1610915390-52cbd25d82d9110658c00fb8dfb6bccc (824753), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Тело, имеющее объем, расположено между плоскостями г = 0 и г = Ь. Известно, что площадь сечения тела плоскостью г = сопаг есть функция вида 5(г) = агз + Ьг+ с, 0 < г < Ь. Доказать, что объем тела равен У = — (Я(0) + 45 — + Я(Ь)). 75. Оси двух круговых цилиндров, каждый из которых имеет радиус г, пересекаются под углом а. Найти объем тела, ограниченного этими цилиндрами. 76. На круге хз + уз < га как на общем основании построены два наклонных цилиндра. Их оси лежат в плоскости Оуг, и каждан составляет с осью Ог угол о.
Найти объем тела, ограниченного данным кругом и этими цилиндрами. 77. Оси трех цилиндров (каждый радиуса | ) взаимно перпендикулярны и пересекаются в одной точке. Найти объем тела, ограниченного этими тремя цилиндрами. 78. На боковой поверхности цилиндра хэ + уа < Л-', 0 < г < Н, расположена винтовая линия т, = Лсоа2яа, у = Ла1п2хо, г = Но, 0 < гл < 1. Винтовая поверхность образована перпендикулярами, опущенпыыи из точек винтовой линии на ось Ог. Найти объем нижней части цилиндра, ограниченной этой поверхностью и прямоугольником 0<т<Л, 0<г<Н вплоскости Охг. 48. Вычисление ооиемое сиел и илощадеа иоеерхностеа 169 79.
На боковой поверхности конуса а+ а (12 0( ( Н~Л ге+ а) Л располо1кена коническая винтовая линии х = Л11 — сч) соз 2ио, у = Л11 — сч) з|п 2яа, а = На, 0 < а < 1. Коническая винтовая поверхность образована перпендикулярами, опущенными из точек винтовой линии на ось Ое. К ней добавлен треугольник с вершинами 10;0;0), 10;0;Н), 1Л;0;0). Найти отношение объемон частей, на которые получившаясн поверхность разделнет конус. 80. Радиус сферы равен Л. Найти площадь сферического пояса высоты Н. 81.
Найти площадь поверхности, образованной при вращении вокруг оси Ох данной кривой: 1) у=ч/х, 5/4(х(21/4 2) у=та 0<х<1. 3) у = е ', 0 < х < а; 4) у = а сй 1х/а), )х) < Ь; 5) у = з1пх, 0 < х < тг; 6) 2ау = аз+ хз, 0 ( х < а; 7) у = 2хз1а/3, 0 ( х ( 1; 8) у = 1/х, 1 ( х ( а; 9) у = тах, 0 ( х ( я/4; 10) у = х/хи — 1, 1 ( х ( 5: 11) д = /. и + 1, 0 < х < 1/4; 12) ха/2+ да = 1,. 1 < х < 2, д > 0; 13) ха + д' = 2у.
82. Найти площадь поверхности, образованной при нращении вокруг оси Оу данной кривой; 1) х=1111д — Я2 — 1) ос/4(д(ос/3. 2) 4х + 2 1в у = уз, е. ' < у ( е1 :3) х = сЬ у, 1п 2 < д ( 1в 3; 4) Зх = 4 сову, — и/2 < у < 0: 5) ди = 21х — 1), 0 < у < 1; 6) х = а атса1п,/у/а +,/у(а — у), а/4 ( д < За/4; 7) у = 1пх, 0 < а < х ( Ь; 8) у = ч/ха — 2, ч/2 ( х ( ч/3; 9) — хз + — уз = 1, -х/3 < у < ч/3, х > 0; 3 3 10) х= /д'-2, 2<у < 'В. 83. Фигура, ограниченная графиком функции у = а сЬ 1х/а), 0 ( т ( а, отрезками прямых х = О, х = а и осью Ох, вращается вокруг оси Ох.
Доказать, что объем и' тела вращения этой фигуры и плошадь Я поверхности вращений графика данной функции свнзаны равенством и = аН/2. 84. Найти площадь поверхности, образованной при вращении вокруг прямой у = 5а/3 дуги цепной линии у = асй 1х/а), отсеченной этой прямой. 1 70 Гл. й Определенный интеграл и его приложения 85.
Найти площадь поверхности, образованной при вращении вокруг прямой у = р дуги параболы уз = 2рх, отсеченной прямой т, = р/2. 86. Пусть функция х = хну) определена и непрерывно дифференцируема на отрезке 1с; гл), с > О. Доказать, что площадь поверхности, образованной при вращении графика этой функции вокруг оси Ох, равна л = 2 / у л + *' (и гу. с 87. Найти плошадь поверхности, образованной при вращении вокруг оси Ох данной кривой: 1) уз = 4х, О < х ( 3; 2) уз = 4+ х, — 4 ( х < 2; 3) х = — у — — 1п у, 1 < у < е; а -~- Х/ор — дг 4) т = а1п — л/аз — У'-', О < 5 < д < а. д 88.
Найти площадь поверхности, образованной при вращении вокруг оси Оу данной кривой: 1) у = хе/12р), О < х < Ь; 2) у = а ейных/а), О < х < Ь; 3) у = 1агсвш х + хЯ вЂ” хз)/2, О < х ( 1. 89. Поверхность вогнутого зеркала являстсн сегментом параболоида вращения. Высота сегмента равна 6, радиус основания Я.
Найти плошадь поверхности зеркала. 90. Тело образовано вращением вокрут оси Ох фигуры, ограниченной параболой ад = аз — хз и осью Ох. Найти отношение площади поверхности тела к площади поверхности равновеликого ему по объему шара. 91. Найти площадь поверхности, образованной при вращении вокруг оси Ох кривой, заданной параметрически: 1) х = е'сов1, у = е'яп 1, 2птг ( 1 ( 12п + 1)л, где п заданное натуральное число; 2) х = а12совр — сов 21), у = а12яп1 — вш21); 3) х = а сов 1+ а 1п 18 11/2), у = а яп1, О < уо ( у ( а; 4) х = 1з/3, д = 4 — Р/2, )1( < 2у2; 5) х = 2т/Зсов|, у = яп2й 6) х = ез'/3, д = ев'/5., 1 Е 11п12/3)/4;.
О). Найти площадь поверхности, образованной при вращении кривой Ь, заданной параметрически, вокруг прямой 1 192 — 99). 92. Ь: х = а13сов~ — совЗС), у = а13вш1 — яп31), О < 1< л/2: 1) Е: у=О; 2) Е: х=О. 93. Ь; х = т/2 вш1, у = (1/4) яп 21, О < 1 < л: Ц1;д=О; 2)1:х=О. Эд. Вычисление объемов тел и площидебг поверхностей гтг 94. А: х = 1г+ яп1соа1), у = аяпэ1, 0 < 1 ( л,г2: 1) 1;у=О; 2)1:х=О. 95. А: х = а(1вш1+ сов1), у = а(яп1 — 1сов1), 0 < 1 < гг: 1) 7; у = 0; 2) Е: х = -а. 96. 1: х = 1~, у = (1/3) гсэ — 3), /Х/ < тГ6: 1) 7: у=О:, 2) Е: т,=О; 3) с: х=З. 97. Е; х = аргз+ 1), у = (а1/3)(3 — сэ), (1) ( АЗ: 1) Р: у=О; 2) 1: х=О. 98. Ь; х = а(1 — яп1), у = а(1 — соа 1), 0 < 1 < 2п: 1) 1:у=О; 2) Х:х=О; 3) Н у=2а; 4) Р:х=па; 5) 7: у = а.
99. Е: х = асовз1, у = авшз1, 0 (1( 2л: 1)1:у=О:, 2)1:т=а. Найти площадь поверхности, образованной при вращении кривой В вокруг пряыгой 1, подобрав непрерывно дифференцируеыую параметризацию кривой 1, 1100 — 105). 100. 1: ха+ (у — Ь)э = а-, Ь > а > 0; Р: у = О. 101. 1; 4ха+ уэ = 4; 1) У: у = 0; 2) 7; х = О. 102. Е: у = (1гб) „сх (х — 12), О < х < 12; 1: у = О. 103.
Е: 16уэ=2хэ — хл; 1) 1: у=О: 2) Н х=О. 104. А: Зла+у = у; ): х = О. 105. 1,: у = агсяпчгх+ чггх — х~: Ц У: у = 0; 2) 7, х = О. 106. Найти площадь поверхности, образованной при вращении петли кривой 9ауэ = х(За — х)~: 1) вокруг оси Ох; 2) вокруг оси Оу. 107. Радиус окружности равен Л. Дуга окружности, имеющая угловую величину 2а, врашается вокруг своей хорды. Найти площадь поверхности вращеггия. х у 2 108.
Найти площадь эллипсоида вращения —, + —, + —,, = 1, если: ие Ье се 1) а > Ь гвытянртый эллипсоид); 2) а < Ь (сжатый эллипсоид). 109. Найти площадь части гиперболоида вращения +р — х =1, заключенной между плоскостями х = — 2 и х = 2. 110. Найти площадь поверхности, образованной при вращении дуги гиперболы х га — у~гЬ =1, а(х(Лаъ Л>1: 1) вокруг оси Ох; 2) вокруг оси Оу. Гл. Рб.
Определенный интеграл и его приложения 111. Кривая 9 = совх, — я < х < з, вращается вокруг прямой д = а. При каком а площадь поверхности вращения будет наимепь- шейГ Найти эту наименьшуго площадь. 112. Циклоида х = а($ — вшв), 9 = а(1 — сове), О < 1 < 2х, вращается вокруг прямой у = Ьа, О < Ь < 2: 1) найти площадь поверхности вращения; 2) при каком Ь площадь образованной поверхности будет наилгень- шейГ Найти эту наименьшую площадь. 113. На окружности, радиус которой Л, взята дуга АВ угловой величины 2а. Прямая, параллельная хорде АВ, отсекает от дуги .4В меньшую дугу СР угловой величины 2Д ( В < а).
Поверхность образована вращением дуги АВ вокруг примой СР: 1) найти площадь этой поверхности; 2) при ггаггонг,д площадь образованной поверхности будет наимень- шейГ Найти эту наименьшую площадь. 114. Дуга параболы уз = 2рх, отсеченная прямой 9 = 2х, вращается вокруг этой прямой. Найти площадь поверхности вращения. 115. Найти площадь поверхности, образованной при вращении астроиды х '+9 '=а з,гв л,гз грв 1) вокруг прямой 9 = х; 2) вокруг прямой х+ у = а. 116. Угол между прямыми 1 и ш равен сн длина их общего перпендикуляра АВ равна а.
Отрезок ВС прямой гп, имеющий длину Ь, вращается вокруг прямой К Найти плошадь образованной поверхности. 117. Тело образовано вращением куба с ребром а вокруг его диагонали. Найти площадь поверхности тела. 118. Найти площадь поверхности, образованной при вращении вокруг полярного луча кривой, заданной в полярных координатах: 1) г = 2а вгп гр; 2) г =;/сов 2гр, О < р < гг/4; 3) гз = а вш 2Во; 4) г = овеса(гр,г2), О < ~р < 2зГг3.
119. Найти плошадь поверхности, образованной при вращении кардиоиды г = а(1+ сов р): 1) вокрут полярного луча; 2) вокруг примой гсовр = 2а; 3) вокрут прямой 4г сов во = — а. 120. Найти площадь поверхности, образованной при вращении улитки г = а + Ьсовгр вокруг полярного луча, если: 1) а)Ь; 2) а<Ь. 121. Найти площадь поверхности, образованной при вращении лемнискаты г з = 2аз сов 2Во: 1) вокруг полярного луча; 2) вокруг луча Во = пгг2; 3) вокруг луча ио = х/4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
