1610915390-52cbd25d82d9110658c00fb8dfb6bccc (824753), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Привести пример таких фуцкпий 1 и д, интегрируемых соответственно на отрезках [а; 6] и [с; ь1], что с < г"(х) < е! для всех х Е [а; 6], а коьлпозипия до 1 нс интегрируема на отрезке [а; 6]. 46. Олределенныа интеграл 105 33. Доказать, что если функция 1 ицтегрируема ца отрезке [а; Ь], то существует такая последоватсльиость непрерывных па этом отрез- ке функций 1„, п = 1, 2, ..., что для любой точки с Е [а; Ь] имеет место с с 1пп ~ ~„(х) 11х = / ((х) Йх.
с Я 34. Доказать, что если функция разрывиа в каждой точке отрезка, то оиа ве иитегрируема иа этом отрезке. 33. Доказать, что, для того чтобы ограниченная ца некотором от- резке фуикция была иятегрируемой иа ием, необходимо и достаточно, чтобы для каждого е > О существовала конечная или счетная сис- тема интервалов, сумма длин которых была бы маиыпе заданного а, которая в свою очередь содержала бы все точки разрыва заданной функции. 36. Выяснить, какой интеграл больше: 1 1 Ц / с1х или / с~х;, 2) / — или / —, 0 о 112 1/2 1 1 2 2 3) /е' '51пхс4х или /е ' з1пхс1х; 4) / '' или / — "'. игГ+ те х 0 0 ! 37. Доказать неравенство: е 1 0 — 1 1 3) — < с ',11х<1.
3 Д 2нхе 38. Функция 1 непрерывна иа отрезке [О; Ц, причем / 2" (х) с(х > О. о Доказать, что существует отрезок [а; Ь] с [О; Ц, иа котором 1" (х) > О. 39. Доказать: из свойств 4, 7 и 8 интеграла следует, что если функции г" и д иитегрируемы иа отрезке [а;Ь], для всех точек х е [а:Ь] выполияется неравенство 1(х) < д(х) и существует такая точка ха Е Е [а; Ь], для которой ((ха) < д(хо), причем функции 1 и д иепрерывиы в этой точке, то в 6 / 1(х) дх < / д(х) Их,. Я а 40.
Будет ли иитегрируема иа отрезке всякая функция, у которой иитегрируема яа этом отрезке ее абсолютная величияаГ 41. Коли функция 1"(х) иитогрируема иа пакотороы| отрезке и ис обращается иа яам в пуль, то будет ли ка этом отрезка всегда ицтегрирусма функция 1/((х)Г Гл.
2. Определенный интеграл и его приложения ь 06 42. Доказать, что если функция т" убывает на отрезке [О; Ц, то длн любого у Е (О:, 1) выполняется неравенство 3 в У/Дх) Дх < /Дх) е1х. 43. Доказать, что если функция 1" интегрируема на отрезке [а; Ь], то для любого е > 0 найдется такое д > О, что для любых о Е [а; Ь] и 11 Е [а; Ь], 0 < Д вЂ” о < О, имеет место неравенство /']У(х)]4х < в а 44. Доказать, что если функция т" непрерывна при х > 0 и 1пп 1(х) = а Е Й, х — е-нее то 1пп — дь т (Ь) е11 = а. 1 Г т ь Тл' о 45.
Построить такую непрерывную при х > 0 функцию, для которой существует конечный предел т 1ьиь — дь 1(ь') ь(г, 1 г т+ Т1 о а предел 1пп 1"(х) не существует. е-е-нее 46. Доказать, что если функции 1 и у интегрируемы на отрезке [а; Ь], то выполняетсн неравенство Коши — Буняковского ь ь ь / Х(*) (х)1 < / У'( ) 1 / '( )1 е а е 47. Доказать, что если функции 1 и у интегрируемы на отрезке [а;Ь], 1 < р < +ос, 11р + 1ьд = 1, то справедливо неравенство Указание.
Воспользоваться неравенством егД < елп,ьр+Де,Ьу, а>0, Д>0. 48. Доказать, что если функции )' и д интегрируемы на отрезке [а; Ь], 1 < р < +ос, то справедливо неравенсгпво Минковского ь ь1п э [/]У(х) + у(х)]" 1 ] < [,/У(х)]'~т~ + ),/]у(х)]я 4 ~ 4 6. Определенный интеграл 107 49. Доказать, что осли функция интегрирусма на отрезке [а; Ь], то она обладает свойством интегральной непрерывности ь 11пс /]Я(х+ Ь) — С"(х)] с1х = О, где 1(х) = 0 при х ф (а; Ь]. 50. Доказать, что если фушсция 7" дважды непрерывно диффсренцируема на отрезке (О; 1], то ."="1У~(')"-, ЬО1 = '"' '"' о ь=о 51. Пусть функция Г интегрируема на отрезке (а; Ь]. Доказать, что равенство ь /1 (х)с1х=О имеет место тогда и только тогда, когда 1'(х) = 0 во всех точках непрерывности функции 1.
52. Доказать свойства 1-10 интеграла исходя из его определения. 53. Доказать, что если функции ссе и оь дифференцируемы на отрезке (а;Ь], А < са(х) < В, А < ф(х) < В при а < х < Ь, а функция 1 непрерывна па отрезке (А; В], то функция Е(х)= / 1(1)сСс, а<х<Ь, ИСхс дифференцирусма на отрезке (а; Ь] и еб0 д, / 2(г)41 = У(о7( )М(х) — Х(7 (х))7'(х) Игс 54.
Найти производную: ь ь ь 1) — 71 япх- с1х; 2) — 71 агп' Нх: 3) — ~ япх с1х; йх йх ссх Я а О хг х' еое х 4) — ~Я+72 Ж; 5) — / "; 6) — ' / созльзй. о хг е1п х Найти интеграл (55 — 106). 2 1 2 55. / хз с1х. 56. / 4'х — 1 — 1 2 59. / (хл — 2х+ 3) с1х.
1"л. Я. Определенняй интпеграл и его приложения 103 98. / хе л 4(х о 100. / 1пхбх «14 1 1 12 «Р2 104. / ез'созхе(х. 103. /хз 31пхд 102. / атсяпхе(х 1 'л 223 61. / (нех+ зеехз) 4(х. 62. / зш те(х. 63. о о 1,е«З 112 о 9 " 1,—, " 1 6.92 "/' -'"х — 11'2 — ~14 2 2 2 3 67. / ел й.. 68.
/2« е(х. 69. / —. 70. / 1 о 2 1 2 е е л о е е. — л л л(3 2 75. / соззхе(х. 76. / 1ц~ха1х. 77. /9Ьзхе(х. — л «,16 о 1 4 — 1 о '3 "(х з 3 1 8 . ' . 82. 1 4(х. 83. 1 Д хг — 2х — 8 ( 2х -~- 1 ( (х 4- Ц(хг -9 1) 2 о о 1 2 4 84 . 85. 1 . 86. 24+Ьтй 2 Е«42 — 2 2 + 2 о 324 о 2 11 2 ./ зех — 1 / 1+ 2222х+ 1,/ хз е е 1 х д х(1+1п х) 1 о 1 «14 1!3 93. 1 . 94. / соезхе(х. 95. / сЬ23хе1х.
д ее +е о о о «12 «14 1 96. ' . 97. 1 1 -л 61п х 4- соз х 1 1 4- 2 япг 2 о о л,ез з 2 99. г хдх 101. /х1пхе(х. яп х 4 6. Определенный интеграл 309 о е 105. / вгп )п х гЬх. 106. о 107. Доказать, что 2п ьпх — пах 1 ) ~ 2гг, о сли птг.п с т Е т если т=п, з гл Их<1, п)1; 6) О< / гЬх<1пЗ; и/Л 1 5) 1 < /е — л'* о 1 — 1 г1х < 2о1п1; нГз 21 и+2 1" еиох 1 1 и+2 о 2 1 и Г е1гг(п,ьбИх+ 1) 1 8 б „Г Гх -Ь 1)ГЗ вЂ” х) б ' о 10) О,ОЗ < ~, г1х < 0,05. .г 1еа+е *)нгГ-Ьха о 109. Найти интеграл: г) 1г(.)..„..ь.
У(.)= (,**, "„'," „'г *,(,' о ( х при 0<х<1, 2) /11х) г1х, если 11х) = 1 — х о 1 — Ь 1 110. Построить график функции ггь) = /х ~х — 1~ г1х. о Если функция 1 имеет вид 1(х) = и(х) +го1х), где функции и(х) ( и и(х) принимают действительные значения и интегрируемы на оть ь в резке.
)а; Ь), то по определению / 11х) г1х = /и1х) Их + г /о(х) г1х.) а а а 108. Доказать неравенства: 1 г 1 г х 1 1 / х!0 1 1) — < 1 г1х< —: 2) —,, < 1 г4х< —; 10иГ2 д игТ Е х 10 ' 20К2 д 4'1 -Ь хе 20 ' о о зоо 1 2 3) 0< / <0,01; 4) 1< / „,г1х<1ч-— о о Гл.2. Определенный интеграл и его приложения Ь10 ) 1'[х) сьх = Е[Ь) — Г[а). 112.
Объяснить, почему неверно равенство; ! С 111'и Ц ) — [ атс18 — ) сЪ = атс18— ) дх[, х) х.ь 2' -1 ь хя 1 х — г ' д 2+ Ьяих,/2,/2 — 1 о 113. Исходя из свойств интеграла доказать теоремы 4, 5 и 6. 114. Для функции /, определенной на отрезке [а:, Ь), назовем ее перввобразной в широком смысле всякую непрерывную на етом отрезке функцию Г такую, что во всех точках отрезка [а; б), кроме конечного их л~ножества, выполняется условие Р'[х) = 1[х). Доказать исходя из свойств интеграла 1 — 10, что если у функции /, интегрируемой на отрезке [а; 6], существует первообразная г' в широком смысле, то имеет место формула Ньютона — Лейбница ) ах) я=~[6)-~[) а 115.
Найти интеграл ) — [ сс1/ 1 сьх [, 1-Ь 2Ол — 1 я,сз 116. Доказать, что / ( ) с1х = —, п е И [срейер). х есих г 2 о Указание. Воспользоваться значением интеграла Дирихле [см. приллер 12). ( 1 1 1 1 117. Доказать равенство 1пп ( + + ... + —,) = 1п2, х и -Ь 1 и -Ь 2 2п, ) использовав интеграл Л 1 118. Доказать равенство 1 Нпь п( п — еео ', тй з- 1г использовав интеграл 1 1 1 я +,, +...+ —.,) = —, иг-Ь2г 2пе) 4' 1 о 111. Доказать, что если функция / интегрируема и имеет на отрезке [а;б) первообразцую г, то имеет место формула Ньютона— Лейбница ь 4 6. Определенны п интеграл 119. С помощью определенных интегралов найти пределы следующих числовых последовательностей: 1 Г. и . 2н и — 1 1) еи = — (яп — -!-аш — + ...
+яп л); п [, и п п ( /1+1+ '1+ 2 + + /1+ и) И ' и Ит Иг Пг "' Ит 1 2' Зе [4тт — Ца ,1) аи — — + — + — +... + ' и иг ттт ттн п1 6) Еи= т +, „+...+ 1 1 1 ттт4ттй 1 ъ'4ттг — 2е тУ4па — ие и Г1н Г Ь вЂ” ат 120. Найти !пп [ — лт 1 (а+ Ь вЂ” ) ~, если фУнкцин 1 интеги — тсю тт и 1=-1 рируелта на отрезке [а; Ь).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
