1610915390-52cbd25d82d9110658c00fb8dfb6bccc (824753), страница 51
Текст из файла (страница 51)
Следовательно, зпР ]1„(х) — Д(Я:)] = зпР 1„(х) = )и(хи) = — е хек~ хЕЕ, Л Условие (4) не выполняется, и поэтому последовательность (1и(х)) сходится к 1(х) = 0 на множестве Е, неравномерно. Покажем, что на множестве Ез последователыюсть (г' (х)) схо- дится к Д(х) = 0 равномерно. Выберем номер по таким, чтобы вы- полнялось неравенство ха, = 1/~/2по < 5. Тогда для каждого и > по функция ти(х) будет убывающей на множестве Ез, и поэтому Чх е Ез и Чп > по будут выполняться неравенства 0 < Г"„(х) < 1„(б), где г'„(б) =,~п6в "л -л 0 при п -л оо.
Следовательно, )а(х) з О, хи Ез. 3) Покажем, что выполняется условие (5). Возьмем и = и, р = = 2й = 2п, х = ъ% = тУп, тогда ]~„лр(х) — Г"„(х)] = п]2 агссга 2 — агссгя 1] > ]2 агссга 2 — ег/4] = ео > О. Поэтому последовательность (1„(х)) не является равномерно сходящейся на множестве Е. Заметим, что г„(х) — г хз, х Е Е. А Гл. д. Фуннниональные последовательности и ряды здддчи Найти предельную функцию /(х) последовательности (1о(х)) на множестве Е (1, 2). 1 Ц /"о(г) =.т" — Зх" на+ 2х"л з Е = [О Ц 2) Ги(х) = хе сон —, Е = (О;+ос); 1 3) 7и(х) =, Е = [О;+со); 4) /, (*) = /Ё +Т/ е, В = Й; 5) („(х) = (х — Цатстй х", Е = (О; +оо); 6) Г'„(х) = (УГ+х", Е = [О;2). 2. Ц Ги(х) = пзхае ™, Е = [О;+оо); ц /,(.)= ( 'З+Т/ — ), е=(ь;ь ); 3) У„(Х) = (Х1/а — Ц, Е=[1;3); 4) Г'„(х) = пагссгйпхл, Е = (О;+ос); о) у'„(х) = п(х1/а — х)!2"), Е = (О;+со); 6) / ( ) = (/ть*н ь(*'/2)", е=(аь ).
Доказать, что последовательность (1„(х)) равномерно сходится на множестве Е (3, 4). 3. Ц Г'„(х) = е "", Е = [1, :+ос); 2) ~о(х) =хан, Е=[0;б), 0<б<1; 3) („(х) = т//па)п, Е = Я; 5) 1„(х) =, ", гс15,7пхх,. Е = [О; ж ); 6) /„(х) = 1п [1+ ), Е = [О;+оо). 4. Ц (и(х) = ' ', Е = [1;+со); е) /, ( ) =. ь/Р ь )/, е = л; 3) /„(х) = е (™, Е = [ — 1; Ц; 4) Гн(х) — „,, Š— [1;. -)-оо); 5) („(х) = г)з/'хе "', Е = [О;+со); 6) /"„(х) = ',, аьп — ', Е = [1;+ос). Исследовать на сходимость и равномерную сходимость последовательность (/о((г)) на множестве Е (5-7). 5. Ц /и(х) = ', Е = [О;+оо); -/'и+ 2х л ( ) .
( — ое) Е [1.+ ). 417. Сходи ность и равномерная сходизность 345 3) У„[х) = —,, Е = [1;+ею); 4) ~„[х) =,, Е = [д;+оо), Б > 0; 5) 1„[х) = хе "'!п и, Е = [О;+со); 6) 7о[х) = а~~а(1 — — ), Е = [О;+со). ,+ з+ за !и 2) т"н[х)=п/е4п — с!1, Е=[0;а], 0<а<1; о 3) 1„[х) = 18 ( — х), Е = (О; -); 4) ~„[х) = х' — х"хзз Е = [О; Ц; з) лзе = 5лтз7 з, я = я: 6) ~„[х) = а!п '', Е = й.
2а 7. 1) т'н[х) = а!п —, а > О, Е = й; 2) их) = хе + хзо — 2хзо, Е = [О; Ц; 3) У„[х) = тпнх, Е = [О;л/2); 4) У„[х) = — !п (1+ — ), Е = [О;10); 5) ~„[х) = ах[1 — х)", Е = [О,:Ц; 6) 1„[х) = и[х'~" — 1), Е = [1; а], 1 < а < +со. Исследопать на сходимость и равномерную сходимость последовательность 11н[х)) на множествах Ез и Ез [8- 16). 8. 1) !н[х) =, Ез — — [О;а], 0 < а < +оо, Еа — — [О;+со); 2) !'„[Х) =, Ез — — [О; Ц, Ез = [1;+со); з 3) )з[х) = „л, Ез = [О; Ц, Ез = [1;+ос); 4) дн[х) = агст8 —, Ез — — [О;а], 0 < а < +со, Ех — — [О;+со); 5) д„[х) = и( — — агст8 — ], Е~ = [О, Ц, Ьх = [1;+со), ьли ,/й! 6) 1„[х) =, ',, Ез — — [О;2), Ез = [2;+со); 7) ~„[х) =, Ез = [О; 1), Ез = [1;+со); 8) 1о[х) = .
Ез = [О;1),. Ех = [1;+со);! 9) 1„[х) = атс!8,, Ез —— [О,:1), Ез —— [1;+ос); Гл. ос. Функциональные последовательности и ряды 10) 1„[х) = хагссг8 —,, Е, = [О; Ц, ЕО = [1;+ос); ие ' 1Ц ~„[х) = и агсг8 —, Е, = [е; 5), Еа = [5;+со). и 91)Ге()=Е. 9 ' 91Е =(ОДЕ =(11 )( 2) е [, ) е-18 -ее Е [О.
Ц Е, [1. 3) 1'е[Х) = Е (е и), Ег —— [ — 2;2], Е = й; 4) ~„[х) = — 1и —, Е) — — [О;2), ЕО = [О;+ос); 5) 1п[х) =, ',, Ег — — [О; Ц, Еа = [О;+ос); 6) 1п[х) = —, сов — ', Ег —— [О;Ц, ЕО = [1;+ос); 7) 1а[х) =,)си[Я+ тьх —.~т)х)8 Ег = [О; Ц, Ег = [1;+ос)) 8) гп(*) = * 8(8 †: — 1(( .)8 Е, = (О;1), Е = (1; 8 ); 10) ~н[х) =, Е) — — [О; Ц, Ев = [1;+со); ЕЦ ~„[х) = п[1 — Ог1+х(п)1 Ег = [О; ЦО ЕО = [1;+со).
10. Ц 7'„[х) = пагсг8 —, Ег = [О; 2), ЕО = [2; -)-гю); 1 2) 7'„[х) = агс18 [хоп — ив)1 Ег = [О; Ц, Ев = [1, +ею); 3) 7п[х) = —, ф+ —, Е) = [О; Ц, Ее — — [1;+со); 4) 7'„[х) = сЬе "', Е) — — [О; Ц, Ее = [1;+ос); 5) ~„[х) = „, Е, = [О; Ц, Еа = [1;+ос); 6) У [х) = ~~в~ (" ь')е, Ег — — [О; Ц, Еа = [б; Ц, 0 < б < 1; 7) Уе[х) = вЬ [ие не), Ег = [О; Ц, Еа = [1;+со); 8) Уп[х) = па[сЬ [х/и) — Ц, Ег = [О; Ц, Ее = [1;+ею); О) гп[х) = ивЬ, Е) — — [О; Ц, Ее = [1;+со); 10) 1е[х) = с!г ( + — ')1 Е) — — [О; Ц, Ев —— [1;+(ю), 1Ц УЕОе) = иа(пвЬ вЂ” — — 1, Ег = [О( Ц, Ее = [1;+со); их хг' 12) ~„[х) =, Е| — — [О;1), Ее = [1;+ос).
11. Ц го[х) = ', Е) —— [О; Ц, Еа = [1;+сю); ь( И(Е 2) гп[х) = сов[1([1+ [!ипх[)), Ег = [О;2), Еа — — [2;+со); 3) 19[Х) = ЬГйВШ[Х,ГГ/И)) Е) — — [О;)Г], Е„= [К;+Ос); 4) ~„[х) = совЯ[т(х)), Ег = [О;)г), Ее = [к;+со); 5) У„[х) = пахла "'", Ег — — [О;+ос), Ее = [б;+со), б > 0; 417. Сходимости и равномерная сходимоств 6) 7„[х) = и а«с!8 х", Ег = [О; Ц, Ег = [О; Я, 0 < 5 < 1; 7) д„[х) = е сов[17[««х)), Е, = [1:2), Ег = [2;+со); 8) ~н[х) = п в!п[1««[пх+ Ц), Е1 — — [О; Ц, Ег — — [1;+со); 9) ««н[х) = п е!п [х««;/п«), Е« = [О; Ц, Ег = [1;+со):, 10) ~,[х) = !и —, Е« = [О;4), Ег = [4;+со).
п,«х их 12. Ц )',„[х) = а«с!8 '... Е, = [О;+со), Ег — — [5«+со), 5 > 0; 1+ игхг 2) 1„[х) = е"0«х г«, Ег — — [1;+со), Ег = [5;+со), д > 1; 3) 7'„[х) = ', Е, = [О; Ц, Ег = [1;+со):, 4) 7"„[х) = и агсс18 ихг, Ег = [О; Ц, Ег = [1;+со); 5) д"„[х) = !п[хг + Цп), Ег = [О;+со), Ег = [а;+со), а > 0; 6) 7««[х) = в!п[е ох + 1,1г««и), Е« = [о;+со), а > О, Ег = [О;+со); ) «ее=л .="*, в =(»д, «.;=(1;» х 8) 7««[х) = е«х' ' нег«!~"., Е« — — [О; Ц, Е« = [1;+со); 9) ~н[х) = 2!х ««х««!~««, Е« = [О;Ц, Ег — — [1;+со); 10) 7««[х) = п[1 — ех«о), Е« = [О; Ц, Ег = [1;+со); 1Ц д"„[х) = ех " [х~ + пг), Ег = [О; Ц, Ег = [1;+со); 12) го[х) = п~[е ~««ох« — Ц + и[х, Е~ = [О; Ц, Ег = [1;+со).
13. Ц 1"„[х) = Яп — е™), Е« = [О: а), а > О, Ег = [О;+со); (2 2) 1„,[х) = сов — хн), Ег — — [О; о)., 0 < а < 1,. Ег = [О; Ц; (2 3) 1„[х) = агс18, Е, = (О; — ), Ег — ( )1); 4) 7'„[х) = х,,™, Ег = [О,а), 0 < а < +со, Ег [О;+со); 5) г«[х) =, „, Ег — [а;+со), а > О, Ег = [О;+со); 6) д'„[х) = а«с!8 2пх — агсГ8 пх, Ег — — [О; Ц, Ь« = [1;+со); 7) дн[х) = пг(1 — соа — ), Е« — — [О; Ц, Е» = [1;. +со); 1 хи, 8) д"„[х) = агсгц, Е, = [О; 2), Ег = [2;+со); 9) ~„[х) =!п(2+,,), Ег —— (О; — ), Е = ( —;+со). 14. Ц дн[х) = »» . Ег = [О; Ц, Ег = [1;+со); 2) 7н[х) = 1п», Е, = [О: Ц, Ег = [1;+со); «Рх — иг/х + 1 ' 3) 7н[х) = агс!р;, Е« — — [О; Ц, Ег = [1;+со); 1л.
б. Функциональные последовательности и ряды 4) 7„[х) = 1п (1+ е44п,' ), Ег —— [О; Ц, Ег = [1;+оо); 5) 7„[х) = п~[е' — сое х"), Ег = [О, Ц, Ег = [О; б], 0 < б < 1: 6) )'„[х) = п1п (1+ — ], Е, = [О;2), Ег —— [2;+со); 1 7) 7и[т) = агой, Еь = [О; Ц, Е, = [1:, +со); 1 ц-2пх ' 8) 1'„[х) = пагс18 ~, Ег = (О; — ), Ег = ( —; — ): 9) У„[х) =, Ег = [О; Ц, Ег = [1;+со); 10) 1п[х) =, Ег — — [О; Ц, Ег = [1, +со); 1Ц 7п[х) = аеЬ, Ег —— [О;2), Ег = [2, +ос).
15, ц гл ) = ~ (~/1 ь ( *г — е, В = (О; ц, е, = а; ь ); 2) гл,) = '(,,Г ь„,.у —,,ГГ+1, е, = (и;ц, е, [1;+со); 3) 7„[х) = е1п г, Е, = [О, Ц, Ег = [1;+со), 4) 7п[х) = 21п[е*+п) — 1п[егл+па), .Ег — — [О;+оо), Ег = [О;а], >О; 5) 7е [х) = пе (сЬ х" — 1 + — и ), Е~ — — [О; Ц, Ег = [О; а], 0 < а < 1; 6) 7н[х) = 1п (,, ),. Ег — — [О; а], а > О, Ег = [О;+со); 7) 7„[х) = п 1п (1+ —,, ), Е, = [О: Ц, Ег = [1;+со); 8) 7и[х) = ./й1п[1+;Ггх/в)., Ег = [О: Ц, Ег = [1;+ос), 9) ~„[х) = 1 —; Ег = [О; Ц, Ег = [1;+со); ,л 10) ~„[х) = п 1п (1+ агс18 — '), Е~ — — [О; Ц, Ег — — [1;+ос); и 1Ц У„[х) = 1п (х+ ], Е, = [О; Ц, Ег — — [1;+ос). пх+1г' и 16. Ц 1"„[х) = агсгбп „, Ег — — [О; а], 0 < а < 1, Ег — — [О; Ц; 2) гн[х) = 1п „, Ег — — [О;а], а > О, Ег = [О;+со); 3) 7и[х) = ~/о[[1+ Цгь)" — [1 — 1/п)л), Е, = [О:Ц, Ег = [1,+ос); 4) гп[х) = [1 — х/и)п, Ег = [ — а; а], и > О, Ег = й; 5) 7п[х) = гйх гп — х~~1~"~), Ег = [1/2; Ц, Ег = [1;+ос); 6) 7'„[х) =~IГ+ х", Ег = [О; 2], Ег = [2;+ос); 7) 7"„[х) = 1п[е1пх+ 1[п), Ег = [О;и/6), Е = [и/6;и/2): 417.
Сходииость и равнолгерная сходи«ность 349 8) 7„(т) =, Е, = (О; Ц, Ег = (1;+со); 9) (и(т) = (я+1пгс)агс18 —, Ег — — (О;Ц, Ег — — (1;+со); 1 10) 7 (т) = пз 1п(1+ т/и) — т тгги~~ — 1, Ег = (О; Ц, Ел = (1;+со): 17. Исследовать на сходимость и равномерную сходимость на лгножествах Ег — — (О; Ц и Ез = (1;+ос) последовательность ((о(т)): Ц (н(т) = п1п [1+ — ); 2) 7о(т) = 3) ~о(т) = — сЬ '; 4) ~„(т) = пз((т+ —,) — тг); 5) 1о(т) = йп(лт2 «го); 6) 7о(т) = и'1п(1+ т(гьа) 7) Х„(т) = соа(пв "«), 8) 7"„(т) = —, гг1+ т; 1 х 9) (,(т) = — соа —; 10) 7„(т) = пи[т — иаш тг 'и н~ 18.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
