1610915390-52cbd25d82d9110658c00fb8dfb6bccc (824753), страница 25
Текст из файла (страница 25)
48. Вычисление объемов тел и площадей поверхностей 122. Найти площадь данной части цилиндрической поверхности: 1) х + рг = а, 0 < х < 1гхгги, х > 0;. 2) р=Ь вЂ” Ьхзгаз, 0(х(1гх/а, х>0, р>0; 3) х /их + гй~/Ьз = 1, 0 < х < 1гх/и, х > О, р > О, а > Ь; 4) х',гиз + гй~ггбз = 1, 0 ( х ( Ьхгга, х > О, р > О, и < Ь; 5)хз,12 — рз=1,чГ2<х<2,0<х<ьсЗх. 123. Образующие цилиндрической поверхности параллельны оси Ох, а направляющей является кривая Е в плоскости Охр.
Найти плошадь части этой поверхности, заключенной между плоскостью х = 0 и поверхностью Я, если: 1) А: х = е'соз1, р = еее1п1, —.г (1( г; Я: х = Ьгхз+ рз; 2) Ь: х=гзгЗ, р=5 — гз, — Л<1<чгг5; Я: р=4х; 3) А: х = асозч г, р = ашпз1, 0 < 1 < 2я; 5: 10х+ 10у — Зх -ь 10а = О. 124. Найти площадь части цилиндра хз + рз = Нх, расположенной внутри сферы хг + рз + хз = Лз. 125.
Радиус каждого из двух круговых цилиндров равен г, оси этих цилиндров пересекаются и перпендикулярны. Найти плошадь части одного цилиндра, расположенной внутри другого. 126. Радиус каждого из трех круговых цилиндров равен г, оси всех трех цилиндров пересекаются в одной точке и попарно перпендикулярны. Найти площадь поверхности тела, ограниченного этими тремя цилиндрами.
127. Радиус каждого из днух круговых цилиндров равен г., оси этих цилиндров пересекаются под углом и. Найти площадь поверхности тела, ограниченного двумя данными цилиндрами. 128. Два круговых цилиндра (радиус первого - г, радиус второго 17 (лг > г)) расположены так, что их осн пересекаются и перпендикулнрны. Выразить: 1) через эллиптический интеграл плошадь части первого цилиндра, расположенной внутри второго; 2) через эллиптические интегралы площадь одной из частей второго цилиндра, распологкенной внутрги первого.
ОТВЕТЫ 1. 1) тграз, 2) лиз,г2; 3) л. 4) ЗлиЬз,г7 5) лз,14; 6) — (Ь+ — з1г — ); 7) — (1 — е зо(1+ 2а)); 8) л(2 — 5гге); 9) яз,г2; 10) ггз — 2я; 11) гк 12) лз(лз — 3)г8. 2 1) ~ а ) 2) егзсг 0 3) — 1пЗ 4) 2агге шаг) ' 2 8иг 174 Гл. 2. Определенный интеграл и его приложения ) (6 81 2) 6) Зн(961тг2 — 6Ц 7) /7 121 3 ) 8) 22т/2н 9) ттзГ2агссбт/2, 10); 11) 2аз; 12) п(1+ — 1п — ).
2 за 2 2 Ь.г н(н — 2) тгаз 3. ) —; ); 3) 20рб 4) 2 Ьг 4. 1) — паЬз; 2) —,, Ьа(6+ За); 3) „1г(Ьз+ Заг); 4) ттйз(10 — Зс)/6; 5) паз(241п2 — 16)/3; 6) паз(241п4 — 31)/24; 7) паз(35 — 241п4)/24. 5. 1) тг(15 — 161п2)/2; 2) заз(61п2 — 4)/3; 3) тгаз(41п4 — 3)/81; 4) ттаз(17 — 241п2)/3. 6. 1) 4тг; 2) 8тг; 3) ттг/12; 4) нг(4нз — 15)/21; 5) ',/рдз. 6) аз 7) аз 8) паз(6 — 8 1п 2).
Т 1) ((1+ — ) — 1) 2) 3) 70п 4) 2нггза. 5) Збттз; 6) 8ттаз/3. 10. 1) 2ттйз(Ь вЂ” а); 2) тт(е — 1); 3) тг1п2; 4) 8тг/3; 5) (8п+ 2)аг; 6) 4ттазЬ/Зр; 7) 2па Ь; 8) тг(е — 2). 11. 1) тг(1 — яп1); 2) а(пз — 8)/4, 3) 4пз; 4) (25пз+ 8пз — 8тг)/4; 5) паз(50 — 15.г)/3 6) 128тг/15 12.
1) а) п(Ь вЂ” а)'/30; б) тг(Ь+а)(Ь вЂ” а)з/6; 2) а) тгз/2; б) 2сз; 3) а) п(нз — 8)/4; б) нз/4; 4) а) (тг+2)аз/8; б) тгаз1п2; 5) а) пзаз/4; б) паз(1п2 — 0,5); 6) а) 4тт(44 — 271пЗ); б) 4тг(27 — Ьз/Зтт)/3; 7) а) 2паз/(5рз); б) 4тга~/(Зр); 8) а) 32 трз/15; б) 4тгрз/3; 9) а) 4тг(2+ 91пЗ); б) Зп(21пЗ вЂ” 1) 1пЗ; 10) а) тгз/2+ Знз/8; б) тгз/2 13. 1) 4паЬз/3; 2) 4назЬ/3. 14. Ц 32паЬз/105; 2) 32пазЬ/105. 15. 1) 2тт(1+51п2)/5; 2) 13п/30; 3) 433тт/15. 16. 1) ттз — 4тг; 2) тгз. 17.
Заг/(8Г2~. 18 1) 272прз/15. 2) 45тгрз/4. 3) 64ттрзтГ2/1от 19. 2 з(9 '3 — 4)/3. 20. 1) паз(16 — З~/3)/24 2) тгаз(2тг — Зз/3)/3 21 у = хзтг 22. д= сс0 лрзл с) О. 23. атзЬ/2. 24. ггРиЦ8. 25. тгРгЦ8 26. ттт г(Н+ Ь)/2. 27. 2псз(япо — (егози)/3 — асано). 28 1) ттЬ(ЗЛз — Згс — ЗгсЬ вЂ” Ьз)/3; 2) пйз(2 — з/2)/3; 3) пЛз(бъ'3 — 5)/(9ъ~З) 29. 1) 4ттрз/15; 2) 2тт(6 — 2з/Загз1г|/3), 3) тт(27 — 4з/Зп)/3.
30. 16пайг/1ос. 31. п1т(8Рз + 4Рт1 + Зг1з)/60. 32. 1) аЬ(Заз + Ь,"(1 — ез))/6; 2) 4паз/(З(1 — ег)). 48. Вычисление объемов тел и площадей поверхностей 175 33. Ц иЬ(Заз — (ез — ЦЬз)/6; 2) 4"газ/(3(ез — Ц). 34. 71иаз/210. 35. 2и,/5аз/75 37. 4иргтнз/(15иТ+ йз). 38. 2иа(аз ягпз асояо+ ЗЬз сояо)/3. 39. Ц тгГ/ч/3; 2) 7и1'з/2/6. 40 Ц 92из/2/(35аз). 2) 5тг/(4аз) 41. Ц бх/7; 2) Зтг/4. 42. Ц 8тгаз/15; 2) азиз/2.
43. Ц 5изаз; 2) бизаз 3) паз(9из — 16)/6; 4) 7изаз, 44. Ц 32иазЬ/10о; 2) ЗизазЬ/4. 45. Ц (26и/2+ 16)ииз/105; 2) 116и/105. 46. Ц 8иаз(31п2 — 2)/3; 2) 2иаз(10 — Зи)/3. 47. Ц (паз/24)(241п4 — Ц; 2) 2изаз/3. 48. 1: 25. 49. Ц 64и/35; 2) 64и/105. 50. Ц паз(61п2 — 4)/3; 2) 4иаз/3. 53 Ц 2(ил — биз)аз/3 2) 2и/3; 3) 4иаз/21 4) 2изаз; 5) иоз/1о. 64 6) . 7) (езе ' + Цсве'и; 8) —: 9) 105 ' 3(99т-яЦ ' 24 ' 8 8иоз тгаз(51 — 64!п2) тг(2+е) 4) — (Зз/21п(з/2+ Ц вЂ” 2); 5); 6) 7) 2тгаз(91п1,5 — 2)/9; 8) азиз/(25/2).
55. Ц и(и+ Ц)4/(ба): 2) тг(а — 1)л/(ба); 3) 4и1(17+ из)/3. 56. Ц 4иаз/15; 2) 32и/2иаз/105; 3) итЗиаз/4; 4) ч/Зиаз/8; 5) ти (16+ 5и)/4; 6) иаз(Зи — 8)/3; 7) 4ир~/15: 8) з/2иза /8. 57 Ц паз(51 — 321п4); 2) (4иаз/3)(61гг(2+ ч/3) + Зу'3 — 4г). 58. 13изагт,'4 59. Ц (ит2иа /24)(З 1п(5/2+ Ц вЂ” и/2); 2) лизав/8. 5) 2иа (3 — 1п4). 61. Ц азиз/16; 2) 4иаз/3; 3) 8ииз/15; 4) 4иаз(16ит2 — 9)/105; 8ииз,т105 62. тгза'/4. с ' 3 5) 4иаз/3; 6) иаЬс/2; 7) 8иазЬ/3. 65.
Ц 2аЬН/3; 2) 8азфз — йг)/15; 3) 16аЬс/15; 4) 4аЬс/3; 5) (Зтг — 1)аЬН/9; 6) паз/4. 66. —. 67. х сгбо( — яш',р+ — яшгрсоя гр — — соягр). р 3 ' ' (,3 2 2 68. 8 . 69. (Зи+ 4): (Зи — 4). 3(1 — 18згг)т/т ' 176 Гл. Я. Определенный интеграл и его приггенгенип 70. Ц 16абс(3; 2) 16ъ'аЬаг(15; 3) набе,тб, 4) агбтг2; 5) 23набс,г81; 6) 64тг/3; 7) 22н. а 1 71.
8а Ь|3. 72. — (агбг+агЬг+ — (агЬг+аабг))~. 3 ~ 2 73. 1т/2. 75. 16тг,г(Зе1па). 76. (4тгсф8а)ГЗ. 77. 8(2 — чг2)гг. 78. тгВ~Н~2, 79. 3; 1. 80. 2тгЯЬ. 81. Ц 98иггЗ, 2) н(10гга — Ц,г27; 3) н(нГ2 — е е~/Г~е — '" — 1п ). 1-р гГ2 4) 2тга(Ь+ — е1г — ); 5) 2тг(~Г2+ 1п(1+ ъГ2)); 6) — (31п(~Г2+ Ц + 7лГ2);. 7) — (7н 2+ 3 1гг(уГ2+ Ц); а- ъГ2-~- 1 9) и(иГ5 — ~Г2+1п ); 10) тг(34 —./21п(иГ2+ Ц); 2уг2 — 2 1Ц иъГ2 4; 12) — + н(1 — — ); 13) 4нг.
82. Ц н( — 5 — 91п2+ 161ггЗ)гг6: 2) тг(е54 — 4е й)гг8; 3) н(185+ 1441п1,5)тг144, 4) тг(20+ 91ггЗ)гг9; о) и(11~ 2+ 71п(ъ 2+ Ц) 6) иае (11 9гтЗ+ 2 (2 ГЗ Ц) 7) и(!п + бнЪ'+1 — а гГа'+1)~. а -р ига- +Т 8) лГ2и(;Г2+ 1п(1+ ~Г2)); 9) Зтг(2+ тг)гг2; 10) н(ЗъГ5 — 2ъГ7 — — 1п ). 84. 2тгаг(20 — 91п3)тг9.
85. 2тгрг(~Г2+ 1п(1+ ~Г2)). 87. Ц 56нтгЗ; 2) 62тг~З; 3) н(ее+ Зе — 4)гЗ; 4) 2;ги(а — Ь). 88 Ц (2н,ГЗр)((рг + Ьг)зта рз). 2) 2тга(а+ ЬЯ)г(б/а) — ас1г(б/а)); 3) 2н(2~Г2 — ЦггЗ. 89. (нЯ/6бг)((41га+ Ла)гти — Ле) 90. (5тг128 6'ГО) (14~Г5+ 17 1п(2 + ~Г2) ) — 0,9461. 91. Ц 4~Г2тге~л" г0'(с1гтг)ГЬ; 2) 928та )5; 3) 4иа(а — уо); 92. Ц 18игггг; 2) 24наг. 93. Ц н,т2; 2) 10~Г2итгЗ. 94.
Ц 4тга-',тЗ; 2) 2н(Зтг — 4)аг/3. 95. Ц 6тгааг; 2) Зтг(тгг — 4)аг. 96. Ц 12тг; 2) 184~Г6нгг15; 3) 4н(32ъГЗ+ъГ6)г5 97 Ц Зтгггг. 2) 96иГЗнаг,Г5 98. Ц 64иагггЗ; 2) 16нааг; 3) 32т;аг/3; 4) (8ггЗ)н(Зн — 4)аг; о) 16(2гГ2 — Цтгаг,гЗ. 48. Вызволение объемов спел и площадей поверхностней 177 99. 1) 12тгаз/5, 2) 12каз. 100. 4пзаЬ. 101. 1) 8п+ /4т/Я~1п(2+ ътЗ); 2) 2п+ (8пв)/(ЗътЗ).
102. 48тг. 103. 1) и/2; 2) 10ът2п/3. 104. 5тг(4+1п5)/32. 105. 1) 2кгЗт — 4)/3; 2) 4п/3. 106. 1) Зтаз; 2) 56ътЗтгаз/5. 107. 4пВз1яш о — а соя о) . а . 1 ътаг Ьт 108. 1) 2тгЬ(Ь+ — агсяпетг, е = 2) 2пЬ(Ь+ — ' 1п ), е = 109. 2п16+ ът2 1п(ыГ2+ 1)). 110. 1) тгаЬ(Л~/Ре~ — 1 — — — 1 ' ' ) е = 2) (р~Щ 11Дзез 1+ (ег Ц 1п ( + '. )) ъ'ае + Ь' 111. а = О, Я и, = 4тг(ыГ2+ 1п(1/2+ 1)). 112.
1) 16п13Ь вЂ” 4+14 — 2Ь)зтз)ае/3: 2) Ь = 3/2, гово = 8паз. 113. 1) 4тгЛз12я1п)д — я1по — 12г3 — о) сояг3); 2) /т = о/2, Ян,г„= 16пВй я1п(о/2) япа1о/4). 114. (п7тз/12ът5)(7ьт2 — 8+ 31п(ьГ2+ 1)). 115. 1) 3 (4 2 — нт5; 2) т ' 2. Ь У ~,,в~-*,, па. ! 'Гь,4*+ тяте ° геле ~ а ство 117. пгл"-14+ ыт2+ 1ггг1+ г/2))/ыт6. 118.
1) 4тгеаз; 2) 2п12 — ът2); 3) 4паз; 4) 56таа/3, 119. 1) 32паз/5', 2) 96пай/5; 3) 84паз/5. 120. 1) 4па- (1+ — сов о — —. соя о), о = агссоя —; 3 15 )' 4кЬ т яп В о 2) — (24 — 16яш — ), тт = агссоя —. 1о 1-В япВ ' Ь 121. 1) 4тгаз12 — г/2); 2) 4т/2паз; 3) 8аал. ц 2 Ь. 2) тЬ/т12Ьй))ттаз + 4Ьз)з7й з). ), е= 2 ), 2с 1 — е)' а 4) — (1т1 — ей + — агсяпе), е = 5) у'2(!п(2 + 1тГЗ) + 2ътЗ). 123. 1) ът2я1г2п; 2) 37/15; 3) 20аз.
124. 4В-'. 125. 8тз. 126. 2412 — л/2)тз. 127. 16тз/япо. 128. 1) 8ВтЕ/и/2,т/В) = 8ВтЕ1г/К); 2) /ВйЕ)т/В) — (Лв — тз)Х/т/Й)). Гл. и Определенный интеграл и его приложения д 9. Применение интеграла к решению геометрических и физических задач (2) (4) (6) (8) СПРАВОЧНЫЕ СВЕДЕНИЯ Вычисление моментов и координат центра масс. Пусть на спрямляемой плоской кривой 1 длины 1 распределена масса с плотностью р(е),. являюшейся функцией длины дуги,ч. По следующигл формулам вычисляют; лассу кривой т= /р(е)ьЬ; (1) о статические. льоленты кривой относительно осей Ох и Оу Ме = ~уЯрЯьЬ, Л1„= ~х(ь)рЬе)ьЬ; о о координаты центра лосс И„Л1к хс = —, дс= —; (3) чп т ' лоленты инерции относительно осей Ох и Оу 1 1. = ~у'Югч( ) Ь, 1, = ~ 'Ьв)рЮ й о о Пусть плоская фигура Ф задана неравенствами уь(х) < у < уа(х), о < х < 5, где уь(х), уз(х) — — непрерывные на ~и;б] функции.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
