1610915390-52cbd25d82d9110658c00fb8dfb6bccc (824753), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Отсюда Иг = 7Ъпагшз!24. а 3. Приложении к физическим задачам. П р и м е р сс Скорость растворения соли в воде пропорциональна количеству нерастворепной соли и разности между концентрацией насыщенного раствора и концентрацией раствора в данный момент.
188 Гл.2. Определенный интеграл и его приложения = Л<то — т) (:о — — ). 140) Отсюда сп 11) Стсс — т11))сс" Тасс — тсС)) Дс ' с с с ш 1т) дг Л Г„ 1те — т1тЯ Месс — ш1т)) Х,/ о о Л с Правая часть здесь равна — 1, а левая — - Е1т1т)), где Е1т) Х о первообразная функции 1 сто — ш) Ссн'се — пс.) ' Е1сп) = д = 1 +С. (тсс — ш) 1Мге — сп) %се — то шсс — ш 3 Учитывая это, а также то что т10) = то, смуге = — то, получаем 2 — 1п 2 Зспа — 2т Л ссссс 21сие — ш) дс По условию пс1Т) = псе/2, поэтому — 1п2 = — Т, — = — 1п2, 2 Л Л 2 те Х ' су Тпм и, следовательно, 2 Зспе — 2пс 21 — 1п 1п2, ше 21спе —.т) Тспи откуда С =Т(1п е ) 11п2. Подставляя сюда сп = Згпо)4, находим время 1с, за которое растворится такая масса соли: 1с = Т(!ссЗ)с1п2.
а При мер 6. Электрическая цепь содержит сопротивление 41 и имеет коэффициент самоиндукции А. В начальный момент ток в цепи отсутствует. В цепь подается внешнее напряжение 1 1с) = Ъо1)Т, где Т = Тчсй. Найти зависимость с'1с) тока в цепи от вромени. Массу то кг соли растворяют в Х л. воды. Концссстрация насыщенного раствора равна со кг,сл. За время Т растворилась половина соли. 3 2 За какое вРемЯ РаствоРитсЯ вЂ” спо кг соли 1считать, что то = — сЛссо)Г 4 3 А Пусть т1с) количество соли, растворившейся за время 1; тогда дш сп скорость растворения равна — , концентрация раствора г. = †,.
По дс ' су условию 4У. Решение геометрических и усизических задач 187 А Ток 111) и скорость сто изменения Иссй связаны уравнением 0117) = М1г) — Х вЂ”, 141) из которого следует, что дс Т ХТ Умножив обе части этого уравнения на ейт, получим, что левая часть сгд1 1 ст еь1г — + — сМ 1 есть производная произведения есс Хаас); поэтому дС Т' — 'с,е'с ~ХЯ) = — 1сйт. Отсюда с / — (е с 177)л'сХт = —" ~те 1 Йт.
Хаас) = — ( — — 1+в 7 ). А П р и м е р 7. Ракета с начальной массой то из состонния покоя проходит участок длины 1 с постоянным ускорением а, испытывая постоянную силу сопротивления 1'. Скорость истечении горючих газов постоянна и равна и. Найти расход топлива на участке й А Движение лсатериальной точки с переменной массой псах) описывается уравнением Мещерского тсчс): Р + Рр 142) где Р -- равнодействующая сил, приложенных к точке, Рр -- реактивная сила, определяемая форлсулой Р„= п4™, (43) где и - скорость присоединяющихся или отделнющихся частиц массы относительно данной точки. В данном случае е = а1, внешняя сила равна — Е, и, учитывая, что векторы и и ч противоположно направлены, из 142), 143) получаем дпс тпа = — Р— и —.
дС Отскзда ти+ Р' 1 дпс та+ Хт дг и си сй = — — ' та-НЕ и о 1 — 1п1та + Е ) а, о и' тад-Е а 1и тса+ Г и Здесь левая часть равна с~с~11с), так как 110) = О. Правый интеграл вычислим, применив формулу интегрирования по частим; в результа- те получим, что Гл. й Определенный интеграл и его приложения Учитывая, что а1з/2 = 1, 1 = ° гг21/а, находим т = — Е/а+ (то + Е/а)е и, следовательно, расход топлива равен то — т = (то+ Р(а)(1 — е ~~ы~").
а Пример 8. Определить расход воды через прямоугольный водо- слив с высотой 6 и длиной а. А Скорость, с которой жидкость вытекает из достаточно малого отверстия в сосуде, находящегося на глубине 6, равна и = 1л~ЯФ. (44) О а Для воды принимают р = 0,.6. Пусть (х ), д = 0,1,2,...,п, — разбиение высоты водослива (т, е, отрезка )О; 6) ). В точках прямоугольника высоты Ьх, = т, — хо ~г у = 1,2, ..., и., и длины а (рис. 9.5) скорость истечения воды и, = у~20~~, где хй — 1 ь а < ~, < х, Объем воды, вытекающей в еди- Ж ницу времени из такого прямоугольника, равен ЬЧ)1 = и ллхд а = р Ь~2у а тД Ьх .
Полный объем воды, проходящей в единицу времени через водослив, т. е. расход воды, равен П и Я = ~глЯ, = р '2уа~ Д,.ахх,. а=1 о=1 В правой ичасти етого равенства стоит интегральная сумма для интеграла /,гхе1х. В пределе, когда мелкость разбиения стремится к нулю, получим Я = р туг2у а ~ огх с1х = — р, ~,~ 2у а6зйг.
3 о Принимая р = 0,6, будем иметь Я = 0,4.„~2д а6з1г. А Пример 9. Однородный стержень с длиной 1 и постоянным по длине поперечным сечением площади Я закреплен одним концом (х = = О). К другому концу (х = 1) приложена вдоль оси стержня растягивающая сила Р. Эта сила уравновешена продольной нагрузкой, распределенной равномерно по длине со значениями у(0) = уо, у11) = О. Модуль продольной упругости маториала стержня равен Е.
Найти абсолютное изменение длины стержня и потенциальную энергию упругих деформаций, накопленную стержнем. 49. Решение геаиетричесних и хизических задач 189 А Пусть осесиммстричный стержень, ось которого примем за ось х, растянут или сжат. Согласно теории упругости, плоские сечения стержня при деформации остаются плоскими, по поперечному сечению площади Я(х) равномерно распределены нормальные напряженин сс(х), их равнодействующей является нормальная сила Х(х) = = а(х)5(х). Если стержень (или его участок), имевший в свободном состоянии длину х, получил удлинение дч((х), то дЖ(х) дх есть относительное удлинение стержня.
Для материалов, подчиняющихся закону Гука, а(х) = Еа(х), (4о) где коэффициент Б . - модуль продольной упругости материала. Потснциальну1о энергию упругих дефор- зч(х) мации стержня определяют по формуле ~ 9(х) )' зч' (х) дх ,У 2ЕЯ(х) (46) ф о 4 Рассмотрим равновесие части данного стержня, Ф заключенной между сечениями с координатами х и ) (рис. 9.6). Сумма проекций сил на ось х равна нулю, поэтому Р— Х(х) — / 4(г) сЬ = О. Рис.
9.6 Из условия следует, что 4(х) = ао() — х),Ч, где 4о--- значение распрадслснной продольной нагрузки на конце х = О., поэтому Р— зч'(х) — ~ ао с)г = О, Р— зч'(х) — и Ц вЂ” х)а = О, 21 откуда Х(х) = Р— цо() — х)з/(22). Из условия уравновешенности распределенной продольной нагрузки и силы Р следует, что реакция в месте закрепления х = О равна нулю, т. е. Х(О) = О, откуда до = 2Р(Е Следовательно, кс( ) Р(1 П х) ) Теперь находим нормальные напряжения: зч'(х) Р ( П вЂ” х)з ) относительные удлинения по формуле (45): а(х) Р ( И вЂ” х) ) Гл. гд Определенный интеграл и его приложения 100 и абсолютное изменение длины всего стержня; лл1= /е(х)е1х = — / (1 —,, ) е1х = .
(47) о о Потенциальную энергию упругой деформации стержня определяем по формуле (4б): Г 2У (х)йх Р' Г ( 2Н вЂ” х) Н вЂ” х)' 1 4РЧ / 2ЕЯ 2ЕБ / 1, Р И,l ЖЕ5' о о Ответ дается формулами (47), (48). а ЗАДАЧИ 1. Найти все функции 9 = 9(х), у графика которых поднормаль во всех точках одинакова и равна р > О. Указать ту из этих функций, график которой проходит через точку (р/2;р). (Поднорлеаль -- это проекция на ось Ох отрезка нормали от точки на кривой до точки пересечения с осью Ох.) 2. Найти все кривые, у которых каждая нормаль проходит через точку (хо, 'уо). 3.
Найти кривую, проходяшую через точку (а; — 1), а > О, у которой проекция на ось Ох отрезка любой касательной от точки касания до точки пересечения с осью Ох равна а. 4. Найти в первом квадранте кривую, проходящую через точку (1; 1), у которой отрезок любой ее нормали, заключенный между осями координат, делится точкой кривой в отношении т: п, гп Р и, считая от оси Ох. 5. Найти в первом квадранте проходящую через точку (1; 1) кривую, у которой отрезок любой касательной, заключенный между осями координат, делится точкой касания в отношении гп: и, считан от оси Ох. 6.
Найти все кривые, у которых отрезок любой нормали от точки кривой до точки переселении с осью Ох имеет длину и. 7. Найти все кривые, у которых отрезок любой касательной от точки на кривой до точки пересечения с осью абсцисс имеет длину а. 8. Найти кривые, проходящие через точку (О;2) и обладающие свойством: угол между лучом, проведенным из начала координат в произвольную точку кривой, и осью Ох равен углу между этим лучом и касательной к кривой в этой точке.
9. Точка начинает двигаться с ускорением а = иоД1 — ий) из состонция покоя при 1 = О. Найти путь, пройденный точкой к тому моменту, когда ее скорость достигнет значения ио. яд. Решение геометрических и физических задач 191 10. Точка М движется по прямой из начального (1 = 0) положения О с начальной скоростью но. Ускорение точки меняется по закону а = — 2иош язп шХ, 1 > О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
