1610915390-52cbd25d82d9110658c00fb8dfb6bccc (824753), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Сходится абсолютно при гг < 1, условно при 1 < а < 2. 113. Сходится абсолютно при о > — 1, условно при — 2 < а < — 1. 114. Сходится абсолютно при а < 1, условно при 1 < о < 2. 115. Сходится абсолютно при а .> О, условно при — 1 < а ( О. 116. Сходится абсолютно при гг > — 2, условно при — 3 < о < — 2. 117. Сходится абсолютно при а > 1, условно при а < — 1.
118. Сходится абсолятгно при о < 1, при а > 1 расходитсн. 119. Сходится условно при а > — 1, при а < — 1 расходится. 120. Сходится абсолютно при 11 < 1, а < 1; условно при ~гу < 1, 1 < а < 2. 121. — 1<а<2. 3 3 122. Сходится абсолютно при а > —, условно при 1 < а ( —. 2' 2 Гл. б. Несобственные интегралы 1 1 1 123. Сходится абсолютно при а > —, условно при — — < а < —. 2' 2 2 124. Сходится абсолютно при а > 1г2, условно при 1г4 < а < 1)2. 125. Сходится абсолютно при а > 3)2, условно при 1 < а < 3)2. 126. Сходится абсолютно при а > 1, условно при 1г2 < а < 1.
127. Сходится абсолютно при — 1 < а < 1, условно при — 2 < а < — 1. 128. Сходится абсолютно при — 1 < о < 1, условно при 1 < о < 2. 133. !п2. 134. 1)9 135. Если п = 1, то !п((6 — с)Дс — а)); если п = 26+ 1, 6 Е Я, то (1Дп — 1))((о — с) "— (6 — с)' "): осли п = 2й, Е Е И, то интеграл не существует. 136.
!п2. 137. — л!п2. 138. — (!пЗ)/4. 139. !и . 140. а > — 1. 1 — /à — ог о 2 12. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования СПРАВОЧНЫЕ СВЕДЕНИЯ 1. Определение интеграла с бесконечными пределами интегрирования. Пусть функция 1(х) определена для всех х > а и интегрируема в любом отрезке (и; 6). Если существует !нп /1(х) г!х, а то этот предел называется несобственным иктегралолг функции 1(х) ка промежутке (а;+со) и обозначается / 1" (х) г!х, В этом случае ч-со говорят также, что несобственный интеграл / 1(х)г!х сходится, а функция 1(х) иктегрируема е несобственном смысле на промежутке (а;+со).
В противном случае, т. е. если предел (1) не сушестч-:м вуст, говорят, что интеграл / 1(х) г!х расходится, а функция 1"(х) кеинтегрируема е несобственном смысле на промежутке (о;+со). Для непрерывной неотрицательной функции р = 1(х), х Е (а;+ос), -~-со сходлшийся несобственный интеграл / 1(х)Нх равен плошади не- 212. Интегралы с бесконечными пределами интегрирования 2Ь7 ограниченной криволинейной трапеции Ф [рис. 12.1): Ф = 1[х; д): и < < х < +сю, О < д < 1[х)). Аналогично определяется несобственный интеграл функции 1[х), х б [ — со; Ь), с нижним бесконечным пределом интегрирования: ь ь у=1(х) а О х) дх = спп 1[х) Йх Рнс. 12.1 то причем -~-со / [о1[х) + рд[х)) дх = о / 1(х) с1х+,3 / д[х) дх. [2) а а а 2. Формула Ньютона.
Лейбница. Если функция 1"[х), х б [о;+ею), непрерывна и г'(х), х 6 [и;+со), какая-либо ее первообразная, то -ьх / 1[х) сьх = 1с[х)[ = Г[+оо) — Р'[а), [3) Несобственный интеграл с бесконечными верхним и нижним пре- делами интегрирования функции 1(х), х Е й, определяется следую- щим образом: / 1'(х) с1х = / 1'[х) дх+ / 1'(х) дх, где с некоторое число. Если для функции 1(х), х Е [о, +со), при некотором с > а сущест- вуют интегралы -~-со /1(х) дх и / 1(х) дх, -~-со с -~-ас / 1[х) йх = /1[х) йх+ / 1[х) йх.
а а Если хотя бы один из ингегралов в праной части этого равенст- ва не суи1ествует, то интеграл / 1[х) дх называется расходящимся 2. Основные формулы дли несобственных интегралов на бесконечном промежутке. 1. Линейность интеграла. Если несобственные интегралы / 1[х) дх, / д[х) дх сходятся, то для любых чисел о и Д сходится интеграл / (о1 (х) Ь,дд(х)) с~х, а 288 Гл. 3. Несвбстеенные интеграле~ (4) где где Г(+со) = 1пп Е(х). 3. Формула замены переменной. Пусть Дх), х б [а;+ж), — непрерывная, а сз(1), 1 Е [о; Д, 3 < +ос, -- непрерывно дифференцируемая функции, причем а = д(о) < ~р(1) < 1ш1 Ф(1) = +со; г — ~З вЂ” о Ч-сс в / ((х)й' = /.((Ф1)МЬ)йй е Формула (4) справедлива в случае сходимости по крайней мере одного из двух входящих в нее интегралов. В случае расходимости одного из интегралов расходится и другой. 4.
Формула интегрирования пв частлм. Если и(х), х Е [а;+со), и с(х), х Е [а;+ос), непрерывно дифференцируемые функции и 1пп (ие) существует, то е — ~-~-зс -~-ос йи = [' — / йи, (5) а О ие[ = 1гш (ии) — и(а)и(а). Формула (5) справедлива в случае сходимости по крайней мере одного из двух входящих в нее итсгралов. В случае расходи- мости одного из интегралов расходится и другой. 5.
Интегрирование неравенств. Если функции г'(х), х Е [а;+со), и д(х), х Е [а; +ос), удовлетворякзт неравенству Д(х) < д(х), то для интегралов Есе ч е / Д(х) их, / д(х) с1х а е при условии их сходимости верно неравенство Е се -~-се / 1(х) с1х < / д(х) ах. а е 3. Признаки сходимости и расходимости интегралов длн неотрицательных функций (признаки сравнении). Пусть функции Р и д нсотрицательны и интегрируемы на любом отрезке [а; Ь], Ь < +ос. Тогда: 1. Если 1' и д удовлетворяют на промегкутке [а;+со) неравенству (<д, то; вас а) из сходимости интеграла / д(х) с1х следует сходимость инЕсе тсграла / ((х)с1х; б) из расходимости интеграла / 1'(х) с1х следует расходимость е 612.
Интегралы с бесконечными пределами интегрирования зла Еос интеграла / д(х) Их. о П. а) Если д > О на промежутке (а;+ос) и существует 11пь () =6, * '- д() -~.оо Ьао где 6 ф О, то интегралы / г(х) с1х и / д(х) с1х сходятся или расхо- дятся одноврелаенно; о а б) в частности, если р д при х ь +со, то ~ и д одновременно либо интегрируемы, либо неиптегрируемы на промежутке [а, +со). Его 4. Критерий Коши. Интеграл / ((х) с1х сходится тогда и толь- а ко тогда, когда для любого в > О существует число Ь = 6(в) > и такое, что при любых 6| > Ь и Ь > Ь выполняется неравенство ьг /' ~(~)- ь', Критерий Коши часто используется длн доказательства расходич о мости интегралов: / 1(х) с1х расходится, если существует число е > О такое, что для любого Ь > о существуют числа 61 > Ь и Ьа > 6 такие, что ьг / ((х) с1х > в.
ь1 5. Абсолютнан н условная сходнмость интегралов. Ин- теграл хсо / г"(х) с1х о называется абсолютно сходящимся, если функции Г" интегрируема на любом отрезке (а;6) и сходится интеграл / ~~(х)~йх, и условно -Ьсо сходящимся, если интеграл / д(х) Их сходится, а интеграл Ч-оо ~Д(х)~ с1х расходится. Абсолютно сходящийся интеграл сходится. б. Достаточные признаки сходнмостн интегралов. 11рнзпак Дирихле. Интеграл / с(х)д(х)с1х сходится, если; а) функция г'(х) непрерывна и имеет ограниченную первообраз- ную на (а,-Ьоо); Гл. 3. Несобственные интегралы б) функцин д(х) непрерывно дифференцируема и монотонна на [а, +со), причем 1пп д(х) — О. а — ее-со Признак Абеля.
Интеграл / Д(х)д(х)дх сходится, если: а -~-со а) функции р(х) непрерывна на [и;+со) и / Д(х) с1х сходитсн; б) функция д(х) ограниченна, непрерывно дифференцируема и монотонна на [а:+со). 7. Метод выделения главной части. Этот метод основан на следующем утверясдении: если подынтегральнан функция Д(х) представима в виде Дх) = д(х) + Л(х), где Л(х) функция абсолютно интегрируемая, то функции т'(х) и д(х) одновременно либо абсолютно интегрируемы, либо условно интегрируемы, либо неинтегрируемы. Обычно представление функции г" (х) в указанном виде удаетсн получить, выделяя ее главную часть при х — ~ +ос. 8.
Интеграл в смысле главного значении (в смысле Коши). Интегралом в смысле главного эначенин функции Дх), х Е гт, называетсн -~-а 1пп / 2" (х) с1х. Ьос Этот предел обозначается о.р. / г"(х) дх. Таким образом, по определениаэ -~-со -~-а и.р. / Г(х)с1х= 1пп / р(х)с1х. -~-оо Если существует несобственный интеграл / Г"(х) дх, то существует и ивтеграл в смысле главного значения, и оба интеграла равны. Из существования интеграла в смысле главного значения не следует существование соответствующего несобственного интеграла. В самом деле, -~-оо -~-а с' оа с.р.
/ хс1х = 11пг ~хс1х = 11ш —" =О, а — >ч-оо э ' а оч-оо 2 — а Мое а / хдх, очевидно, не существует. ПРИМЕРЫ С РЕШЕНИЯМИ Пример 1. Вычислить интеграл, или установить его расходимостгс с1х 2) / соз2хдх; 3) / 212. Интегралы с Оеснененными пределами интегрирования 261 -Ьы« А 1), = 1пп х- — 1 а — «-Ьсо г 1 . ( а — !пп ( 1п 2 а — «-Ьсю 1 а — 1 11 1пЗ вЂ” !и — 1! = —.
-к 1 3 2 гдп 2а 11ш I соа2хг!х = 1пп ', и, так как пре-с-«сю 1 а — «,оо 2 о 2) / соа2хг)х = о дол не существует, интеграл расходится. 4сю о .«- оо дх г гЬХ г 11х 1 хг + 4Х -Ь 9 1 хг + 4Х -Ь 9 1 хг + 4х + 9 — сс о о Ь дх дх 1пп 1 + !! а — « — оо1 хе+4х+9 ь — «Мою.1 ха+ 4х+9 а о / 1 х-Ь2 0'1 / 1 х-Ь2 Ь'Ь 1ш1 ~ — асс!я 1! + 1пп ~ — агсЬа 1! = а,— « — оо Ь««9 Д а Ь вЂ” «.Ьсю Д Д о 1 2 1 . а-!-2 1 . !«-Ь2 = — агсФд — — — 1ш1 ого!я + — 11ш агс!а Д Д а-«-..
Д ДЬ~Ь Д 1 2 1 ««я'~ 1 гг и — — агота — = — — ( — — 11 + — — = —. А ь««Э Д Д 2 Д 2 Д дх Пример 2. Исследовать ( —, о е й, на сходимость. 1 й Пусть о ф 1; тогда -~-со а — (' — „= ц..— ом а — 1пп ( — = 1пп !пп Хо а — «+сю 1 Хо а-«Ьсо — О -'; 1 1 а«о-оо 1 — О 1 1пп а, — 1 1 а — ««сю прио>1, о — 1 1+со при о < 1. Следовательно, о<1. й 4 ос с!х Пример 3. Исследовать ( —, о Е й, на сходимость. хс о а Представим интеграл в виде суммы двух несобственных иптег- ралов: Пусть о = 1! тогда .1 со а с!х .
Г 11х — !пп ( — ' = 1ш1 !пх = 1пп 1па =+со. Х а-«мса«Х а — «.Ьоо 1 а — «-«оо 1 1 Мсю дх — сходитсн при о > 1 и расходится при ха 1 Гл. 3. Неевбеасвенные инасегралы 262 з-со 1 6(х =— (х -1 1) х + 1 2 3 г Следовательно, — + — 1п 3. 2 1 3 2 в силу линейности, данный интеграл равен -~-сю х 61Х П р и м е р 5.
Вычислить интеграл (хг ж 1)В ,гг а Воспользуемся формулой замены переменной в несобствен- ном интеграле. Положим х = Сггг; тогда дх = сй/(2сг'г), новые пределы интегрирования о = 2, В = +со, и, следовательно, Зво хбгх 1 Г ВЫ 1 1 ~ 1 (хез-1)п 2 / (1+1)6 4 (141)г 2 36 .62 2 сгх ПВ ° 66 * 6 1 А Применим формулу замены переменной. Положим х = 116П тогда )х = -11ф, новые пределы интегрирования о = 16 Д = О.
В этом случае несобственный интеграл с помосцью замены переменной преобразуется в собственный интеграл, который легко вычисляется: з-ОО о о Мх Ж )' сй Пут.— з 1л' т+1 1,66+ 7Ю- *61 - 6 (6 .,— 6,~6* + 6В 6) - 6 (6— . 66) - 6„6 ;= ~ (6 . †' ) Первый интеграл сходится только при о < 1 (3 11, пример 2), второй только при ст > 1 (пример 2). Следовательно, данный интеграл при каждом значении о является расходящимся. Л 1 2 Пример 4. Вычислить интеграл ) ( „+ 6 ) 6(х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
