1610915390-52cbd25d82d9110658c00fb8dfb6bccc (824753), страница 29
Текст из файла (страница 29)
60. Найти координаты центра масс части однородного шара ха + +у + е < а, лежащей в первом октанте. 61. Найти центр масс тела, ограниченного поверхностями хз+рз =2р(е — Ь). ха+уз = 21)И,, с =О, р> О, Ь > О. 62. Найти центр масс однородного тела, образованного при вращении сектора круга с радиусом Л и с центральным углом о вокруг ого граничного радиуса. 63. От однородной сферы с радиусом Л отсечена плоскостью, проходящей через ее центр, полусфера. Найти расстояние от центра масс этой полусферы до секущей плоскости.
64. Прямой круговой конус имеет высоту й и радиус основания Л. Найти расстояние до основанин конуса от центра масс: 1) его боковой поверхности; 2) его полной поверхности (считая их однородными). 65. От однородного параболоида вращения отсечен плоскостью, перпендикулярной оси вращения, сегмент высотой 1и Найти расстояние от центра масс сегмента до секущей плоскости. Гл.
гч Определенный интеграл и его приложения 19б 66. Найти момент инерции однородного: 1) прямого кругового конуса с высотой 6 и радиусом основания Л относительно плоскости основания; 2) полушара с радиусом Л относительно плоскости основания. 67. Найти момент инерции однородного шара радиуса Л относи- тельно диаметра.
68. Найти момент инерции относительно оси вращения однород- ного: 1) прямого кругового цилиндра с радиусом Л и высотой 6; 2) полого цилиндра с высотой 6, внутренним радиусом г и внеш- ним радиусом Л: 3) прямого кругового конуса с высотой 6 и радиусом основа- ния Л: 4) усеченного конуса с высотой 6 и радиусами оснований Л и г, Л>г, 5) тела, ограниченного параболоидом вращения и плоскостью, про- веденной на расстоянии Ь, от вершины перпендикулярно оси; радиус окружности сечения равен Л: 6) тела, ограниченного гиперболоидом вращения х~/2 + рз/2 — гг = 1 и плоскостями г = О, г = 1; 7) тела, ограниченного поверхностями хг + уз = 2р(г — 6), хз + рз = 296е г = О, р > О, 6 > О. 69.
Фигура, заданная неравенствами О < х < 1, О < у < ег, враща- ется: 1) вокруг оси Ох; 2) вокруг оси Оу. Считая получающееся тело вращения однородным, найти его мо- мент инерции относителыю оси вращения. 76. Эллипс хз/аз+ уз/Ьз = 1 вращается: Ц вокруг оси Ох, 2) вокруг оси Оу. Считая получающийся эллипсоид однородным, найти его момент инерции относительно оси врашения.
71. Тор образован вращением круга радиуса г вокруг оси 6 ле- жашей в плоскости круга и отстоящей от центра круга на расстоя- ние ей Найти момент инерции тора относительно оси 1 (г1 > г). 72. Найти момент инерции относительно диаметра основания однородного: 1) цилиндра радиуса Л и высоты 6; 2) конуса с радиусом основания Л и высотой 6. 73. Радиусы оснований прямого усеченного конуса равны « и 2г, угол между образующей и основанием равен л/3. Найти центр масс его: д9. Решение геометрических и Физических задач 1) боковой поверхности; 2) полной поверхности.
74. Найти центр масс оболочки, являющейся: 1) сферическим поясом с высотой Ь: 2) сегментом с радиусом основания Л и высотой ЛъГЗ/2, отсеченным от параболоида вращения плоскостью, перпендикулярной его оси. 75. Найти центр масс части поверхности цилиндра, заключенной между плоскостями х = О и х = Лу!Л, д > О, если цилиндр задан уравнением; Ц г + ч з Лз.
2ч,д!з +, з)з Лз)з 76. Найти момент инерции: 1) боковой поверхности цилиндра с радиусом Л. и высотой 6 относительно его оси; 2) боковой поверхности конуса с высотой 6 и радиусом основания Л относительно его оси; 3) сферы радиуса Л относительно ее диаметра. 77.
Гладкая кривая и не пересекающан ее ось лежат в одной плоскости. Доказать, что плошадь поверхности, полученной при вращении кривой вокрут оси, равна произведению длины кривой на длину окружности, описанной центром масс этой кривой (первая теарелеа Гульдина~. 78. Доказать, что объем тела, полученного при вращении плоской фигуры вокруг не пересекающей ее оси, лежащей в плоскости фигуры, равен произведению площади этой фигуры на длину окружности, описанной центром масс атой фигуры (вторая теорема Гульдина~.
79. Пусть оси и и и1 параллельны, расстояние между ними равно с!, пусть гладкая кривая Т и ось зн лежат по разные стороны от и. Пусть Я и Я~ --- площади поверхностей, образованных при вращении кривой Т, вокруг осей и н и, соответственно. Доказать, что Я, = = Я+ 2яд1, где ! — длина кривой А. 80. Пусть оси и и гн параллельны, расстояние между ними равно д, пусть фигура Ф и ось зм лежат по разные стороны от и. Пусть 1х и 1'ч - - объемы тел, образованных при вращении фиг уры Ф вокрут осей и и и, соответственно. Доказать, что 11 = 1'+ 2лдЯ, где Я площадь фигуры Ф.
81. Тор образован вращением круга радиуса г вокруг оси, лежащей в одной плоскости с кругом и удаленной от его центра на расстояние с1, д > г. Используя теоремы Гульдина, найти: Ц плошадь поверхности тора; 2) объем тора. 82. Эллипс с полуосями а и Ь, а > Ь, вращается вокруг прямой, параллельной большой оси эллипса и отстоящей от нее на расстоя- 198 Гл. 2. Определеннигп интеграл и ега прилалгения ние д > Ь. Используя теорему Гульдина, найти объем получающегося тела вращения. 83.
Дуга окружности радиуса г имеет угловой размер сг. Используя теорему Гульдина и формулу для площади сферического слоя, найти центр масс дуги. 84. Найти центр масс полукруга радиуса г, используя теорему Гульдина. 85. Найти площадь поверхности и объем тела, полученного вращением правильного треугольника со стороной о вокруг оси, отстопшей от его центра на расстояние 11 > а,гзГЗ.
86. Правильный п-угольник со стороной а вращается вокруг одной из сторон. Найти площадь поверхности и объем получающегося тела вращения. 87. Квадрат со стороной и вращается вокруг прямой, проходящей через его вершину и составлнюшей угол 9а с диагональю квадрата, выходящей из этой вершины, л/4 < 1а < г/2. Найти площадь поверхности и объем получающегося тела вращении.
88. Правильный треугольник со стороной о врашаетсн вокруг прямой, проходящей через его вершину и не имеющей с треугольником других общих точек. Каков наибольший возможный объем получающегося тела вращенинГ 89. Фигура, ограниченнан двуми арками циклоид л = а(г — з1п1), у = ~и(1 — соз1), О < г < йгг, вращается вокруг оси Оу. Найти плошадь поверхности и объем получающегосн тела вращения. 90. Используя формулы длн длины астроиды тайг + угй1 = озфз и длн площади ограниченной ею фигуры (задача 72, 1) и прилгер 4 9 7 (при Ь = а), найти площадь поверхности и объем тела, образованного при вращении астроиды вокруг прямой х + 9 = о. 91.
Одна поверхность образована при вращении арки циклоиды л = а(1 — а1п1), д = а(1 — соар), О < 1 < 2л, вокруг оси От,, другая -. при вращении той же арки вокруг прямой у = 2о. Найти отношение площадей этих поверхностей. 92. Тонкий однородный стержень имеет массу ьч и длину 1. Какую работу необходимо совершить, чтобы раскрутить стержень до угловой скорости ш вокруг оси, проходнщсй через его конец перпендикулнрно стержнюГ 93. Тонкая однородная проволока массы т, согнутая в полу- окружность радиуса г, вращается вокруг оси, проходнщсй через ес концы, с угловой скоростью ш.
Найти кинетическую энергию проволоки. 49. Решение геаззетринеених и уизинеених зада ~ 199 94. Найти кинетическую энергию прямоугольника с плотностью р и сторонами а и 6, вращающегося с угловой скоростью ш вокруг своей оси симметрии, параллельной стороне длины и. 95. Однородная прямоугольная пластина со сторонами а и 6 и массой гп вращается вокруг стороны а с угловой скоростью ш. Найти кинетическую энергию пластины. 96.
Найти кинетическую энергию однородного круга плотности р и радиуса Л, вращающегося с угловой скоростью ш вокруг оси, лежащей в плоскости круга и удаленной от его центра на расстояние Ы ) Л. 97. Найти кинетическую энергию однородного треугольника плотности р с основанием и и высотой 6,, вращающегося с угловой скоростью ш вокруг своего основании. 98. Однородный цилиндр с радиусом Л, высотой 6 и массой т вращается вокруг своей оси с угловой скоростью ш, Найти кинетическую энергию цилиндра. 99.
Какую работу необходимо совершить, чтобы остановить однородный шар радиуса Л, вращаюшийсн вокруг своего диаметра с угловой скоростью изГ Масса шара кь 100. Однородный цилиндр массы т, радиуса Л и длины 1 вращается с утловой скоростью ш вокруг прямой, проходящей через центр цилиндра перпендикулярно его оси. Найти кинетическую энергию цилиндра. 101. Однородный шар массы т и радиуса Л, прикрепленный к пити длины 1, вращается с угловой скоростью ш (центр шара движется по окружности).
Найти кинетическую энергию шара. 102. Однородный конус массы ьч с радиусом основанип Л и высотой 6 вращается с угловой скоростью ш закрут прямой, проходншей через его вершину перпендикулярно оси конуса. Найти кинетическую энергию конуса. 103. Бак (прямоугольный параллелепипед) заполнен жидкостью плотности р. Высота боковой стенки равна 6, длина и.
Найти: 1) силу давления на стенку; 2) глубину точки приложения равнодействующей давления. 104. В жидкость плотности р опушена вертикально прямоугольная пластина со сторонами и и 6 так, что сторона а, близкайшая к поверхности, находится на глубине 6,. Найти силу давления на пластину. 105. Пластина в форме прямоугольного треугольника с катетами а и Ь опущена вертикально в жидкость плотности р так, что катет а находится на поверхности жидкости.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
