1610915390-52cbd25d82d9110658c00fb8dfb6bccc (824753), страница 37
Текст из файла (страница 37)
- . первые буквы франа цузских слов ча1епг рПпс1ра1 --- главное значение). Таким образом, по определению Ь с —." Ь ч.р./ Р(х) дх = 1пп ( / р(х) с1х+ / Р(х) с1х). а а с.~-с ь Если существует несобственный интеграл / р(х) с1х, то сушествуа ет и интеграл в смысле главного значения, и эти интегралы равны.
Из существования интеграла в смысле главного значения пе следует существование соответствующего несобственного интеграла. Дейст- вительно, 1 — с 1 ч.р./ — = 11пл (/ — + / — ) = 11ш [1п[х[ +1п[х[ ) =О, — 1 — 1 1 г с1х а интеграл ( — не существу ет. — 1 41й Несобственные интегралы от неагринииенных функций 243 2) Подьпггегральная функция неограниченна в правой окрестности точки х = О, поэтому 1 1 /' !яхтах = 1пп / 1пхНх = !1п1 (х!пх — х)~ е — > "1"0 У е — >ц-О о г 1!ш ( — 1 — е!пе+е) = — 1. г — ~ЕО 3) Подынтегральная функция неограниченна в окрестности точки х = О.
Данный интеграл сходится, если сходится каждый из интегралов о 1 о Но первый из этих интегралов не сходится. В самом деле, о йх , г йх — 1пп / — = !пп 1пф = — оо. Х е-1 — О,/ Х е-~ — Π— 1 — 1 Следовательно, и исходный интеграл является расходящимся. 4) Подьштегральная функция неограниченна только в правой окрестности точки х = -1. В левой окрестности точки х = 1 функция агссоех ограниченна, так как 1пп ' = 1. Следовательно, е — >1 — 0 Я вЂ” Х- 1 1 1 агссоех , г агссоех е!х = !пп / ' " 11х = — 1пп / агссовх й агссоз х = — — — 1-10 / тггг — хг е-1 — 1ео у Е г 1 2 ~1 1 .
з к — — 1пп агссоз х~ = — 11ш агссоз е = —. я 2 е-1-1-;-0 ' 2 е-1-1-~-0 2 1 П р и м е р 2. Исследовать / о я Пусть а у'= 1; тогда Дх —, а Е й, на сходиыость. хи , — а Х !пп е — ец-0 1 — а — !1ш Е-ам 1 е — 10 —, еслиа<1, 1 — а' +ос, если а > 1.
— иы 1пп Е-1,-О 1 — а я 1) Подынтегральная функция неограниченна в левой окрестности точки х = 1 и интегрируема на любом отрезке [О;е), е < 1. По определению несобственного интеграла получаем 1 йх . / е!х 1пп 1' = !1п1 агсгйп е = — . Я вЂ” хг — 11 — О У игà — хг — >1 — О 2 о о Сл. е. Несобстеенние ннтегр ли 244 (Ф +1)- Пример 3. Вычислить интеграл 1 с)х. ./ о а Используя свойство (2) линейности несобственного интеграла, имеем 1 / гх / у;-+ / зг-+ / с-' о о о о Для функций 11 г хх, 1/Щ 1/зги на промежутке (О; Ц первообраз- ными являются соответственно функции (б,15)Фхе, (3/2)КР, 2;/х.
По формуле Ньютона--Лейбница получаехи ,41х 5 +о 5',1 4)х 2 ьо 2' н1х то о о Следовательно (тсх -~- 1) 6 31 о Ых П р и м е р 4. Вычислить интеграл У (2 — х) нс1 — х о А Воспользуемся формулой замены переменной в несобственном интеграле. Положим 1 — х = 11, Г > О; тогда х = 1 — сз, с)х = — 2111й новые пределы интегрирования сс = 1,,13 = О. Следовательно, о /' ' = — l' е = /' „ 11х )' 1Ж г Ж = — 2 1,, = 2 1 „= 2агстбг (2 — х)Л вЂ” х у П14+ 1) у 11+ 1 о 2 о о Здесь несобствеьч1ый интеграл заменой переменной преобразован в собственный интеграл.
А 1 г 1пх Приь|ер 5. Вычислить интеграл ~ — с)х. /;.. о а Применим формулу интегрирования по частям для несобственного интеграла. Положим и = 1п х, с1и = с1х/ /х, тогда с)и = с)х/х, о = 2 х/х Пусть а = 1, тогда 1 1 Следовательно, интеграл сяприа>1. А 1пп 1пЦ~ = — 1ья1 1пс =+ос.
е — е-ЬО е е — е-~-О 1 11х — сходятся при а < 1 и расходитха о 411. Несобственные интегралы от неограниченных функций 24Ь ь л,)2 //х =2 / с!1=и.,й '1*- )1/- ) л))2 Пример 8. Вычислить интеграл / 1пв1пхс!х. о а Подынтегральная функция неограниченна в правой окрестности точки х = О. Установим сначала существование интеграла. Для этого воспользуемся формулой интегрирования по частям, положив и = 1пвшх, /4и = Дх. Тогда соя х Ыи= — /!х, п=х, яшх л)'2 — х с!я х с!х = ео о л72 !пв1пхс1х = х!пя1пх о и, следовательно, !их с ах — дх = 2 у)х 1и х — 2 / — = — 2 1ш1 ч/х 1п х — 4ь/х = — 4. Я Л ' ' --о,/х '. -ьо ео о о Пример 6.
Найти плошадь фигуры 4), ограниченной отрезком [О; к/2] оси абсцисс, графиком функции р = яшч х/ ч/сояз х,:г б [О; л/2), и его асимптотой. ,а Искомая площадь выражается через несобственный интеграл следующим образом; о о Для вычисления интеграла положиль сов х, = й тогда а)х = — Ф/ вшх. Новые пределы интегрирования о = 1) Д = О. Следовательно, 1 2/' 11 — 2 ) /11 /' [ — 2,)ь „27ь) Д / ') 2)ь б) 127ь') 25 чрьг / 12 12 / о 12 1 о П р и м е р 7.
Вычислить интеграл дх а,бе й, 6>а. )1 — и/ — .) ' а Подынтегральная функция неограниченна в правой окрестности точки х = а и в левой окрестности точки х = б. Заменой переменной х = асов21+ бсйпгб, 1 Е [О;к/2) данный интеграл сводится к собственному интегралу. Действи- тельно, находим новые пределы интегрирования о = О, /! = л/2; за- тем вычисляем х — а = (6 — а) в)п й 6 — х = [6 — а) сов й )4х = = 2 [б — а) вш 1 соя 1 Ф. В результате получаем 4н.3. Несебстеенные интегр лы 41'2 422 — ! пп (х 1и а!п х) — / х ссд х с)х = — / х с1д х с)х.
е — 44-0 о о Последний интеграл существует, так как функция х осах ограниченна на пролеежутке (О;х!21. Следовательно, существует и исходный интеграл. Обозначим его через 1 и сделаем замену переменной х = 2С Тогда получим 41'2 414 ,У = / 1п еш х 41х = 2 / 1п еш 21 111 = о о е)4 е/4 л1'4 =2 /(1п2+ 1пзш1+ 1псозг) о11 = — 1п2+ 2 / !пз!п1411 + 2 / 1псозгМ. 2 о о о Замена переменного 1 = х,12 — и в последнем интеграле приводит его к виду е/2 1п з!и и с!и, е,14 и, следовательно, для з получаем уравнение У = — 1п 2 ч- 2,1, 2 из которого находим з = — — 1п2.
а 2 1 Г сое'(1!х) Пример 9. Исследовать ) ' ' 41х на сходимость. е а На промежутке (О;1) справедливо неравенство созе(11х) 1 1 г 41х 1' 11 и так как ) — сходится ! пример 2, о = — ), то по признаку срав2)' о пения 1, а) сходится и данный интеграл. А 1 11х Пример 10. Исследовать ) ',, на сходимость. хл е А Подьштегральнан функцин р(х) = 141(1 — хз) неограниченна в левой окрестности точки х = 1. Возьмел1 в качестве функции сравнения функцик1 д(х) = 1Д1 — х). Так как Р(х) .
1 — х 11ш = 1ш1, = 1пп 4-41 — о д(х) 2 — 41 1 — х1 с — 41 1+ х -!- хе 3 ' то из расходиыости интеграла 11х у!1. Несобственные интегралы вт неограниченных функций 247 (пример 2, о = 1) согласно признаку сравнения П, а) следует расходимость данного интеграла. А Пример 11.
Исследовать у! ' с1х на сходимость. чгсх е!и чгх о д Подынтегральная функция неограниченна в правой окрестности точки х = О. При х — ! +О имеем 1п(! + чггхг) ~ъ~и- "1 ч/х в!и чггх х чггх г йх и так как интеграл у! †„ сходится, то по признаку сравнения П, б) / го сходится и данный интеграл. А 1 г ! 1вх~ Пример 12. Исследовать у! с1х, о Е !7, на сходимость. ха о а Рассмотрим сначала случай сг < 1. Пологким е = 1 — оц тогда е > О. Представим подынтегральную функцию в виде )1ах! !1пх( х'~ (1пх) ха х1 — е .1 — г,~г При х — ч +О имеем хега11пх~ — ! О, поэтому существует такое хо, что для всех х Е (О;хо) верно неравенство хгР ~ !их~ < 1.
Следователыю, из равенства (7) получается оценка )!и х( 1 <,, х Е (О;хо). т.' ее с!х Поскольку у! , сходится, то по признаку сравнения 1, а) схо/ х — ~г о лг г ~ 1пх!с!х дится и ! . Поэтому сходится и данный интеграл, так как он ха о представим в виде 1 ее 1 !1пх! Г !1пх! Г (1вх! ла ! ха / ла ге т. е. в виде суммы двух интегралов, один из которых сходится, а другой является собственным интегралом. Таким образом, при о < 1 исходный интеграл сходится.
Пусть теперь о > 1. В этом случае для всех т. Е (О; 1/е) верно неравенство !!пх~ > 1 и, следовательно, неравенство ~!пх!/х~ > 1/х". Гль 3. Несобственные интеерелы 248 11е Применяя признак сравнения 1, б), получаем, что 1 — ' с1х расхог [1пх[ ха 1 г [1пх[ дится, а позтому расходится и интеграл ~ дх. ха о Итак, исходный интеграл сходится при всех о < 1 и расходится при всех о > 1, а П р и м е р 13.
Доказать расходимость интеграла 1 Г '(Л) х о а Длн доказательства применим критерий Коши. Возьмем произвольное число 21 Е [О; Ц и натуральное число п такое, чтобы выполнялось неравенство и > 11(л(1 — Н)). Оценим снизу модуль интеграла по отрезку [1 — 1((лп); 1 — 12(2лп)), сделав предварительно замену переменной 1 = 1/(1 — х): 1 — 1Н2пп1 зпп 2пп Ы 2[ 1 ) 4х = / ' 2М> 1 ( '1п Ыс= 1 — 1дпп1 2пп 1 (' 1 — сон 22 1 пп 1 211п / 2 2нп 2 4 лп Из полученной оценки следует, что существует число е = 1/4, такое, что для любого числа Н Е [О; 1) существуют числа п1 — — 1 — 1/(лп) и 112 = 1 — 1/(2лп) такие, что Пример 14. Исследовать на абсолютную и условную сходимости 1 ( 1 ) 11х о интеграл А Воспользуемся признаком Дирихле. Положим У(х) =,, 81п ( ) и д(х) = 1 — х.
Функция Г"(х) непрерывна на промежутке [О;1), и ее первообразная (-.. ) 1 — соз ) ограниченна. Функция д(х) непрерывно дифференци- 1 — х) руема и монотонна на [О; 1), причем 1пп д(х) = О. Оба условия прил — е1 — О Согласно критерию Коши это означает, что данный интеграл расходится. А 211. Несобственные интегралы ат неограниченных фрннциа 249 знака Дирихле выполнены. Следовательно, интеграл сходится. Абсольотно интеграл не сходится, что следует из неравенства 1 . 1 1 . 2 1 зш > зш 1 — х 1 — х 1 — х 1 — х и из расходимости интеграла 1 У--'(='.) — "'. о установленной в примере 13.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
