпав; 2); 3) 2хть!и+1)(21+2) ' 4б 33. 1) 2т)тЗав/3( 2) та /4; 3) Зтгав/2; 4) хь!гтв+ 2бв)/2: 5) кав/8; 6) пав)'2; 7) кал/4; 8) хах/4; р т' е-В совр() еЯ вЂ” еря'о(ро) ,, (атосов 2(1 — ет)3 (2 1 4- е сов ьро 1 4- е сов (ро 10) 2 (1п ' ' + р т' е-'гсов(3() — тает — 1вгп(ро с~Ге-' — 1втпу)о ) 2(ев — 1)ьь)2 1 г е сов ре 1 -г е сов ре 11) атосам —; 12) 8ЛЗ(к + Зкв) ( 13) — — — + 1; 1 1 г т/3 2тГ2 и)2 6 2 14) 1пз 1 4 34. 1) ав!Зк -~- 4)/12; 2) 17тг/4, 3) Завт/3/4; 4) ав агсв1пЯа) — б~/а~ — Ьв ( О 4 14 ЬП вЂ” Ь) — 2(2443 )Ь Ь( — О. 35.
1) 2ах; 2) (Зт/3 — к)/3; 3) ав( 4) ав(2к+Зт/3)/12; 5) ав(2к+ Зъ'3 — 6)/3. 36. 1) авьвъ'6; 2) — (агс181о —,). + "О 37. 1) !4к+ Зги)/2; 2) !2к — ЗгГЗ)/2. 38. 1) 2авЕЯ2 б = сл/ал; 2) 2св!Е!к) — (1 — йв)К!н))ь б = ав/с". 39. )аб(/6. 40. !абагсвш!хо/а) + хоуо)/2. 41. аб!агссовЛ вЂ” ЛуТ вЂ” Лв), 42. — агсяп — ". 2 а хеуо иЬ Г хо уо '1 43. — — — 1п ( — + — ' 2 2 )ьа Ь) 44. 2аб(т))2+!п(3/2+1)). 45. — 1п( — + — ). 44.Ц 2 )3; 3) ( — 2))2 2; 3) 44)4 — 121 2. 42. 2 )Ьле — Вт.
48. 1) а !!п4 — 3/4); 2) а ( — агсвтп — — !п2); 3) 2аЬагсяп 2 2ов 12 ' ( Зги 49. 25к+ 40т/31п2. Гл.2. Определенный интеграл и его приложения Зтг — 4 Л~,и — 2) -~- 1п(2 -в нтЗ) Зтг -В 4 ' ит3(я+ 2) — 1п(2+ ъ'3) а — Ь Ь 51. 2аЬ(тг — агся1п,, ) = 4аЬагс18 —. 52. 4 — 31пЗ. от+ Ьг а 53. 1) 4(тг+ ъ'3); 2) 6(.г+ АЗ):, 3) (7тг — 5нтЗ)/4; 4) (ЗътЗ вЂ” тг)/3. 54. 1) нл/2аг; 2) а; 3) и(ав+ Ь~)/2; 4) пав/8л/2; 5) ав(3~/3 — тг)/3. 55. 1) Зав/2; 2) ав(в/3+ 4тг/3 — 41п(2+ н/3)). 56.
х = сЬ 2я, у = яЬ 2я. 57. т (2ДЯ + ав)/2. ее 1) =( е) и; 2) =Г/ — ' 59. у = соггг гто, с ) О. 61. 1) 74:, 2) 14/3; 3) агся1п(3/4); 4) 335/27; 5) 134/27; 6) (Зн/3 — 1); 7) 232/15; 8) 25/3; 9) итЗ(2 — /хо — ~/хов); 10) (*о то )' 11) 108. 2~/а(а — 2) 62. а=(п-р1)/п, пЕЕ, 'а~О,— 1. 63. 1) яЬа; 2) яЬ2а; 3) нтЬЯ вЂ” 1 — 1Га' — 1; 4) 1п((яЬЬ)/яЬа). 65.
1) нт2+ 1п(ит2+ 1); 2) бъ/2+ 1п(3+ 2вт2); 3) 4ът2+ 41тг(ит2+ 1); 4) г/55+ 4!п((~/5+ 1)/2). Ь ~ ~~ ЪЯ+1'г+ Ы вЂ” 1туУо о+1т + — 1п 69. 1) 4+ —; 2) 2+ — 1п —, 3) 4ъ'2+1п 4 ' 2 3' 7 4) 3+ 1п2; 5) 2(1+ 1п1,5); 6) 1п3; 7) 1п(2+ нтЗ); 8) 1п(2+ нтЗ); 9) 25/3; 10) 21пЗ вЂ” 1; 11) 21гг(1+./2). 70. 1) (тг+ 1)/4; 2) (2+ ит31гг(2+ нтЗ))/2; 3) 1/ъ 2; 4) 2ит2(~(1 + а — нГ1 — а); 5) 7/6: 6) 2(еноте — 1). 7) 2а1п(и/(а — хо)) — хо, 8) а1п(а/хо); 9) ъ'2(5+ 41п2).
71. /(х) = а — Й + Й сЬ (х/те). 72. 1) 6а; 2) 4(ав — Ьв)/аЬ; 3) 8а; 4) агрог/2; 5) ((сЬ21о)вга — 1)/2; 6) а(е""' — 1); 7) Ья — Ьг, 8) яЬ~Ьо', 9) — а1пяшЬо; 10); 11) — (2у'2 — 1); 12) ь 73. / ~/н'(1)+/'(Ь)( и. 74. 1) —; 2) 8г яш —; 3) 8т яш —; 4) ба; я' а+1 . я агО я иго 3 а 4 а 4 ЗаЬг а в Ь 76. 1) 48а; 2) 26. 47. Вычисление площадей плоских фигур и длин кривых 147 77 ц 2ч/55-с1пч2 + ч/о) 2) 1+ 1 1п(1+ /2) чГ2 г е е о 37е г 3) 2 (- + 5 1 (2 + 3)1; 4) 1а со.
1о + Ь .,п ес) а 2чГЗ l Ье — а'-' 5) 10 — нГ21п(н/2+ 1). 78 1) 4/Зъ~З 2) 8; 3) а/ч/3. 79 1) 1о'1 2) 1п1о 80 у =16а/9. 81. 4нч/а/у. еч. )); ч), ) ч иге)," —,." ); З) е,; ч) е)г- б); 5) 2а; 6) а(яро+ 11г)ро/2)). 83. егвн, 84. ау)Г+ Ьв/Ь. 85. 1) Зна/2; 2) 16а/3; 3) 15ка/8. 86.Ц 2а "„, х)=213 2) на „", а=29+1. 12)с)!! 12Ь -)- 1)!! 12/с — Ц!! ' 12Ь)!! 87 2р(ч/2+ 1п(ч/2+ 1)) 88.
1) 12н/ЗЗа; 2) а(7ъ/2+ 31п(ч/2+ 1)). 89. 1) а(ро~/Г+ ро+ !п (ро+ 1/Г+,Д))/2; 2) 8а(51/5 — 1)/31 91. Ц 1о) 2) Я вЂ” 1+ 21пео)/4; 3) (хяв — ног)/2а; 4) н(Ь вЂ” а)/2. 92. т = сене, с ) О. 94. 1) 8; 2) — 1п(н/2+ 1) + а; 3) 41а -~- Ь) — ' . 95. )га. ч/2 а -1- Ь 96. 7а. 97. Яавхо)Я~Я+ /Ь Уо)ого)Я)Я вЂ” ав). ае+ Ье 98. 1) — Е(гохо, Ь), Ь = —,; 2) Е1 3) аР/)р, 1/ч/2), )р = агся1п1ч/2 я4п 1со); 4) аЕ/)р, е), е = 1/ао — Ьо/а, )р = атсяш1хо/а); 5) — Е(у), — ( — сЕ(чс, — ) + — яш р, с = чга'-' + Ь'-'„е = —, хо = с ) 'ег е) а И вЂ” ч,)Ь-+ до, )р = вхсяш 99. 1) 4аЕ( —,е) = 4аК1е), е = 3) 4(а+ Ь)Е( —., ) = 4(а+ Ь)К( а ); 4) 2ааЕ/к/2, ~/чР— 1/и) = 2паК(АР— 1/и).
103. 1) х = асов1в/а), у = аяш1в/а); 2) х = а1п1г(в+ 1/во + аа)/а), у =;(в~ + иа; 3) х = а1соя1+ Ьяш1), д = а1я1пв — 1сояу), 1 = ° 72в/а; 4) х = (то + в соя а) соя 1, у = (хо + в соя а) с4п 1, 1 7 в 1 = — 1п (1+ — сова), а = ахссСдй; и хо Гл. 11 Определенный интеграл и его приложения сс..=у ( .. 'с1 — — *) — (1 — — )~/ — (2 — — )), ( 8 )' 3 сс + Цзсз Ц у сс + Цзсз Цзсз 2 104. Ц Л = 1вв + аг)/а; 2) Л = Сгв; 3) Лз = 2ав; 4) Лз = азСез"с' — Ц; 5) Лг+1в — 4а)г = 4аг; 6) 4Лз + 1в — 6~)з = 36рз; 7) Лз + 4св — Зр)з = 36~в; 8) 9Лг+ 1в — 4а)г 16аг.
9) 2Лв = 1 107. Ц хг + уг = аг; 2) т = е"/;/2; 3) у = с1сх; 1 . 1 4) х = — 1сояС+ Ся1пС), у = — Ся1пС вЂ” СсовС); 2 ' ' 2 1 . 1 4, 4 . з 5) х = — 1С вЂ” в1пС), у = — 11 — соя С); 6) х = — соя С, у = — я1п 4 4 3 ' 3 1-р соево 7) р = ', 8) х = сояС+1пС8 —, у = яшС; 4 ' 2' с 9) х = / с)сг, су = / с)сл.
1 1 108. Ц ъ~са + б Со, .2) 1зз — зс) —, + 1; 3 з ~12 с Ц 2 3) 1а/3)(зссбзв(3+ 2Св) — ф~(3+ 2Сс)); 4) 2аСо, 5) 8с/2а; 6) ъ~аг+бгяЬСо, 7) 2яЬСо, 8) 10; 9) 2а1п(18(ро/2+сг/4)). 109 Ц Сг гСг+1п — '; 2) зсс2(ЗСо+ Сов); 3) а(Со+ б 1о) б(с/2 -р Ц 2) — (Со зс/1 + 2Со + — 1п (з/2Со + уг1 + 2Со) ); с) — '.,( игл:: — нС+с ( и:-~Л~ нр), 2 сиг ч'ор -'г Ьг 111. 4,Г~ЛКС /2,1/,~~~ =4 2ЛК/1/ 2). 112. Ц 9а; 2) 126; 3) 36; 4) —,/ — 12го+ За); 5) 2+ ъ~21ссСз/2+ Ц; 6) — „с — (хо+ За); с/2 Гло 3 а 7) (хо~с~о + 2аф — о) / = ъс2зо', 8) аясп — '+ — ' 1п ' =хо+го; 9) ссз/2а. уо о, 1+ с4п(уо/а) а 4 1 — яспсусс/а) 113. х = а соя(в/~/а~ + бз) у = а яш(в/~~а" + бг), з = бв/~/а~ + бз 114 Ц б сг/(аз+ бг) гс б/(аз+ бг). 2) б лс а/(2аз+вг).
3) б = -х = , 2//4 + вг); 4) б = м = а,/2//4аа + вг). Ьд. Вычисление объемов тел и площадей поверхностей 8 8. Вычисление объемов тел и площадей поверхностей СПРАВОЧНЫЕ СВЕДЕНИЯ 1. Вычисление объемов тел. Пусть функция д = у[х) непрерывна и неотрицательна на отрезке [а;Ь]. Объем и" тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры Ф (рис. 8.1), ограниченной графиком функции у[х), отрезками прямых х = а и х = Ь и отрезком оси От, равен ь '=.У"'[х)' [') а Если функция у = д[х) задана параметрически уравнениими х = х[т), у = д(т), Рис.
8.1 Ь Е [а; ц], где функция х[г) имеет непрерывную неотрицательную производную на [а;ц] и х(а) = а, х(В) = Ь, .а функцип д[т) непрерывна и неотрицательна на [а;р8], то объем г тела, образованного вращением фигуры Ф [рис. 8.1) вокруг оси Ох, равен з 1' = и / у [г)х [1) сЮ. (2) Если функция х[1) убывает и х(а) = Ь, х()д) = а, то при тех гке прочих условиях "'= —.У"[Ь)''[')" [2') Пусть функции у = уг(х) и д = уз[х) непрерывны на отрезке [а; Ь] и уз(х) > у1[х) > О,.
х Е [а; Ь]. Объем И тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры Ф (рис. 8.2), ограниченной графиками Рис. 8.3 Рис. 84 Рис. 8Д функций у~[х), уз[х) и отрезками прямых т = а и х = Ь, равен 150 Гл. е. Определенный интеграл и ега приложения [4) х = х[1), д = д[ь),. ь й [о,~д), где х[Г) и д[Г) непрерывно дифференцируемые на [о; Ьд) функции. Площадь Н поверхности, образованной при вращении данной кривой вокруг оси Ох, равна д я=2 1ня/ 'наер а)л. а Если кривая расположена в полуплоскости д < О, то л=г )1еиь~енягРЯгь а [10) ь '=.У['-'[.) -'[х)) "' [3) Для тел, образованных вращением фигуры Ф (рис.
8.3 и рис. 8.4) вокрут оси Од, при аналогичных предположениях относительно данных функции верны соответственно следующие формулы для объемов: р = и/хз(д) дд, с ;1 1 = ае [ х [1)д'[1) ех, Сб) И Р' = ~[х'[д) — хь[д)) 4д с Пусть тело расположено в пространстве Охдг между плоскостяльи г = го и г = 0+ Н. Пусть каждое сечение тела плоскостью, перпендикулярной оси Ог, илаеет площадь о'[г), где Я[г) интегрируемая на [го, го + Н) функция. Если это тело имеет объем, то он равен МЧ11 'г" = / Н(з) еЬ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
