1610915390-52cbd25d82d9110658c00fb8dfb6bccc (824753), страница 18
Текст из файла (страница 18)
ВС . 81п ~АВС. 1 3 17. Две прямые, пересекающиеся в точке В, касаются параболы в точках А и С. Доказать, что площадь треугольника АВС, ограниченного дугой АС параболы и отрезками АВ и ВС, равна — АВ ВС е1п ~АВС. 1 6 47. Вычисление площадей плоских фигур и длин кривых 18. Прямая касается параболы в точке А, хорда ВС параболы параллельна этой прямой. Доказать, что площадь параболического сегмента, ограниченного хордой ВС и дутой ВАС параболы. равна 4/3 площади треугольника АВС [Архилсед).
19. Найти плошадь фигуры, ограниченной параболой у = хз и нормалью к ней, проведенной через точку параболы с абсциссой х = 1. 20. Найти наименьшую площадь фигуры, ограниченной параболой уг = 2рх и нормалью к ней. Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми (21,22).
21. 1) уз = 2рх, хз = 27пд; 2) у = хе/2, у = [хз — 4х+16)/6; 3) хе+уз = аг, у = хз7[2р), у > О; 4) уз=2рх, уз=2д[Ь вЂ” х), где р, д, Ь>0; б) Уз = 2Рх, (У вЂ” Уо)г = 2д(хо — х), где Р, д, Уо > О, до < 2[Р + + д)хо, 6) 2РУ = х', 2д[д — Уо) = [х — хо)з, где д > Р > О, 2(д — Р)Уо+ +хо>0 7) т/х+ ггу=2, х=дг, д=О. 22.1) (у — х)з=х", х=аг, а>0, а>0; 2) (у — х+ 2)г = 9д, х = О, д = 0, :3) аздз = хг(аз — хз); [ г з)з.
Ь), з з + 6) х" уз = ав[х — а), х = 2а; 7) уз = вше хсовх, — к/2 < х < т/2. 23. Найти площадь фигуры, ограниченной кривой [д — агсяп х) = х — х . 24. Функции у = 7(х) и у = д[х) непрерывны на отрезке [а; Ь), д[а) = д[Ь) = О, д(х) > 0 на интервале [а; Ь). Доказать, что площади фигур, ограниченных соответственно кривыми у- = д[х) и (д— — У(х)) = д[х), равны 25.
Найти площадь фигуры, ограниченной кривой; 1) х = а савв, д = Ьв1п1 [эллипс); е 2) х = — ' совзв, у = — ' вш Ь, сг = аз — Ьз [эеолюта э липей); а Ь 1 — В зав 3) з: = ... д =,, [улитка); (1 + Вг)г ' (1 + Зг)г 4) х = т[псов1 — совпв), у = г[пвш1 — япп1), п — 1 Е И [эпициклоида); 5) х = г(псов1+совпв), у = г[пяпс — в1ппс), п — 1 Е И [гипоциклоида); 6) х = а[1 — сов1) савв, д = а[1 — савв) япу [кардиоида). 26. Найти площадь фигуры, ограниченной аркой циклоиды х = а[1 — яп с), у = а[1 — савв), 0 < 1 < 2к, Рл. Я. Онределенный интеграл и егв нрилвженил и отрезком [О;2га) оси абсцисс.
27. Найти площадь фигуры, ограниченной дугой эвольвенты окружности х = а[сое1+1яп1), у = а[яп1 — 1созт), 0 < 1 < 2к, и отрезком с концами [а; 0), [а; — 2ха). 28. Найти площадь фигуры, ограниченной одной волной трохоиды [уквроченной иик виды) х = а[1 — Ьяп1), у = а[1 — Ьсоа1), 0 < /с < 1, и касательной к этой кривой в ее точках с наименьшей ординатой. 29. Найти плошадь фигуры, ограниченной петлей данной кривой: 1) а=ау — Ьз, у=атз — 1', а>0, 2) х гз аз у тз азг, а>0; 3) х = 1 + 1 — 1з, у = 1 — 151з, 4 х=,, у= „; 5 х= Н1 — 1) 41 1 Н1 — 1) 1Ч-31е ' ' 1+Зче ' 1+1'' 1ЬГе 6) х=авш21, у=аяп1, а>0; /2 7) х = а[ — 1 — вше), у = а[1 — соз1), а > 0; 8) х = а[1+ 2созг), у = а[481+ 2аш1), а > 0 [конхоида Нико- меда); 9) х =41 — Сз, у=яп[кт/2), 0(1(2.
30. Найти плошадь сектора 1а~ < р < ~рз, ~рз — ее~ < 2х, ограничен- ного кривой; 1) г = аье/[2к) [архииедова спираль); 2) г р = а [гиперболическал спираль); 3) г = Леь", к > 0 [логарифлгическ я спираль). 31. Найти площадь фигуры, ограниченной и-и витком архимедо- вой спирали г = адД2х), 2к[п — 1) ( уг ( 2лп, и Е 74, и отрезком полярного луча. 32. Найти площадь фигуры, ограниченной отрезком полярного луча и двумл витками спирали., соответствующими значениям поллрного угла 1а Е [2кп; 2к[к + 1)) и у Е [2х[п+ 1);2к[п+ 2)): 1) г= — 1е; 2) г~р=а; 3) г=Ле""', й>0.
2к Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми, заданными в полярных координатах [33-35): ЗЗ.Ц г=, д=О, ее= —; 2) г=асозр; сов[у — .~г/3) ' ' 2 ' 3) г = а[1 + соаье) [кардиоида); 4) г = Ь+ асов х, а > Ь > 0 [улитка); 5) г = а яп 2х [найти площадь одного лепестка); 6) г = асовйр; 7) г = аяп5~р; 8) г = ав|пп~р, и Е Я; 47. Вычисление плащадвй плоских фигур и длин кривых 155 9) т = , 1а = О, р = ро, О < уа ( уао, О < с < 1 1,эллипс); 10) т = р 1+ есояр ' , р = О, р = до, 0 < уа ( ро, е > 1, е соя ро > 1+есояр > — 1 1гипербвла): «) г=, р=О, р= —; 12) г = , р = О, ~р = — ; ог 3 вэ =6 'ч М вЂ” П, ° =1, ч= 'зп: 14) т= ' ~,.
ус=О, р= —. гсшвр ' я1п р 34. 1) г = 2а соя д, г = а,~, уа = 0; соя' р 2) г = 2 — соя р, т = соя р; 3) т = чГЗая1п~р, т = 2асйп ~уа/2), г > 2атйп 1уа/2); 4) т = а(15|р(, г = 6/сояуа, 0 < 6 < а; 5) г = 2а ' ' ~, г = 26/ яш~р, 0 < 6 < в,. слп р 35. 1) гз = 2аэ соя 2р Ьлемнискагпа); 2) гэ = 2я1п2~р, т = 1, т > 1; 3) г = аэсоя4~р; я1ир 3 5) гг = аЦ1 — 2 соя 2р), г = а, т ( а. 36. Найти плошадь фигуры, ограниченной кривой, заданной в полнрных координатах параметрически: 1) г = аЛ+В, р =1 — агс151, 0 (1( Го, р(го) (2п; 2) г = 1/~/1 + Гг, р = 1 — агс151, 0 < 1 ( Го, ~о(1в) ( 2п.
37. Найти площадь фигуры, ограниченной: 1) внешней петлей улитки ~г — 1 соя р~ = 1; 2) ее внутренней петлей. 38. Выразить через эллиптические интегралы площадь овала Кассини т — 2с~та соя 2р + сл = ал, если: Ц а>с>0; 2) с>а>0. 39. Найти площадь фигуры, ограниченной осями координат и кри- ~/х/а+ ь7у/Ь = 1 1а > О, Ь > 0). 40. На эллипсе хг/аг + уг/Ьэ = 1 дана точка (хо' уо), .хо > О, уо > О. Найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной дугой эллипса с концами 10;6) и 1хо,уо), осями координат и прямой х = хо.
41. Найти площадь меньшего из сегментов, отсеченного от эллипса х~/ай+ уз/Ь = 1 прямой х = Ла, 0 < Л < 1. Гл. 2. Определенный интеграл и его приложения 42. Найти площадь сектора, ограниченного дугой эллипса х'/а +у ХЬ =1, имеющей концы А10; 6) и ЛХ(хо'Уо), то > О, Уо > О, и отРезками ОА и ОЛХ. 43. На гиперболе хг/аг — у2/62 = 1 дана точка (хо, 'уо), хо > О, уо > > О. Найти площадь фигуры, ограниченной дугой гиперболы с концами в точках (а; 0) и (хо, уо), осью абсцисс и прямой х = хо. 44. Найти плошадь фигуры, ограниченной дугами гиперболы х2Хаз — узХЬ = 1 и прямыми у = Ь, у = — 6.
45. Найти площадь сектора, ограниченного дугой гиперболы ,2~ 2 2 ~62 с концами в точках А(а;0), ЛХ(хо'уо) хо > О, уо > О, и отрезками ОА и ОЛХ. 46. Через фокус линии В нторого порядка проведена хорда, парал- лельнан оси ординат. Найти площадь отсеченного сегмента (х > 0), если: 1) В парабола уз = 2рх; 2) Х, эллипс хз/2+ ул = 1; 3) В гипербола хз/!6 — 92/9 = 1. 47. Найти площадь эллипса Ахг+ 2Вху+ Суг = 1, .4 > О, 4АС > В2.
48. Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми: 1) (у — За)2 = 4ах, ху = а"-:, 2) хз+4уи = за', ху = а', х > 0; 2 3) — ',, + —,, =1, х +у =а6, хо+у >аЬ, а>6; иг 62 4) ху = х/а+ ау, х+ у = 2(а+ 1/а), а > 0; (х -Ь а/2) у" (х — и/2) у 6) хз-уз=аз 1хз-аз)здз=ае, у=О,. а=За х>0, ( .2 2)гр2 (, 8 49. Круг хе+ уз ( 75 разделен гиперболой х~~12 — уз/100 = 1 на три части. Найти площадь средней части. 50. Найти отношение площадей фигур, на которые круг хе + уз ( ( 2ах разделен; 1) параболой уг = 2ах — аг; 2) гиперболой 4хз — Зуз = аг. 51. Найти площадь криволинейного четырехугольника, ограниченного дугами эллипсов хг/а -Ь рг(62 = 1 и х~/62+у~/аз = 1 1а > 6).
47. Вычисление площадей плоских фигур и длин криеых 137 52. Найти наименьшую площадь фигуры, ограниченной гиперболой ху = 3 и прямой, проходящей через точку (1; 4). Найти плогцадь фигуры, ограниченной кривыми (53, 54). 53. 1) хз + уг = 2х, хз + уг = 6я:, уГЗу + х = О, у — у'Зх = 0; 2) хз -~- уг = 16, хз + уз = 4у, ~Г3у — х = 4угЗ, у + чГ3х = 4, 3) хз + да = 9, ха + уз = 2чХЗх, угЗу + х = О, усЗу — х = О, х > О, хажуз <9; 4) ха+ уз = 6, ха+ уз = 2х+ 2у (ха+ух > 6).
54. 1) х' + у' = аг(хг + уг); 2) (хг + уг)г = 2а~ху; 5) (.а+уз)з 2 з(.2 2) 2+ 2,2 (.з+ 2) 2) 55. Найти площадь фигуры, ограниченной петлей: Ц листа Декарта хз + у' = Захд; 2) коихоиды (х — а)з(т + уз) = 4ахх~. 56. Задать параметричсски дугу гиперболы хз — уз = 1 (х > О, д ) > 0), приняв за параметр площадь криволинейного треугольни- ка ОАЛХ, где АЛХ дуга гиперболы, А(1; 0), ЛХ(х; у), ОА и ОЛХ -- отрезки, О -- начало координат. 57. Внутри окружности радиуса В находится точка А на рас- стоянии а от центра.
Кривая образована основаниями перпендику- ляров, опущенных из точки А на касательные к окружности. Найти плошадь фигуры, ограниченной этой кривой. 58. Найти кривую г = г(р), для которой площадь Я сектора, огра- ниченного этой кривой и полярными лучами уг = 0 и уг = а, вычис- ляется для любого а Е (О; и) по формуле; Ц Я = аги(о), и > 2; 2) Я = 7ег~(а) — Яо (7с > О, Яо > О). 59. Функция у = Х(х) определена, непрерывна и положительна при х > О. Пусть Я(с) -- площадь фигуры, ограниченной осями координат, примой х = с и графиком функции у = Х(х).
Найти Х, осли о'(с) = = слсХ(с) для любого с > 0 (О < сч < 1). 60. Пусть р > 1, 17р+ 1/у = 1. Доказать, используя свойства пло- щадей, что длн любых а > О, Ь > 0 верно неравенство аа ( а" Хр+ ачХу, причем равенство имеет место только при Л = а" 61. Найти длину дуги кривой: 1) у = 2хз!з, 0 ( х ( 11 2) х = (273)фу — Цз, 0 ( т ( 2усЗ; 3) у=чХ2х — хй — 1, 1/4<х<1: 4) у= — хгХз — 1, 0(х(5уо5; 5) хт=5уз, ха+уй(6. Гл. й Определенный интеграл и его приложения 8) у = (х/6)~(х+ 12, — 11 ( х ( — 3; 9) у=х/х/3(1 — х), 0<хо(х(1: 1 10) р= (х +х ), 1<х<хо, 2 „/о!о — 2) 11) у = — ~хг(Я вЂ” — хЯХЯ) 1 < х < 8.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
