1610915390-52cbd25d82d9110658c00fb8dfb6bccc (824753), страница 48
Текст из файла (страница 48)
,)и! г,~/и:+ 1 и 6) ~ "' совЗп; 7) ~и "',' в!п2п; п=.1 и=1 8) ~'1 Цп(п — ))12 (! ! ) п=1 4!б. Абсолюгпно и не абсолютно сходящиеся ряды п=1 пп1 à — Ц" с 1и 1п!и-Ь 2) . !гп л-' 21!/и+ ( — Ц" ' ' ~-~ 1п1п -~- Ц 4 п=г п.=1 цп 2-н1 — Цп б) ~~,~ псовп сов11/и) и 1п(п -и Ц ' !/и п=1 п=1 7.ц сов —: 2) ~ Е; 1и и !ги я гг — Ц ,/и б ' и п=1 я тти — Оо — 2 +э !/и+ 1 6) Е 1 «"иие+1пви исгге 1п1и+ Ц Исследовать иа сходимость ряды 18, 9). Оо со оо ц и в!и и 2) ~ сов'2и 8) ~ в!пи Х-л;/и ' ~-~ 1п!г!+ Ц ' ~-' !/и+в!пи ' пп1 пп1 и=1 4) ~~! в!и ( ).
5) ~ ~(е1со'п)г!гп — сов — ). п=.1 п=1 оо п со — ( — Ц 7)~ сова 8) я, тпи 1 л-л х/и + ! — Цгг/(2!/и) ' ~-~ ие/о л- 1 — Цп ' ~-~ /и и ' п=1 п=1 п=1 9) ~~ ! — Цппахс!8 —,: 10) ~~ 1!/и,— Ц !овод п,=1 п=г оо ! 1Ц ~ (-Ц" в!п(ъ'лЯ вЂ” 1 — п); 12) ~~ (-Ц"вЬ п,=1 п=1 сю е оо 9. ц ~~ —, сов; 2) ~ в!п1я~(и~ + Ц; п=1 п=! Исследовать па сходимость и оо з 5.Ц ~( — Ц" 1; 2) !/и-Ь 2 ' п=! 4) ~ 'ги -1- Ц сдп 2и пх — 1и и п=1 п=1 ( — Ц" ~-~ и1пГи+ Ц!п1пгп+ 2) п=1 абсолютную сходимость ряды 15 — 7).
Зп -Ь 1 ' ~ иЬ6,п -Ь Ц ' п=1 и.= ! à — Цпи 1 18 (и + Цт/и+2 иги! Гл.4. Числовые ряды 322 Найти все значения а, при которых ряд а) абсолютно сходится; б) условно сходится (12 — 14). 12. 1) ~~7 (; 2) ~~7 ( ); 3) ~~ и=1 п=1 п=1 и" '" (п Ч-1)п ) ~ (2п+ ( — 1)п)" ' и=1 п=1 6) ( — цп ' ~(-. -(- п)- 13. 1) ~ (,; 2) ~ п=1 п=1 п.= ! 1(1 3 5...(2и — 1) )" 2 . 4. 6...(2и) 77=1 5) 1 х о(а — 1) (о — 2)... (а — (и — 1)) п=1 п=1 пп 7 3) С ип 3 ) ~~, в'п(и+1771) 4) ~~, ( 1) . 5) '), ч;ппл.
1п1п(п+ 1) п а=1 п=1 б) ~ е1пп ' е!пи ) ~ соь'и 3) ~ сопи п 1п (п Ч- 1) и-Ь 1пп ' п=1 п=1 п=1 9) ~~' 13 —; 10) ~~7 соап агс13 1пп+ 1 1/и ' 17и+1' п=1 п=1 п=1 п=1 10. ПуетЬ 77(Л) = Р777(Х)Яр(л), ГдЕ Р777(т) =* +О1Х '+...+П7п 1т,+а,п, С~р(х) = ПР+ 5,ПР ' + ... + бр 1х+ бр многочлены, причем 17р(а) ф. 0 при л > 1.
Исследовать на сходи- мость и абсолютную сходимость ряд ~~ ( — Ц "Д(71). п,=1 ап 11. Исследовать на сходимость ряд 1,, где и, 1п(п Ч- 1) п=в 1, если и = 51+ 1 и и, = 51+ 2, ап = — 17 если и = 5Й, и = 5Й вЂ” 1, п = 5Й вЂ” 2, ЙЕМ. 415. Абсолютно и не абсолютно сходящиеся рядн 14. Ц ~ ( ) ""; 2) ~(-1)п-' 1 1 1 1 1 3) 1+ — — — + —. + — — — +...; Зи 2" 5о 7о 4и 4) 1+ — — — + — + 3" 1и би 7" 3" 9о 11и 5о 15. Найти все значения о и !3, при которых ряд: а) абсолютно сходитсн; б) условно сходится: 1 (1+ с!)(2+ 11)...(и+ с!) и!!1!) п=! 1 1 1 1 1 1 1а 2д Зо 4з 5" бб 2 1 1 2 1 1 2 1 3) 1 — — + — + — — — + — + — — — + — +....
2Д 3" 4о 53 6и 7и 3" 9" я1и(х,ссп) гее(х,/п1 ) 16. Доказать, что ряды ~п и ~ ' ', где т, ~ О, гсо ис и=! и.— -1 сходятся при о ) 1/2 и расходятся при о ( 1 12. 17. Показать, что ряд 1 1 1 1 1 1 1 1 1+ — — — + — + — — — + — + — — +..., и!3 и!2 ьсб нГ7 ьГ4 ъ'9 Л1 ъсб ( 1)и — 1 полученный из сходящегося ряда ~ перестановкой его чле- 1/И нов, расходится.
п=1 1 18. ИЗ ГарМОНИЧЕСКОГО ряда лз — ВЫбрОШЕНЫ ВСЕ ЧЛЕНЫ, цОЬ|Е- п п=1 ра которых содержат цифру 9. Доказать, что полученный ряд будет сходящимся, а его сумма меньше 20. 19. Пользунсь одним из равенств 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1+ — + — -ь ... + — = С+ )пп+ еи, 2 3 и где е„-+ О при и -> оо (см, задачу 16), доказать, что = )в2. п оп 1 1)п — 1 20. Пользуясь тем, что сумма ряда х равна )п2, найти п и=1 суммы следующих рядов, полученных из данного перестановкой его членов: Рл. 4. Числовые ряды 1 1 1 1 1 1 1 1 3 2 5 7 4 9 11 6 1 1 1 1 1 1 8 5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3) 1 — — — — — — — — + — — — — — — — — — + — —...
2 4 6 8 3 10 12 14 16 5 и - (-1) 21. Доказать, что если члены ряда 1 переставить так, п п=1 что каждую группу р последовательных его положительных членов сменяет группа т последовательных отрицательных членов, то сумма полученного ряда будет равна 1в2+ — 1п —.
2 т. ип = 1пъ'4ЛЛ. п=Ъ х 1 23. Доказать, что гармонический ряд 1 — останется расходяи=! щимся, если, не переставлня его членов, изменить знаки зтих членов так, чтобы за каждой группой из р положительных членов следовала группа т отрицательных членов, где р ф т. Показать, что при р = т полученный ряд будет сходящимся. п — « 24. Пусть а > О и о -- сумма ряда ~ . Доказать, ао что 1/2(Я(1. 25. Пусть ап > О (и с Ш) и Пп«а„= О.
Следует ли отсюда, что и — «ое знакочередующийся ряд ~( — 1)" ап сходитснГ п=1 и 1пп — = 1. Следует ли отсюда, Ьп и — «оп ап 26. Пусть ряд ~ ап сходится СЮ ««=-! что ряд ~ Ьп также сходитсяГ и=« 27. Пусть ряды ~ ~ап и ~~ Ь„ сходятсн и при всех и > по выпол- п=1 оо )и (-1) 22. Пусть ряд ~ ип получен из ряда ~~1 перестановкой п п=.~ и,=« ого членов так, что члены одного знака расположены в новом ряду в порндке убывания их модулей, а отношение числа положительных слав гаемых суммы ~ пь к числу отрицательных слагаемых атой суммы ь — — « имеет при и — ) со предел, равный Л. Доказать, что Р1ос. Абсолютно и не абсолютно сходящиеся Ряды ззз няются неравенства пя ~ ~оп ~ ~Оп. Доказать, что ряд ~ ~сп сходитсн.
п=1 28. Доказать, что РЯД ~( — 1)" 'ап, гДе оп > О (и б 1е'), схолитсн, п=1 если существует число и > О такое, что а, о /1! — = 1 + — + о!х — Р!, п -+ со. апп! и 29. Показать, что сумма не абсол!отпо сходящегося ряда не изменится, если члены этого рида переставить так, что ни один из них не удаляется от своего прежнего положения более, чем на т мест, где т заданное число.
30. Показать, что члены не абсолютно сходящегося ряда можно без перестановки сгруппировать так, что полученный ряд будет абсолютно сходящимся. СЮ 31. Доказать, что ряд ~~! апб сходится, если выполняются следующие условия: п.=1 1) Ряд ~ бп сходится; о=1 2) ряд ~(о„— опж1) абсолютно сходится. п=! 32. Доказать, что ряд ~~! а,„б„сходится, если выполняются следующие условия; п=1 1) частичные суммы ряда ~ ~б„ограничены, т, е, существует чисп=1 ло М > О такое, что для всех п б М выполняется неравенство ~бя (И; Я=! 2) рнд ~~~ (оп — опе!) абсолютно сходитсн; 3) 1нп ап = О. п=! 33. Пусть заданы числовая последовательность 1о„) и строго возрастающая последовательность натуральных чисел (ря) такая., что Р1 — РЯ ! (с, с --- заданное число, 1.
Е И. Обозначим Р! Ре Р!. .41=~ о, .4а= ~! а, ..., Д1= ~ ~а,. (н>2). 1.= 1 1=я~ —.1 1' —.Р! !-Р! Гл. 4. Числовые ряди Доказать, что если 1пп аи = О и ряд ~ ~л1ь сходится, то рнд ое и — ~с~ Е ° ь=1 аи также сходится. и=1 ряд ~~ аи сходится условно. Обозначим и=1 + аи ~аи~ — аи 2 ' " 2 34. Пусть Аи = ~аь Ьи1 и Ви = ~Д,. в=1 )а„) аи— Доказать, что: Ц 1ш1 ои = 1пп Д„ = О; и — ии иэои 2) ряды ~ аи и ~ Ди расходятся: и=1 и=1 3) 1ш1 — = 1. иисс Ви, 35. Пусть ряд ~,а и=3 переставить члены этого сходится условно.
Доказать, что можно так ряда, что для полученного ряда ~ аи будет и и=1 1пп ~аь = +со. и — ' ао я=1 выполняться условие Ви 1пп — = — 1. и†. А„ ОТВЕТЫ 3. Ц Сходится; 2) сходится; 3) сходится; 4) сходится; 5) сходится; 6) сходится; 7) расходится; 8) сходитсн. 4. Ц Сходится; 2) сходится: 3) сходится; 4) сходится; 5) сходится; 6) расходится; 7) сходится; 8) сходится.
5. Ц Сходится условно; 2) сходится абсолютно; 3) сходится условно; 4) сходится условно; 5) сходится условно: 6) сходится условно. 6. Ц Сходитсн условно., 2) сходится условно; 3) расходится; 4) сходится условно; 5) расходится; 6) сходится условно. 7.
Ц Сходится условно; 2) сходится условно; 3) сходится условно; 4) расходится; 5) сходится условно; 6) сходится условно. 8. Ц Сходится: 2) сходится; 3) расходится; 4) сходится; 5) расходится; 6) сходится; 7) сходится; 8) сходится; 9) сходится; 10) сходится; 1 Ц сходится; 12) сходится. х в|ай 36.
Пусть Яи = у, Аи и Ви --- суммы соответственно всех й я=1 положительных и отрицательных слагаемых, содержащихся в Яи. Доказать, что З 16. Разньге задачи на еходилгоеть рядов 327 9. 1) Сходится; 2) сходится; 3) сходится; 4) расходится; 5) расходится; 6) сходится; 7) сходится; 8) сходится; 9) сходится: 10) сходится; 11) сходится: 12) сходится. 10.
Абсолютно сходится при р > го + 1, условно сходится пр га + 1. 11. Расходитсн. 12.1)а) а>1,6) 0<а(1; 2)а)нет,б) а~В, ЙЕИ; 3)а) а>1,б) 0<а<1; 4)а) а>1,б) 1/2<а(1; 5)а) а>1,6) 0<а(1; 6)а) а>2,6) 1<а(2. 13.1)а) а>1,6) 1/2<а<1, 2)а) а>1,6) 0<а<1; 3)а) а>1,6) 0<а<1; 4)а) а>2,6) 0<а<2; 5)а)а>0,6) — 1<а<0: 6)а)а>1,6)алюбое. 14.
1) а) а ~ я/2+ ят, т Е х, б) а = я/2+ хт, т Е х; 2) а) я/4+ ят < а <3н/4+ кгп, т Е х; б) хгп+ я/2 ~ гг/4, гп 3)в) а>1,б) а=1; 4)а) а>1,б) а=1. 15. 1) а),3 > а + 1, б) а < 6 < а + 1; 2)а) а>1, )з>1,б) 0<а=/з(1; 3)а) а>1, Д>О,б) 0<а=)3<1. 20. 1) (3/2) 1п2: 2) (1/2) 1п2: 3) О. 2+~ Цп 25. Нет. Пример: ап = п 26. Нет.
Пример: ап = ( — 1)" ~/ч/и, бп = ( — 1)" 1/фи+ 1/и,. ир= са; 3 16. Разные задачи на сходимость рядов СПРАВОЧНЫЕ СВЕДЕНИЯ 1. Сумма и произведение рядов. Суммой двух рядов, ~ап п=1 12) п=.1 называют ряд (ап + Гзп), п=г а их разностью.— ряд (а„— Ьп). п=1 Гели ряды 11) и 12) сходятся, а их суммы соответственно рав- с"л.4. Числовые ряды ны 5 и а, то [ап + Ьп) = Я + сг, ~ ~[ап — Ьп) = 5 — сг.
п=Г п=1 Произведением рядов [1) и (2) называют рнд ~ [аг Ьп + азЬп г + ... + апЬг). Р) гсп1 В частности, если а„= Ьп (а е И), то рнд (3) называют квадратом рида [1). Если рады [1) и (2) сходятся, причем хотя бы один из них сходится абсолютно, то их произведение — - сходящийся рнд, а сумма этого ряда равна Яа, где Я и а суммы радов [1) и [2). 2. Оценка и-го остатка ряда. 1. Если функция 1 неотрицательна и убывает на промежутке [а; ч-со), где а > 1, то пРи и > гго > а длн гс-го остатка гп Рада ~~ 1"(и) справедливы следующие оценки: п=Г Есп -~-сп жсп ..1 [, Г [.).. ~[- ) 1~[™ и и-~-1 п,г Если, кроме того, известно, что рнд ~ 1"[и) сходится, а его сумма равна 5, то п=г гп =Я вЂ” Яп, где Ягг гмн частичная сумма ряда, и с помощью неравенств [4) можно оценить ошибку, получаемую при замене суммы ряда его п-й частичной суммой.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
