1610915390-52cbd25d82d9110658c00fb8dfb6bccc (824753), страница 19
Текст из файла (страница 19)
2 5 62. При каких рациональных числах а 1о р'= 0) длина дуги кривой у = ахоу 0 < хо < х < 1, является элементарной функцией ХГ У к а з а и и е. Воспользоваться теоремой Чебышева об иптегри- руемости дифференциального бинома. 63. Найти длину дуги кривой: 1) у=сЬх, 0<х<а; 2) р=вЬзх. ~х~<а; 3) у = !п(ух — т/хя — 1), 1 < а < х < 6; 4) у = 1п !Ь Гх/2), 0 < и < х < Ь. 64. Пусть ЛХгх; р) Гх и': 0) — - точка цепной линии у = асЬ1х/а), -- касательная к этой линии в точке ЛХ, ЛХг -- проекция ЛХ на ось абсцисс, ЛХ проекции ЛХг на !. Доказать, что длина дуги АЛХ цепной линии, где А(0;а) . - ее вершина, равна ~ЛХЛ)~.
65. Найти длину дуги кривой: Ц у = хз/41 О ( х ( 2, 2) р = 4 — хз/2, р ) О; 3) у' = 8х, — 4 < у < 4; 4) у = 4 /т, — 2, 2 ( х < 3. 66. Найти длину дуги параболы уз = 2рх между ее точками (О; 0) н !хо;уо). 67. Доказать, что при качении !без скольжения) параболы хз = = 4ау по оси Ох ее фокус движется по цепной линии у = ос!2 1х/а). 68. Доказать, что если цепная линии катится без скольжения по прямой, то центр кривизны точки касания движется по параболе. Найти длину дуги криной 169, 70).
69. 1) у=ха/2 — 1пх/4, 1<и<3; 2) у=!пх, 2я/2<х<2х/6( 3) у=с'у 0<х<1п7; 4) у=!2)Гхз — Цу 2<х<5; 5) у = 2ъ'1+ сеХЯ, 1п 9 ( х ( 1п 64; 6) у = 1пя1пт„т)./3 < х < 2я/3; 7) х = 1псовд, 0 < у < я/3; 8) у = агся(п е', — 1п 7 < у < — 1п 2; 9) у = 11/3)х;/т+ 3, 1 < х < 6; 10) Р = Ьг(1 — ха)у ~х~ < 1/2; 11) У = !2)(1+ вшх), 0 < х < Я/2. 70.1) р= — х/2 — хз, 0<х<1; 2) у =* (У.((1 *)у У * 6(6( 3) р = т/1 — тв + атстп х, 0 ( х < 9/16, 4) . = 2 16 2(Г-у)((1 ':у) — 'à — у, )у( «1; 5) у = я/х — хз — атосов ~Т вЂ” х, 11/36 ( х ( 15/16; В 7. Вычисление площадей плоских фигур и длин кривых сзв 3) х = аСС вЂ” яп С), у = а11 — сов С), 0 < С < 2х С,циклоида); 4) х = а(совео+ совшио), у = а1вшео — цосовео), О < р < иоа 1эвольеента круга); 5) х = сЬзС у = вЬзС 0 < С < Со, 6) х = аеое сов со, у = ае"'е яп Во, 0 < Во ( зоо; 7) х = сов1а1пС), .у = в1п1а1пС), С~ < С < Ьг; ъ'аг -~- 1 ъ ае — -1 8) х = С вЂ” (1С2) вЬ 2С, у = 2сЬ С, 0 ( С ( Са,.
9) х = а1сов С + 1п 18 Я2)), у = а яп С, 0 < Со ( С < гс2 1трактриса); 10) х = Сз вС, у = Сзв1пС., О < С <1; 1Ц х = 1 — сов 2С, у = яп С вЂ” (1СЗ) яп 3С, 0 < С < .г,С2; 12) х = вшз С, у = сов 2С, 0 < С < п,С2. 73. Пусть функция С(С) трижды непрерывно дифферепцируема 1а; Ь). Найти длину дуги кривой х = Си(С) сов С+ )'СС) вш на а<Сз (С<Се <5. 74.
Найти длину дуги кривой: Ц х=1Сг — 2) вшС+ 2СсовС, у=1Сз — 2) совС вЂ” 2СвшС, 0<С<хм 2) х = гно + Ц сов С вЂ” сов1ее + ЦС), р = гССо + Ц вш — вш1ее+ ЦС), 0 < С < Со < 2л,Со, т > 0 Сэпициклоида); 3) х = т ССо — Ц сов С + сов(а — ЦС), у = г11а — Ц яп С— — в1п1о — ЦС), 0( С < Со (2п,Со, а > 1, т > 0 Сгипоциклоида); 4) х = а12сов2СсовС+ вш2СяпС), у = а(вш2Ссов С вЂ” 2 сов2СвшС), 0 < С <.г; 5) х = г1асовЬС вЂ” ЬсоваС), у = г1аяпЬС Ч- ЬяпаС), 0<С(2пг(а+Ь), а>0, Ь>0, г >О.
6) У = 2(,Ге' — 1 — агсс8,(е* — 1), 0 < х < ха, 7) У = 2а1п — 4игах, .0 < х < хо < а; ,/а Ч- игх 8) у=а1п ' †.Саз — х', 0(х(хо(а; 9) у = тгхз — 32+ 81п(х+ ч/хг — 32),. 6 < х < 9. 71. Длина дуги графика непрерывно дифферепцируемой функции у = С(х) от точки А10;а) до точки М1х;7"1х)) пропорциональна с коэффициентом й угловому коэффициенту касательной к графику в точке М. Найти функцию С'. 72.
Найти длину дуги кривой: Ц х = а сове С, у = а вптз С, 0 < С < 2л; 2) х = 1сз /а) сова С, у = 1сз,СЬ) япз С. 0 ( С ( 2ег, сз = аг — Ь' 1эеолюта эллипса); с 40 Гл. д. Определенныа интеграл и его приложения 75. Пусть функции /(С) и д(С) дважды непрерывно диффорснци- руемы на (а: Ь). Доказать, что длины дуг кривых х = /(С) — д'(С), у = / (С) + д(С) х = / (С) вш С вЂ” д (С) соя!и у = / (С) соя С + д (С) ягп С, соответствуюшие отрезку (Сг, .Сз] с (а; 5), равны.
Найти длину дуги кривой (76, 77). 76.1) х= 8аСз, у =За(2Сг — Сл), д) 0; 2) х=6 — ЗСз, у=4Сз, х)0. 77 1) х=вгггсС, у=соввС, 0<С<к/2; 2) х=соялС, у=ьйп" С, 0<С<к/2; 3) х=аговаС, у=авшвС, 0<С<2гг, 4) х=асовзС,, у=бяш~С, 0(С(Со(к/2, а~у; 5) х = а(яСсС вЂ” С), у = а(сСсС вЂ” 1), О < у ( 7а, х ) О. 78. Найти длину петли кривой: 1) х = Ст, у = С(1/3 — Сз); 2) х = 2Сз(1 — Св), у = ч/15Сл; 3) х = а(Сз — 1), у = (2а/ч/3)(Сз С/4) 79.
Найти длину кривой: с с 1) х — ( совгр~др, у = /' вшрв др, 0 ( С ( Со (клотоида); о о 2) х= / дгр, у= / др, 1<С<Со 1 чг Чс 1 80. Найти прямую у = сопвС, которая делит арку циклоиды х = а(С вЂ” яспС), у = а(1 — соя С), 0 < С < 2к, на три дуги равной длины. 81. Материальная точка под действием силы тягкести движется по циклоиде т, = а(р+ ясп р), у = а(с — сов ср), ~ф ( к (начальная скорость равна нулю, трение отсутствует). Доказать, что период колебаний точки не зависит от ее начального положения.
Найти этот период. 82. Найти длину дуги кривой: 1) т=авгпр; 2) т = ась"', р~ < р ( рв (логарифлсическая спираль); 3) т = а(1 — сов р) (кардиоида); 4) т = 2(1+ соя р), т < 1; 5) т = а(1 — яш гр)., — к/2 < ср < — к/6; 6) т = аССг(р/2)г 0 ( р ( ро. 47. Вычисление площадей плоских Яигур и длин кривых 141 83.
Доказать, что длины дуг последовательных витков логарифми- ческой спирали т = ае ", 2лтг < р < 2л1п + Ц, образуют геометрическую прогрессию, и найти ее знаменатель. 84. Пусть е1о) длина дуги логарифмической спирали т = ась", 1е > О, а < р < О. Найти 1пп е1о). а — г — оо 85. Найти длину криной: 1) т = асозз1гр/3); 2) т = азш~1р/4): 3) асозо17огг5).
86. Найти длину кривой т = аяп" 1рггп), и Е Л', если: 1) и - четное число; 2) п, - нечетное число. р д 33к 87. Найти длину кривой т = , , — < гр < — . яп'рр/2) ' 2 2 88. Найти длину петли кривой: 1) т = а,г яп (~р/3); 2) т = а/ соз" игр,14). 89. Найти длину дуги кривой: 1) т=аОо, 0(р<ро, .2) т=адл, 0<~р<4; 3) т=арл, 0<,р<3; 4) г.=арз, 0<р<4 90. Пусть т1г) и р11), а < 1 < Ь, непрерывно дифференцируе- мые функции. Доказать, что длина дуги кривой т = т11), гр = Ос(1), а < Ьо < 1 < Ьг < Ь Ят; р) —.
полярные координаты точки), вычислп- ется по формуле и 'о 91. Найти длину дуги кривой: 1) т = 1+соа1, р =1 — 1811гг2), 0 (1( 1о < л,: 2) р = от+ 1~с)(2, 1 < т < то., 3) ~р = хгтз — а-'Ха — агггсол1аХт), а < тг < г' < тх., т -~- аЬ 4) ~р=агссоз, а(т<Ь. 1а+ Ь)т 92.
Найти кривую. у которой длина дуги от точки ЛХо до про- извольной точки ЛХ на кривой пропорциональна разности ~ОЛХ~- — ~ОЛХо~, О . данная точка плоскости. 93. Доказать, что при качении без скольжения кардиоиды т = а(1 — ашр) по циклоиде х = а1г — япт), у = а11 — созт) острие кардиоиды движетсн по прямой. 94. Найти длину кривой: 1) 1У вЂ” агсЯпт)е = 1 — х-'; 2) хггх+ У = „~а; Гл. й Определенный интеграл и его приложения 3) 1хс'а)'-~' + Ьссд)'~' = 1 95. Найти длину одной петли кривой 16аауа = х-'12аа — ха). 96.
Найти длину дуги кривой хзсз — дгсв = асрзс лежащей внутри параболы 27ах = 10ъсГОуз. 97. Найти длину дуги кривой (хсса)зссс — (уссд)зсз = 1 от точки га; О) до ее точки гхо; до). 98. Выразить через эллиптические интегралы длину дуги кривой: 1) у = а всссщх, 0 < х < хо ( кс'(2со); 2) х = а1 — Ь яп 1, у = а — Ь сов ос а > О, Ь > О, 0 < йсс ( 1 ( к; 3) тэ = 2сса сов 2Р, 0 ( сР ( сРо < ксс4 с',лелснискагпа); 4) хз/аз + дгссдз = 1, 0 < х < хо < а, у > О, а > Ь; 5) х~газ — д~/Ьз 1 0 < у ( уо х > О. 99.
Найти длину кривой: 1) хгссаа + уз(да = 1; 2) тз = 2аз сов 2р: 3) т = асовср+ Ь 1улигпка); 4) т = аяп гсср, п Е И, и > 1. 100. Доказать, что длина эллипса х~,с'а~ + у-',сда = 1, а > д, равна длине синусоиды у = ъ'аа — Ьэ ягс(х/Ь) с 0 ( х ( 2ид. 101. Доказать, что длина арки кривой х = а1 — ЬяпЕ, у = а — Ьсов1, 0 <1 < 2к, а > О, Ь > О, равна длине эллипса с полуосями а + Ь и )а — Ь|. 102.
Доказать, что длина в эллипса с полуосями а и Ь удовлетворяет неравенствам С сс)«сссС ссс). 103. Найти натуральную параметризацию кривой; 1) хв + уа = а', 2) у = ос)с (х/о); 3) х = а(сов1+1яп1), у = а(япй — 1сов|); 4) т = тост, 5) х = т(:р — вш р), д = т(1 — сов ср), О ( р ( 2к; 6) Уа = (8сс27)хз, У > О. 104. Составить натуральное уравнение кривой: 1) у = асд Гхсса); 2) т = тое~'е; 3) х = ассов1+йяп1), у = а(вш1 — 1сов1); 4) х = а сов р + а 1п 18 Гсргс2), у = а яп:р, О < ср < гг; 5) т, = сссс — вшй), у = а(1 — соей). 0 < 1 < 2к; 6) х = г 13 сов р — сов Зр), у = т13 яп р — вш Зр), 0 < р < т; 7) т = т(3 сов ср+ совЗср), д = т(Зяпср — япЗср), 0 ( р < к/2; с с 8) т = сс1,1 — сов:р); 9) т.
= / сов срз Нр, у = / вш ра сказ. о о 105. Дуга логарифмической спирали катится без скольжения по прямой. Доказать, что центр кривизны точки касания движется по прямой. 47. Вынисление площадей плоских вгиеур и длин кривых 143 106. Циклоида катится без скольжения по прямой. Доказать, что центр кривизны точки касания движется по окружности.
107. По данному натуральному уравнению задать кривую в декартовых или полярных координатах: 1) Д=а; 2) Д=я: 3) Д=,яз+1 4) я=Дз. 5) Дз -~- (я — 1)з = 1; 6) Дг+ (я — 1)з = 4; 7) 9Дг+ яз = 1; 8) Д,/езл 1. 9) Д вЂ” е — в Найти длину дуги пространственной кривой (108 †1). 108. 1) х = а сов 1, р = а вш 1, х = Ы, О < 1 < 1о,. 2) х = ае"" соя 7г, р = аетх ягпуй з = Ье"л, зг < х ( хз, 3) х=а1, р=ах/Ьягп1, х=а,йсов1, 0<1г (1<бг, 4) х = а(1+ соя1), р = а(1 — я|п1), х = 4овш(т/2), 0 < Ь < се, 5) х = а/1 — яш1) г р = а(1 — сов1), х = 4а сов(1/2), О < 1 < 2п; 6) х = а сй 1, р = Ь в1г г, х = а1, 0 < г ( 1е, 7) х=е', р=е ', х=х/2С, О(С(1о, 8) х = совз г, р = вшами, х = сов21, О < Г < 2п; 9) х = а яш гр, р = а сйп р соя гр, х = а 1п соя ~рг ~ ~р ~ < гро < л/2.
109. 1) х = 21, р = 1пт, х = Ьг, 0 < гг < 1 ( Ьз; 2) х = 31 — Ггг, р = 31з, х = ЗЕ + Хз, 0 ( 1 ( Ьо,. 3) х=а1, р=аЫз з 12/3)аЬге 0<Ь<Ьо. 110. 1) х = а соя1, р = а вшЬг х = Ь е', 0 < г < 1п(а/Ь), а > Ь; 2) х = арсоя1, р = аряшт, х = арз/2, 0 ( Ь ( Ьо,' 3) х = аЬсоя1, р = айягпй х = Ы, 0 < 1 < Хе. 111. Найти длину кривой Вивиани х = Двшз С, р = ДвггггсояС, х = Дсовй 112. Найти длину дуги пространственной кривой: 1) хз = Загр 2хз = аг а/3 < р < 9а 2) хз = Зр, 2хр = 9х, О < р < 27; 3) хг = 9р, 16ху = 9зг, ~х~ < 12; 4) хх + р = аз, х ягпгз/а) — усов(г/а) = О, О < з < зе., 5) ха + рг = хз, хсоя(ъг2х) + рягп(з/2х) = О, ~х~ ~ (1; 6) 4ох=Гр-~-х)з, 4хз-~-Зрг=Зх"', О<т<то, г>О; 7) гр — х)' = За/р + х), Охг + 8рг = 8х-', 0 ( х ( хе, р о, о+х па 8) х = о,ягп †' , х = †' 1п ' , 0 ( р ( ро < — ; а' 4 о,— х' 2 а а 9) хз Ч-р~+ з = аг, хвшагс1г — рсояагсй = О, Ъ/х +р 0 < з < хо, где агсйгг (и > 1) — .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
