1610915390-52cbd25d82d9110658c00fb8dfb6bccc (824753), страница 42
Текст из файла (страница 42)
/ "" * ьгпух,1 о>0 Д>0. о 220 /' совах — совух с1 сг > О Д > О о /' дв1пох ов1пох с1 о > О Д > 0 о 278 Гл. Х Нееебетеенные интегралы 222. / ' соаДхг1х, о > О, 11 > О, гг у- ')). о 223. Доказать, что если монотоннан функция Г'(х), х е (О, +оо),. интегрируема на (О,+ос), то -~-ее -~-ге / )(х)е1х = 1пн 6~1(Ы~). о ь=1 -г ее 224.
Пусть / Г" (х) дх сходится. Следует ли из этого, что Г" (х) — ~ 0 при х о +ооГ 225. Пусть 7"(х), х Е (О.+со), . дифференцируемая функция и ~У'(х)~ (2. Доказать, что если / У(х) Дт сходится, то 1цп т"(х) = О. н-н-~-ее о 226. Доказать, что если функция Г" (х), х Е (1, +ос), монотонна и х.У(х) Нх сходится, то 11ц1 х~+'У(х) = О. 1 227. Пусть 7" (х), х Е [О, жсю), — непрерывная неотрицательная функция, и пусть / )(х) г1х сходится. Следует ли отсюда, что 1цн ((х) = ОГ о е — гг-~с 228. Привести пример непрерывной положительной функции 7'(х), -~-се х Е (О, +ос), для которой / Г(х) дх сходится и 1пц Г" (х) у'= О.
.г — ~н-00 о 229. Привести пример непрерывной и неограниченной на любом промежутке (о,+ос), а > О, функции тл(х), для которой / ((х) дх сходится. о 230. Привести пример непрерывной неотрицательной и неограниченной на любом нромеясутке (о,+ос), о > О, функции Г"(х), для которой / Г(х) дх сходится. о +ю 231. Следует ли из сходимости интеграла / 1'(х)е1х и из ога раниченности функции р(х), х Е (а, +со), сходимость интеграла / Г(х)~р(х) е1хГ а е1пхлх 232. Сходится ли интеграл ~, Г Можно ли исследовать нгх — е1а х 1 этот интеграл с помощью признака Дирихле, положив 1(х) = 81п т и д(х) = 1Д./х — 81пх)Г р1г.
Интегралы с бвсявненными пределами интегрирования Зтв 233. Пусть Г(х), х Е [а, +со), непрерывная, а д(х), х Е Е [а, +со), непрерывно диффарснцирусмая функция. Пусть Е(х), х Е [и,+со), первообразпая для 1(х) и / [д'(х)[Йх сходится. Доказать, что для сходимости интеграла -нх / 1'(х)д(х) г1х й необходимо и достаточно существование !пп Г(х)д(х). 234. Пусть г(х), х Е [а;+оо), — непрерывная периодическая с периодом Т функция, а д(х), х Е [а;+со), непрерывно дифференцируемая монотонная функция и 1пп д(х) = О. Доказать, что если й ьт' й — й-~-сс г(х) с1х = О, то интеграл / 1(х)д(х) дх сходится. й й 235.
Пусть 7" (х), х Е [1;+со), "- непрерывная периодическая с периодом Т функция. При каких значениях о сходится интеграл / ®х )+о)4хГ 1 236. Пусть интеграл / Г" (х) Нх сходится и равен,1. Доказать, что 237. Доказать, что при о ) 1 верно неравенство дх 1 < 2атс1л —. ге 2*' ' Б о Доказать, что при во (239 247). г 41 1 239. / гг х 241. сг1га + 1пс х -+ +со верно асимптотическое равенст- -~-йй г г в1п х 240. / соя 1 с11 2х 1 о Е 1С.
х ~/о + 1п х 238. Пусть г(х), х б [О;+со), непрерывная положительная функг дх ция и интеграл д1 сходится. Доказать, что о й 1нп —,, [ 7"(х) с1х = +ос. 1 й — й-нйй а- о Гл. Я. Несобственные интегралы 2ВО 242. с11 >1г НЕН. 1 1в 1ПВ1 (Π— 1)Х '1ПВ и 244. / — с11 = — '— + О( — ). 245. / вштзй = + О( —,). 246.
/ солт" Ж= — ', +0(, г)с а > 1. / а~ С;-~-~) ~~- )1,0( 1 ) г ь=-г Найти интеграл в смысле главного значения (248-255). тх -~-х -~-ов 248. х.р. / сйпхсгх. 249. х.р. / совха1х. 250. х.р. / агстнхдх -~-ос с-х 1 нт 13+ х 251. х.Р. / (агсс8х+ г — — ) с1х.. 252. х.Р. / '', с1х. 1+ хг 2 ),1 17-Ь хг сх -~-х -1-х 253. х.р. / —. 254. т.р. /,.
255. н.р, / — х о о 256. Доказать равенство сх -1-х х в1п ох г' вгггох Х.р. /,, С1Х х СОВОа / Г1Х, О, и Е ГГ. хг — аг ОТВЕТЫ 1. 1/2. 2. т/4. 3. Расходится. 4. 1/(Зез). 5. Расходится. 6. Расходится. 7. Расходится. 8. 2л/т/31. 9. Расходитсн. 10. 1. 11. 1/1п 2. 12.
Расходится. 13. Расходитсн. 14. н. 15. н/2, 16. 1/120. 17. — гг/6. 18. я/4. 19. 2(1 — 1п 2). 1п7 1 (л 5 20. — + — ~ — — агсф8 — /1 . б г/3 ~,2 т/3) 21..г/(2т/2). 22. 1/9. 23. 6. 24. е"гг/2. 25. агсвш(1/т/5о). 26. 2/3. 27. лх/3/9. 28. 13л/4. 29. Б/(аз+ Ьз). 30. и/(из+ бг) 31. 21гз/(а(аз + 4оз)). 32. п1. 33. 4л/13т/3). 212. Интегралы с бесконечными пределами интегрирования 281 ( 2гг — 3)!! ко" (2п — 2)!! (ос — Ьг) о — '1г 35. Зк14.
36. 2яг(ЗчГЗ). 37. яъ'Зг18. 38. (3 1п 2)12 — л(3 + 2ъ~3)14. 39. О. 40. О. 41. О. 42. ягг4, 43. 1. 44. я,14 + 1гг2. 45. к,г2 — 1. 46. 24. 47. 1) к,г5; 2) ягг(а+ 2). 48. 11г2 — я/8. 49. (1гг2)(е +1)г(е' — 1). 50. яг,г2, 51. 1) кг,г(4(1+ гге)); 2) лег 'гг(5(егк — 1)). 52. я(ъ'2+ 1п(1+ ъ'2)). 52. 4к. 64. Сходится. 65. Расходится. 66. Сходится. 67. Сходится. 68.
Расходится. 69. Сходится. 70. Сходится. 71. Сходится. 72. Сходится. 73. Сходится. 74. Расходится. 75. Расходится. 76. Расходится. 77. Сходится. 78. Сходится. 79. Сходится. 80. Расходится. 81. Расходитсн. 82. а > О. 83. а > 1.
84. а > 1. 85. а > 1. 86. Расходится при всех значеггиях а. 87. а < О. 88. а > чГ2+ 1. 89. 1 < а < 2. 90. 50 < а < 102. 91. — 9/2 < а < — Згг4. 92. а < — 2. 93. а > — 1. 94. а > 2гго. 95. 112 < а < 1. 96. а > 2. 97. а > О.
98. 2 < а < 4. 99. О < а < 2. 100. а > 1Г2. 101. а > 1гг2. 102. 8 < — 1гг2, а любое; 6 = — 1гг2, а < — 1. 103. гЗ < — 113, а любое; 8 = — 1гЗ, а < — 1. 104. а > 1, Гд < 1. 105. а > — 1,,3 — а > 1. 106. ппгг(а, Щ < 1, игах(а, 11) > 1.
107. а > — 1, гЗ > — 1, а+ Д < — 1. 108. а < О, гу < 1г2. 109. Д вЂ” а < 1, „'3 > О. 110. г) — а > 1, гЗ вЂ” 4а < О. 111. а+,3 < 1, а > — 4. 112. а > игах(1,Щ. 113. Сходится условно. 114. Сходится условно. 115. Сходится условно. 116. Сходится условно. 117. Сходится условно. 118. Сходится условно. 119. Расходится.
120. Сходится условно. 121. Сходится условно. 122. Сходится условно. 123. Сходится условгю. 124. Сходится условно. 125. Сходится условно. 126. Сходится условно. 127. Сходится условно. 128. Расходится. 129. Сходится абсолютно при а < 2, условно при 2 < а < 3. 130. Сходится абсолготно при а < — 1, условно при — 1 < а < О. 131.
Сходится абсолютно при а > 1, условно при а < 1. 132. Сходится абсолютно при а < — 1, условно при — 1 < а < О. 133. Сходится абсолютно при а < — 1, условно при — 1 < а < О. 134. Сходится абсолютно при а < — 1, условно при — 1 < а < О. 135. Сходится абсолютно при а > 1, условно при О < а < 1. 136.
Сходится абсолютно при а > 2, условно при 0 < а < 2. 137. Сходится абсолютно при а > 2, условно при — 1 < а < 2. 138. Сходится абсолютно при а > 1, условно при 1г2 < а ( 1. 139. Сходится абсолютно при а > 3, условно при О < а < 3. 140. Сходится абсолютно при а > 1, условно при — 1 < а < 1.
141. Сходится абсолютно при а > 1, условно при О < а < 1. Гл. о. Несобственные интегралы 142. 143. 1.44. 145. 146. 147. 148. 149. при а > 150. при 0 < 151. 154. 157. 160. 163. 166. 169. 172. 174. 176. 179. 181. 183. 185. 187. 188. 189. 190. 191. 192. 193. 194. 195. 196. 197. 198. 199. 200. 201.
202. 203. 204. 205. Сходится абсолютно при а > 1, условно при О < а < 1. Сходится абсолютно при а < О, условно при 0 < а < 1. Сходится абсолютно при — 2 < а < — 1, условно при — 1 < а < О. Сходится абсолютно при О < а < 1, условно при 1 < а < 2. Сходится абсолютно при — 1 < а < О, условно при — 2 < а < — 1. Сходится условно при а = 2/я. Сходится условно при а = 1/2. Сходится абсолютно при а > — 2, а + 1 < Н, сходится условно — 2, а <,8 < а + 1.
Сходится абсолютно при — 1 < (а + Ц/8 < О, сходится условно (а + 1) / Д < 1. 1/2<а<1. 152. — 1<а<О. 153. — 4/3<а< — 1/9. 1 < а < 3. 155. — 1 < а < 1. 156. — 3 < а < — 1/2. — 3/2<а< — 1. 158.0(а<2. 159. — 1<а<О. — 3<а< — 1. 161. — 3/2<а< — 1. 162.
1<а<3/2. 1<а<3. 164. — 2<а< — 1. 165. — 3<а< — 1. 2/3 < а < 2. 167. 1 < а < 2. 168. 1 < а < 4/3. 2<а<8. 170. 3/2<а<5/3. 171. — 1<а<0. — 1/4<а<1/3. 173. — 3<а<2. а=О, — 3/2<а< — 3/4. 175. а=О, — 5<а< — 2. а > 1/2. 177. — 3/4 < а < О. 178. О < а < 1/2. Сходится условно. 180.
Сходится условно. Сходится условно. 182. Сходится условно. Сходится условно. 184. Сходится условно. Сходится условно. 186. Сходится условно. Сходится абсолютно при а < — 1, условно при — 1 < а < 2. Сходится абсолютно при а > 3, условно при 0 < а < 3. Сходится абсолютно при а < О, условно при 0 < а < 1. Сходится абсолютно при а > 1, условно при 1/2 < а < 1. Сходится абсолютно при а < О, условно при 0 < а < 2.
Сходится абсолютно при а < О, условно при а = О. Сходится абсолютно при а > О, условно при а = О. Сходится абсолютно при а > О, сходится при а ) — 1. Сходится при а > 1, абсолютно сходится при а > 3/2. Сходится при а > — 1/2, абсолютно сходится при а > 1/2. Сходится при а > 1/4, абсолютно сходится при а > 1/2. Сходится при а > 2, абсолютно сходится при а > 3. Сходится условно при а > О. Сходится абсолютно при а > О. Сходится при а > О, абсолютно сходится при а > 1. Сходится при а > 5, абсолютно сходится при а > — 3. Сходится условно при а > О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
