1610915390-52cbd25d82d9110658c00fb8dfb6bccc (824753), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Доказав сходимость ряда лу !х — — !и — ), получить асимпп х 1 п=1 тотическу ю формулу лу — = !и п + С + о„, где С эйлерова постоянная (С = О, 577215...), а„— г 0 при п — э со. 17. Выяснить, какому условию должны удовлетворять положительные числа а, 5, с, чтобы сходился ряд ~ ап, где и=-1 а„= 2а~~о — бе~о — сь'". Исследовать на сходимость рнд ~ ~а„с помощью признака Даламбера (18 20). па' пе 2 5 8... (Зи — Ц (и ЬЦ! ) а" 3 ' ) ап 1.6.П...(бп — 4)' и!а 1 5...(4и — 3) 4) а„= и, аде, а>0; 5) а„= 1 3 5...(2и — Ц 4 7 10...(Зп+ 4) (2п)! 3"п! ' " 2 6 10...(4п+ 2) ' (п!)е пп (2п.
-!- Ц! ) ~ п!(27)лп ' ' и (За+4)за 2) а,„= (2п -Ь Ц!! а(а Ч- Ц...(а ж (и — Ц) 1-4...(Зи Е Ц ' " (2п — Ц!.' 2 5...(Зп+ 2) (2и+ Ц!! 2" ( + Ц! ' Зпи! 6) ап= 3 6...(Зп) . 1 (2п)!! 1 7) о., = "' агсэ!и —; 8) ап =, " агс18 — „; (и-ЬЦ! 2п' 'и! 11 а„= 5 и(п~)е (2и)! пеп(2п)~ 9) а„= (3 )'~ ! 10) ап — —,( -! ц!Зеп ' " беп(и'!)' ~ 414. Ряди с неатринателзнззми членами 307 12) ап = '; 13) ап гз '; 14) ап гз (бп)! 3 п(п!)з 3 "(2п)! 25п(2п)! (Зп)! ' " (Зп)! (п+ Ц! ' " ппп! 15) ап = '; 16) ап зз /(2п)! (Зп)! и! (2п + Ц! 20. ') ' = (п,) 4 . ! 2) ' = Исследовать на сходимость ряд ~ а„с помощью признака Коши (21, 22).
п=1 1 7 3чп 21.Цап=, п>2; 2)апгз( — ) (1п и)"' г 3) апзг( ), а>0; 4) ап=2п( ) г з 9) а„= (соз — ); 10) ап = (пеИп — ) г пз 11) а„= ( ); 12) ап = (изЬ вЂ” ) г „з г 22.1) ап=З п( ); 2) апгз( ) / з. Ззиюз (Зпг -Ь 2п -Ь Ц(п.з17г ' и+1 23. Исследовать на сходимость ряд ~~1 ап с помощью признака Раабле или признака Гаусса: п=1 (2п — Ц!! ((2п-!- Ц!! ')" 1 (2п)!! ' " 1, (2п+ 2)!! з пд ' /(и+ Ц(а+ 2)...(а+и) '!и и! еп 3) а„=( ® ), а>0, б>0! 4) апгз ,и! 5) ап— а>0; (а -!- чз2)(а -!- чзЗ)...(а + чзй!- Ц (и Ь Ц! 6) опгз ' „,,3>0; 1 4...(Зп — 2) .
2 5...(Зп -!-2) П!(И з- Ц19п Гл.4. Числовые ряди 1а2 1п3... !п(тт+ Ц !п!2-ь а) !п!3 -ь а)... !пгп -!-1-!-а) ' Исследовать на сходнмость ряд ~~~ ав, !24-28). п=.т 24. 1) ав = — яп —; 2) ап = —., 1п ~1+ ); 1 . к 1 т' 1 ° /п 'и фБ ~/ +1 и яп'2п атоса /и,-1-2 т/тте+ 3 и !пт!и-!- Ц ' аттаа ГЗ+ ! — Цо2) 1 пе + 3 ,/п,/тт п'ГЗ вЂ” 2 в!и! ти/3)) ' 7) атсв!пЯи+ Ц/2п), 'яДот„Ц 7 а„= а у'Зол+ 2 1 1 /и -1- 2 Зп — 1 25.
1) ап = 18 — — агс!8 —; 2) а„= 1п 3) а.„= ( ):, 4) а„= —,(, ); 5) а„=пес тт"; 6) а„=п ц", 0<Ч<1; 7) а„=; 8) а„= (тт!) (и -Ь Ц! (2п)! ' 7о(п'+4)' ' 9) а„=, и>2; 10) а„=яп 1 ит по1п и тЗ ! 1/ )и' 2 1Ц а„=18( ); 12) а.„= ( ) 13) а„= /л/ил+ и — и)" 14) ап = (-Я+ 1 — п+ Ц 2 15) а„= 2и ( ); 16) а„= (и агсг8 —, ) 26.1) а,= ' '; 2) а„=п и/а Я)+1 3) а„=3" соа— и" п! ' (и!)" "' '" "! !)т ' " '" (2 )!' а(о+ Ц..4о -ь Ц 7 а„= , о>0; и! пд ага + с) !а + 2с) ..4а + ис) Ь(Ь -'т с) !Ь -!- 2с) .. 4Ь -!- пс) 2 в /ит-'ти 9) аи = п" та(агса8 — ); 10) (т/и!8 — ) 2" 1Ц а, = и) агс!8 —.
о ' 27. Ц а„= 7/!п(п+ Ц ' 2) .„ = ( 2 - в 2)(, 2 - ,' 2)...~ 2 - 2-" У2); 3) .„ = '".')"е!: 4) ап=, и>2; 5) а„=, п>3; 1 1 !!пи)" (1п1птЦ" рЦ. Ряди с неотрнчателпнпумн няеномн Зов 2) аи ол (~ 1п Й)(п; йи« аи лл 1 , и>2. и(1пп)и(1п!вп)«т ' 29. Установив сходимость соответствующего ряда, показать, что; и! 2«и, (П!)и 1) 1пп — '=0; 2) Нш —,, =0; 3) Пп« вЂ” ', =0; «4 — ««пи ' 22 — «оо «222!)2 ' и — «со п'2 4) 1шп „' = О, а > 1. (2п)! и — «оо оп 30. Исследовать на сходимость ряд ~,, где р«(п) -. число цифр числа п.
П=П 31. ПУсть а« = 1, аз = 1, аиеп = а,лп + ап (и ) 1). Доказать, что х 1 ряд 1 — сходитсн. ап п=1 32. Пусть Лы Ла, ..., Л„... положительные корни уравнения 18х = х, расположенные в порядке возрастания. Доказать, что ряд ~~«Л,,~ сходится.
и=! оо ЗЗ. Исследовать на сходимость ряд ~ а„: «/24 име льлп и д / х о и Лу« л/и д 1+хе о Лл.лу,= 2, = '2 — 2, ли~2 — 22'- Г2, 2 — У«244224.,«442, П -., 2 2 ~...* и=1 оо 35. Доказать, что если аи ) О, 6„> 0 для всех и ) по, ряд ~ 6„ 1 И-~1)). 8) аи =,, ',; 9) аи ,п 10) аи = (атс$8' —,) (Зп)!; 2 5~ 82..43п+ 2)2 (2и ж Ц! 28.1) а„=, п>2; 1 1п(п!) 3) аппо ', и)2; 4) 1в(п!) П п 7) вилл „, п)2; и ф2п)«сЬп 1 4 7 ..43иж1) 1 11) аи лл "', агс18 —; (2п)! 2и ' 1 аш 3" ' Гл.
4. Числовые ряди 310 сходится и 1пп — = О, то ряд ~ ~а также сходится. ип ~~~ Ьи п=1 36. Доказать, что если и„> О, Ьи > О для всех п > по, ряд ~ Ь„ а, — и=1 расходится, 1пп †'" = со, то ряд ~ а также расходитсн. — Ьп п=! 37.
Доказать, что если существует 11п! паи = а, где а ф О, то ряд ~~! аи также расходится. 38. Доказать, что если а„ > О, аи~! < аи для всех п, 6 И и ряд ~ ~оп сходится, то 1пп па„ = О. п-псе п=1 ~Ы 39. Доказать, что если а„> 0 (и Е И) и ряд ~ ~пи сходится, то з п=1 ряд ~ ~ои также сходится. Справедливо ли обратное утверждсниеГ и=1 40.
Доказать, что ряд с неотрицательными членами сходится, если ограничена сверху хотя бы одна подпоследовательность последовательности его частичных сумм. 41. Доказать, что если последовательность (паи), где аи > О (н Е 6 И), ограничена, то ряд ~~! а„сходится. 42. Доказать, что если РЯд ~ — ", где аи > О Ги Е И), сходитсЯ ,/и с:е и=! и аи~ ! < а„(!1 Е И), то также схоДЯЩимсЯ Явлнетсл РЯД ~и о„. и=1 43. Доказать, что если аи > О, Ь„> О, си > О (г! Е И) и ряды Е' Е' Е- а„о ! Ь'„о ! с'„сходятся, .то сходится также и ряд ~ аиЬ„си. п=1 п=1 44. Пусть аи >О, Ь„> О (п Е И) и ряды ~~~ аи, ~~ Ь„расходятсн.
и= ! п=-1 Выяснить, следует ли отсюда, что расходится ряд: 1) ~ щах(а„, Ьп); 2) ~ щ1п(о„, Ьи). и=-1 45. Доказать, что если о„> 0 (и Е И) и существует 1пп = Ч, п-ппп ип то ои = о(Ч!п), где Ч! > Ч. ЗЦ. Ряди с неопзрииапзелеными членимя 46. Доказать, что если а„> 0 ( и Е И) и для всех п > т спранедливо неравенство а„ч.с/а„ < Л < 1, то Е Лп аь <ае, 1 — Л В=.еч-1 для всех п > т. 47. Доказатсь что если а, > 0 (п Е И) и существует аяе~ и — ~ее Ся то рпд ~ ~ап сходится (обобщенный признак Даламбера).
и=! 48. Доказать, что если а„> 0 (и е И) и существует 1пп 1Уа„= д, е — еее то ряд ~ ~а„ сходится в случае, когда а < 1, и расходится в случае, я=1 когда о > 1 (обобщенный признак Ьоши). 49. Доказать, что если а„> О, а„ьз < ая (п Е И) и существует аея х 1 1пп = = а, то ряд ~ ип сходится в случае, когда ц < †, и расхо- е — ее а„ 2' е=! 1 дится в случае когда о > —. 2 50. Доказать, что если а > О (п е И) и существует номер т такой, что для всех и > т выполняетсн неравенство (1 — фа„) > Л > 1, то ряд ~ ~ап сходится, если же е=! (1 — фа„) < 1 1и и для всех и > т, то ряд ~ ~а„расходится !признак Жамэ). я=1 51.
Доказать, что если ая > 0 (п Е И) и существуют номер т и число и > О такио, что для всох и ) пч выполняется неравенство !па„' > 1+а, !ип, то ряд ~~ ае сходится; если же — 1 е=з !и ея <1 1и и дяя всех п ) т, то ряд ~ а„расходится (логарифмический признак!. Гл. 4. Числовые ряды 312 52. Доказать, что если ап > О, апл1 < а„(п Е Н), то ряд ~~~ ап п=1 сходится или расходится одновременно с ридом ~ 2паз-.
п=1 53. Доказать, что ряд ~ 7'[и), где 7"[х) -- положительная и убып=1 вающая на промежутке [1; +ос) функция такая, что существует 1пп =Л, х-и-гсп з 1х) сходится в случае Л < 1 и расходитсн в случае Л > 1 [признак Ермакова). 54. Доказать, что осли ап > О, а„ч1 < ап [п 6 И), 1пп ап = О, то и-пы Рнд ~ ап сходитсЯ или РасходитсЯ одновРеменно с Ридом ~ Ч„,2 "', п=о со т=! где Ч вЂ” — наибольший номеР членов РЯда ~~~ ап, УдовлетвоРЯющих условию п=1 ап>2 [а=1,2,...,Ч ) [признак З1обачевского). 55. Доказать, что если 7" (х) положительная, убывающая на промелсутке [1; +со) функция и ряд ~7"„сходится, то для его п-го остатка п=о .„= ~ ~' у[~) ь=п-~-1 -~- оо справедливы неравенства / 1(х) с)х, < гп < 7[ге+ 1) + ) 7" (х) с1х.
пнм пч-1 ОТВЕТЫ 2. 1) Сходится; 2) сходится; 3) сходится, 4) расходится1 5) сходится, 6) сходится; 7) расходится; 8) сходится. 3. 1) Расходится; 2) сходится; 3) сходится; 4) сходится; 5) сходится; 6) сходится; 7) сходится; 8) расходится. 4. 1) Расходится; 2) сходится; 3) сходится; 4) расходится; 5) расходится; 6) сходится; 7) сходится; 8) сходится. 5. 1) Сходится; 2) расходится; 3) сходится, 4) сходится; 5) расходится, 6) сходится; 7) сходится; 8) сходится. 6. 1) Сходится; 2) расходится; 3) расходится; 4) сходится; 5) сходится; 6) сходится; 7) расходится; 8) сходится.
7. 1) а > 1/2; 2) а > 1/3; 3) а > 1/2; 4) а > 1/2; 5) а > 1/2; 6) а > 1; 7) а > 1/2: 8) а > 1/2. 4 ц. Ряды с неатринатпелеными членами 8.Ц о>2/3; 2) о>1/4; 3) о>112; 4) о>1/2; 5) о>1/4, 6) о > 1/2; 7) о > 3: 8) о > 4; 9) о > 1/4; 10) о < 1, 1Ц о > — 1/3; 12) о > 1,12. 9. Ц о>1/2; 2) о>1,12; 3) о>1/2; 4) о>1/4; 5) о>1/2; 6) о > 1; 7) о > 172; 8) о > 1/3. 10.Ц о>3/2; 2) о>5; 3) о>1; 4) о>2/3; 5) о>1/2, 6) о > 1; 7) о > 116; 8) о > 1/3.
11.Ц о>е; 2) о< — 1; 3) о= — 1, 4) о= — 1; 5) о=О; 6) о = 1; 7) о < 1; 8) о < О. 12.Ц о> — 1; 2) о=1; 3) о>1/2; 4) о<1; 5) о>1/2: 6) о < 1; 7) о > 1/4; 8) о < — 1/2. 13.Ц о<2; 2) о=1/./2 но= — 1/~(2; 3) о>1/3; 4) о>0; 5) о > 1/2; 6) о > 0: 7) о > О.
14. Ц Сходится; 2) сходится; 3) расходится; 4) сходится; 5) расходится; 6) сходится; 7) расходится; 8) расходится. 15.Ц о>1/2; 2) о>0; 3) о< — 1, 4) о>1, 5) о>1; 6) о< — 2: 7) о< — 1; 8) о>1, 9) о>1/2; 10) о< — 1/2; 1Цо>1; 12)о<0; 13)о<1; 14)о<Оно>1; 15)о>1; 16) о>1; 17) о>1/3; 18) о>1~2. 17. аа = бс. 18.
Ц Сходится; 2) сходится; 3) сходится; 4) сходится при о < е, расходится при а > е; 5) признак Даламбера не решает вопрос о сходимости данного ряда; 6) сходится; 7) сходится; 8) расходится. 19. Ц Расходится; 2) расходится; 3) сходится; 4) сходится; 5) расходится; 6) сходится; 7) расходится; 8) сходится; 9) сходится; 10) сходится; 1Ц расходится, 12) расходится; 13) сходится; 14) расходится; 15) расходится, 16) сходится. 20. Ц Сходится; 2) сходится. 21.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
