1610915390-52cbd25d82d9110658c00fb8dfb6bccc (824753), страница 49
Текст из файла (страница 49)
2. Если ап < апжг или ап > опгг длн всех н > по и 1пп ап = Ос то сс и Рад ~~ [ — 1)п гап сходится [пРизнан Лейбница), а длн его о-го остатка п=г ~Ю гп= Х~~ [ 1) ая я=п-';1 при и > гсе справедлива оценка [гп[ < [а-т [ [б) ЗАДАЧИ 1. Сложить рады ~ оп и ~ Ьп и вычислить сумму получившегося ряда, если: 1)п [ 1)пы 2!в. Разнеге задачи на сходилгосгпе рядов ( — Цпи -)- вга (я)п) соч (я)п) -)- ( — Цп' (и ж Ц 3п — 3- сов(яп))3) сйи (яп,)6) 2п ' " 2" 1 1 п(п -)- Ц ' (п -)- Ц(п, ж 2) 2) ап= 3) ап= 4) а„= 5. Показать, что квадрат сходнщегося ряда ~ есть ряд цп чгги расходящийся. п,=1 6.
Пусть о > О, (з > О. Показать, что произведение двух сходящихся рядов и п=! и=-1 есть ряд сходящийся, если о + Д > 1, и расходящийся, если о + 1з < 1. 7. Показать, что: 2) 2. Найти разность расходящихся рядов ~ ~ап и ~~ Ьп и вычисп=) лить сумму получившегося ряда, если он сходится; 1 1 и+3 и+3 п ' и -Ь 1 ' н(п+ Ц ' (и+ Ц(и Ч- 2) 3. Пусть ~с„ряд, полученный при перемножении рядов пп п=1 ап и ~ Ь„. Найти сп, если: п=) п=1 1) оп=а" 1, Ьп=Ьп ', (а) <1, (6| <1; п Зп ' ( — цп 3) ап =, Ьп =: 4) ап =, Ьп = (п — Ц! (и — Ц! ' (и — Ц! (и — Ц! 5 а = ( ) 6 (2и — Ц! ' и (2п — 2)! 4. Пусть ряд ~~) сп есть разность рядов ~~ ап и ~ ~Ьп. Выяснить, и=1 1)=1 п.=.1 можно ли утверждать, что зтот ряд расходится, если: сп по Ц ряд ~ ~а, расходится, а ряд ~ ~Ь„ сходится; п=1 п=-1 2) оба зти ряда расходятся.
330 Гл.4. Числовые ряды 8. Показать, что ряд, полученный при перемножении двух расходящихся рядов — ( — ) и 1+ ~~! ( — ) с2п + 2 !пь!)!) п.= ! п=-! абсолютно сходитсн. 9. Пусть ряд ~ап, где ап > О(и Е 11), сходится, а ряд ~ Ьп, и=! и=! где Ь„ > 0 1г! Е И), расходится. Показать, что произведение этих рядов есть ряд расходящийся. 10. Доказать, что сели ряды оо оо ж и ап, ~~~ Ьп и ~ ~(~ ~аьЬи ь+!) и=! п=! и=-! сходятся и их суммы равны соответственно А, В и С, то справедливо равенство С = АВ. 11. Используя оценку 15), найти наименьший номер ио такой, что- бЫ ДЛЯ РЯДа ~( — 1)п лап, ГДЕ ап > О, ПРИ ВСЕХ П > Ио ВЫПОЛНЯЛОСЬ п=! неравенство г„< 10 3, если: Ц аи — — 1!!и; 2) ап — — 1/из; 3) а„= 1с!из; 4) ап — — 1)и1 12. Сколько членов ряда ~ ~ап нужно взять, чтобы ошибка при и=! замене суммы В этого ряда его и-й частичной суммой Яп не превышала а, т.
е. чтобы ~8 — Я„~ = ~г„~ < а, если: 1) а„= 1)гсл, а = 10 в; 2) ап = 1/и!., а = 10 3) ап = ! — Ц "и,!!и 2п), а = 10 3; 4) а„= 1С!2и — 1)!, а = 10 13. Оцепить порядок убывания при и -л сс остатка гп ряда ~ ап, и=! получив асимптотическую формулу вида гп Ми" при и -э со, где М > 0 и М не зависит от и, если: 1) ип = 1!!из; 2) сеп — 11!!~; 3) ап = 1)с!", а > 1. 14.
Привести пример такого сходящегося ряда 2 ап, что ряд п=! ~ ап 1и 1п (и, -!- 2) расходится. 15. Исследовать на сходил!ость ряд ~ ~ап, если; п=! 1) а! —— 1, оп !! = !3/4-Ь ! — 1)п/2)асо и > 1; т16. Раен!яе задачи на еходимоетв рядов 2) а1 = 1, апз 1 = СОЗ ап, И > 1; 3) а1 = Гйн О, ап, 1 = ( — 1)п ЫП оп, И > 1. 16. Доказать, что гипергеометрический ряд ~~! ап, п=! а(а+ Ц(а -!- 2)...(а+ п — Цд(~3-Ь Цф+ 2)...(д Ч- и! Дт+ Ц( ! -!- 2)...(1-1- п — Ц о > О, Д > О, 7 > О, и > 2, сходится, если 7 > о+ Д. где а!=1, и — Ц 17.
Найти все значения а, при которых сходится ряд ~ ~а„, если: Ь 1 20. Пусть ряд ~ ~ап с положительными членами сходится. Слеп=1 дует ли отсюда, что ап = о(1)и) при и — ~ со Г 21. Доказать., что если ряд ~ап с неотрицательными членами М~ п=1 \ Яп сходится, то ряд зт также сходится. и п=1 ео 22. Известно, что ряд ~ ~ап, где ап > 0 (и е 1!(), расходится. п=! оо Следует ли отсюда, что сходится ряд ~~! 1зп, если: и=1 23. Доказать, что если ряд ~ ~ап с положительными членами рас- ходится, то: 1) ряд ~ п=1 2) ряд ~~! п=1 при а(1. ап расходится; 1+ ап ап —, где Яп = ~ам сходится при о > 1 и расходится Л=! п,=1 1) а1 —— ЗШХ, апЕ1 — — ЗШап, И > 1, З(ПХ ф 0; 2) а1 = атс18х, апч1 — — атс18ап, и > 1, х ф О.
18. Доказать, что если ряд ~ апе "" сходится, то ряд ~ апе п=.1 п=.1 сходится абсолютно при любом х > хе. 19. Доказать, что если ряд ~ а„и о, где а > О, сходится, то п=1 и )пп и ~ ~пал = О. и-еоо Гл.д. Числовые ряды 332 24. Доказать, что если ряд ~~ ап с положительными членами сходится, то: п=! х ап Ц рнд ~ —, где гп = ~ ая, расходится; ~.1! и=! Ь=п-г! 2) ряд ,'! — "" сходится. 25. Доказать, что если ап монотонно стремится к нулю и, кроме и того, 1!ип ~~! ая = +ос, то ряд ~~! п(а, — ап+!) расходится, причем я=! п=! ~ Й1а! — ая г!) — ! +со при н — ! сс.
я.=! 26. 06ОЗНаЧИМ Лап = ап — апж!, Еззап = Ела„— Лап Доказать, что если последовательность (ап) удовлетворяет при всех п Е И условию Ь~а„ > О (такую последовательность называют выпуклой) и ограничена, то ряд ~~! (и + 1)Ь елп сходится. п=! 27. Доказать, что если а„ф 0 (и Е Ш), ап монотонно стремится к нулю и ~ ~ая = 0(ап), то 28. Доказать, что если существуют пределы и — !ы а„.! п — !по а!и, пРичем ~Л1л~ < 1, то Рид ~ ~ап абсолютно сходитсЯ.
и — — ! 29. Привести пример такого сходнщегося ряда ~а„, что ряд Е' =1 а,, расходится. и=! 30. Пусть (ап) последовательность положительных чисел, а, монотонно стремится к нулю, а ряд ~ оп расходится. Доказать, и=-! что ряд ~ ап,, где (ая) — строго возрастающая последовательь=! ность натуральных чисел, удовлетворяющая при всех Й е И условию пяж! — пя < с (с не зависит от й), также расходится. Г16. Разные задана на оходиззооть рядов 31.
Доказать, что если ряд ~~ ап с положительными членами схои=з дится, то существует последовательность (Ьп), монотонно стремящаяся к +со и такая, что ряд 2 апЬп также сходится. п=1 32. Пусть )'(а) положительная, строго возрастающая при х > О функция, д(т) функция, обратнан к 1. Доказать, что если ряды а,11ап) и ~ Ьпд(Ьп), и= 1 где ап > О, Ь„> О (и Е И), сходятся, то рнд ~ апЬ„также сходится, п=1 причем ~ а„Ьп < ~ а„~(а„) + ~ Ь„д(Ьп). п=з 33. Пустз члены ряда ~ап положительны, и пусть (Лп) поп=1 оо следовательность положительных чисел такая, что ряд ~ Л,, расходится.
Обозначим п=з ап Вп = Лп — Лп. апез Доказать, что ряд ~ ап: п=1 1) сходится, если существует номер по и число а > О такие, что для всех п > по выполняется неравенство Вп > о-, 2) расходится, если для всех п > по выполняется неравенство Вп < О (признак Куззззера). 34. Доказать, что если для ряда ~~~ ап с положительными членами п=-1 существует ( /ап 1цп (зл~ ' — 1) — 1) 1пп = А, п«ыз Л )Лазз~з то при А > 1 зтот ряд сходится, а при А < 1 расходится (признак Бертрана).
35. Пусть (ап) — монотонно возрастающая последовательность ап положительных чисел. Доказать, что ряд ~ ) 1 — ) сходится, есап« п.= з ли последовательность (а„) ограничена, и расходится, если эта последовательность не ограничена. Гл. 4. Числовые ряди 36. Пусть заданы последовательность (ап1 положительных чисел и число р б И (р > Ц такие, что ряд ~ аоп сходится.
Обозначим п=1 а +ее+...+ап и Доказать, что рнд ~~1 Ьп сходится и справедливо неравенство п=1 ~ь< р с,' п=1 п=1 37. Пусть рнд ~ ап с положительными членами сходится. Обозначим п=.1 Сп = п а1аз...ап, Доказать, что ряд ~ сп сходится и справедливо неравенство и=-1 ~си < с~а„. п=1 п=1 38. Пусть заданы две последовательности (а„1 и (6„1 положительных чисел, а также числа р и Ч такие, что р > 1, Цр+ 1/Ч = 1. Доказать, что если ряды ~ оп и ~ 6~ сходятся, то: ее п=.1 и=-1 Ц сходится ряд ~~ а„Ьп, причем 2) сходится ряд ~~ (а„+ 6,,1", причем п=1 '11 ап.')') «'11 ') «'11 «:) п=1 1пп — п = Л. п — ««о 6„ 39. Пусть Яп и дов ~~1 а„и ~ ~Ьп, п=1 п=1 сушествует ап и-с частичные суммы соответственно ряпричем Ьп > 0 (и е И), ряд ~~«Ь„расходится и р!6.
Разные задачи на еходиноеть рядов 335 Доказать, что 1пп — = Л. и — ксо оп, ~Оп 40. Пусть Я„-- п-я частичная сумма расходнщегося ряда — = О. оп с положительными членами, и пусть 1пп а кос Доказать, что ~ око'„ !! — 1кк 'оп 41.
Доказать, что если ряд ~ ~пап сходится, то при любом сходится ряд ~(п + 1!а„, ьп —— о' а=в причем 1пп т,а = О. кека И 42. Пусть (а„) --- монотонно возрастающая последовательность положительных чисел такая., что 1пп ап сп оо. Обозначим через Л а — кос число, обладакощее тем свойством, .что ряд ~ а„при всех а > Л п=к сходится, а при всех о < Л расходится !такое число называют показателем сходимости последооательности (а„)). Доказать, что — !па !кт п — кос 1аап 44, Пусть ряд ~ а„сходится условно, и пусть — со < ск < Д . +ос.
п=! Доказать, что перестановкой членов этого ряда можно образовать ряд ~~ а'„ такой, что п=к йп Я„' = гк, !пп Як', = Д, акса и 'сс где 43. Доказать, что если ряд ~ ~аа абсолютно сходится и каждая п=к его часть вида а + ат + аз + ...
!т Е И) имеет сумму О, то а, = О для всех п, Е IЧ. Гл.д. Числовые ряды 336 СО 45. Ряд ~~ ап называют безусловно сходящимся, если он сходится п=с к одной и той же сумме при любой перестановке его членов. Доказать, что ряд ~~~ ап сходится безусловно тогда и толысо тогда, когда он и=с сходится абсолютно. 46. Доказать, что если ряды, получаемые при всевозмолсных перестановках членов данного ряда, сходятся, то они имеют одну и ту же сумму. 47. Пусть задана числовая последовательность ао,.
ас ..и ап ...; обозначим и Яе + 5с + ... + Би Яи=~ ая, оп= пж1 я=о Если существует конечный 1пп ап = и, то говорят, что ряд и-еес Е ап суммируется методом средних арифметических, а число а пап,=в зывают обобщенной (в смысле Чезаре) суммой етого ряда. Доказать, что метод средних арифметических ( Чезаро) является: Ц линейным, т. е.
если ряды ~ аи и ~ Ьп имеют обобщенные п=е п=в суммы А и В соответственно, то ряд ~~ (глав+,ЗЬи), где а Е гч, п=о )д Е й, имеет обобщенную сумму оА+ ДВ; 2) регулярным, т. е. если ряд ~~~ ап сходится в обычном смысле к и=о сун|ме А, то он имеет обобщенную сумму, также равную А. 48. Показать, что рнд суммируетсн методом Чезаро (см. задачу 47), найдя ап и а: Ц ~ ( — Ц"; 2) — +~ гозпу, 0< )у) <я; и=о 3) ~асппд, 0 < ~У~ < я..
ОТВЕТЫ 1. Ц 5/4; 2) 3/4, 3) 1; 4) 3/2. 2. Ц 1; 2) 5/2. ) (Ьи — ап)7(15 — а), Ь ~ а, и '1зсаи ', Ь = а; " п61 би — с 2п — ! ( ци2зи — з (п — Ц! ' "' (п — Ц! ' " (2п — Ц! р16. Разные задачи на еаодиззвете рядов 4. 1) Да; 2) нет. 11.1) по=1000; 2) по=31; 3) по=10: 4) по=6 12.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
