1610915390-52cbd25d82d9110658c00fb8dfb6bccc (824753), страница 47
Текст из файла (страница 47)
Ц Сходится; 2) сходится; 3) сходится, если 0 < и < 1, и расходится, если а > 1; 4) сходится; о) сходится; 6) расходится: 7) сходится; 8) сходится; 9) сходится; 10) сходится; 1Ц сходится, 12) сходится; 13) расходится; 14) расходится. 22. Ц Сходится; 2) сходится; 3) сходится; 4) признак Коши не решает вопрос о сходимости данного ряда; 5) сходится при любом о; 6) сходится. 23.
Ц Расходится, 2) сходится, если о/2+ Д > 1, и расходится, если о/2+,3 < 1; 3) сходится, если о(5 — а) > 1, и расходится, если о(5 — а) < 1; 4) сходится, если о > 1, и расходится, если о ( 1; 5) сходится; 6) сходится, если о + Д > 2, и расходится, если о + Д < 2; 7) расходится; 8) расходится. Гл.
4. Числовые ряди 24. Ц Сходится; 2) расходится; 3) сходится; 4) сходится; 5) расходится; 6) расходится; 7) расходится; 8) сходится. 25. 1) Сходится; 2) сходится; 3) сходится; 4) расходитсн; 5) сходится; 6) расходится при любом а; 7) сходится; 8) расходится, 9) сходится при сс > 1 (д любое) и при а = 1, если,д > 1; 10) сходится, 11) сходитсн; 12) сходится: 13) сходится; 14) сходится; 15) сходится; 16) сходится. 26. 1) Сходится; 2) сходитсн; 3) расходится; 4) сходится; 5) сходится; 6) сходится: 7) сходится, если д > а + 1 и расходится, если,д < сл + 1; 8) сходится; 9) сходится: 10) расходится; 11) сходитсн. 27.
1) Расходится; 2) сходится; 3) сходится; 4) сходится; 5) сходится; 6) расходится; 7) сходится: 8) расходится; 9) сходится; 10) расходится; 11) расходится; 12) сходится. 28. 1) Расходится; 2) сходитсн при сс > 2 и расходится при а < 2; 3) сходится при а > 2 и расходится при сх < 2; 4) сходится при любом д, если сх > 1, а также при д > 1, если сс = 1; при других значениях а и д расходится. 30.
Сходится 33. 1) Сходится; 2) сходится; 3) расходится, 4) сходится. 39. Нет. 44. а) Да; б) нет. 3 15. Абсолютно и ие абсолютно сходящиеся рнды СПРАВОЧНЫЕ СВЕДЕНИЯ 1. Абсолютно сходящиеся ряды. Ряд п=1 называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд (2) (о„!. п=1 При исследовании рядов на абсолютную сходимость применяют- признаки сходимости рядов с неотрицательными членами 8 14).
ся Свойства абсолютно сходящихсн рндов. 1. Абсолютно сходя1цийся ряд сходится, т. е. из сходимости ряда (2) следует сходимость ряда (1), причем ~д~ < сс, где д и о суммы рядов (1) и (2) соответственно. З15. Абсолютно и не абсолютно сходящиеся ряды бых о и Д ряд то ряд ( — 1)п ап (3) с=1 сходится. При этом ~5 — 5„~ < анны (6) где 5 и 5п да (5). соответственно сумма и и-я частичная сумма ря- 3. Признаки Дирихле и Абеля сходимости рядов. Признак Дирихле. Ряд ~ апЬп (7) сходится, если частичные суммы ряда ~~ Ьп ограниченны, т.
е. п=1 и ЗЛХ > О Чя Е И: ~Ьн < ЛХ, и=1 2. Если ряды ~~~ а и ~~~ Ьп абсолютно сходятся, то при люп=1 п=1 ~~(оа + ДЬ ) п=ч также абсолютно сходится. 3. Если ряд (1) абсолютно сходится, то ряд, составленный из тех же членов, но взятых в другом порядке, также абсолютно сходится, и его сумма равна сумме ряда (1).
4. Если ряды ~~ ап и ~~~ Ьп абсолютно сходятся, то ряд, составп=1 п=1 ленный из всевозможных попарных произведений ачЬ; членов этих рядов, расположенных в любом порядке, также абсолютно сходится, а его сумма равна Яа, где Я и а — суммы рядов ~ ~ап и ~ ~Ьп, п=Ч п=1 2. Знакочередуютциеся ряды. Ряд ~( — 1)" 'ап = ач — аз+ ". + ( — 1)п 'оп+ ..., п=1 где ап > О или а, < О (и й И), называют знаночередующимся. Признак Лейбница. Если 1Ьп ап=О (3) и-псе и для каждого и Е И выполняется неравенство ап >. ап.н1 > О, (4) Гл.
4. Числовые ряды а ПОСЛЕДОВатЕЛЬНОСтЬ 1а„) МОНОТОННО СтРЕМИтСЯ К НУЛЮ, т. Е. апь1 < < ап ИЛИ апь1 > ап дЛя ВСЕХ П > ПО И !ПП ап = О. Признак Абеля. Ряд (7) сходится, если последовательность 1ап) монотонна и огРаниченна, а РЯд ~~ Ь„ сходитсн. п=) 4. Условно сходящиеся ряды. Ряд (1) называется условно (не абсолюл2но) сходящимся, если этот ряд сходится, а ряд (2) расходитсн. Если ряд (1) сходится условно, то каким бы ни было число А, можно так переставить члены ряда (1), что сумма полученного ряда будет равна А (теорема Римана). При исследовании на сходимость рядов иногда оказывается полезным следующее утверждение: если ряд ~~ а, абсолютно сходится, то 2 2 п=1 ряды ~(а„+ Ьп) и ~ Ьп одновременно либо абсолютно сходятся,.
п=1 п=1 либо условно сходятся, либо расходятся. ПРИМЕРЫ С РЕШЕНИЯМИ Пример 1. Доказать, что ряд ~оп абсолютно сходится, если: п=1 1) „=,' '; 2) и=и!1е — 1) 12' )+) 2 +1 и й 1) Используя неравенства и + 1 < 2пп ! соа 2п~ < 1, пт + Зп + 7 2 х 2 + 4 > и, получаем !а„~ < †. Из сходимости ряда пт — по призя2)2 ' Х я)72 и=! наку сравнения следует сходимость ряда ~ !ап~, т. е. абсолютная и — 1 сходимость ряда ~ ап. п=1 2) Заметим, что при ! > О справедливы неравенства О < !п(1+ !) < < 1, а при любом Ь Е Й неравенство ~агстд8~ < ~!11 Поэтому откуда следует абсолютная сходимость ряда ~ ап, 415.
Абсолютна и не абсолютно сходящиеся ряди З17 3) Используя формулу 1 — сов1= 2 в1п (7772) и неравенство ~ в1п1~ < < (й), Й Е Й, получасвл )а„) < 2я1п (и+ 1) Так как ряд Е 1 2771п (П + 1) сходится, то ряд ~ ап сходится абсолютно. Л 77=1 Пример 2. Доказать сходимость знакочередую7цегося ряда: ц Е~- )и-' — '„; ) Е~- )и-""„" Л 1) Последовательность 1а77), где а„= Ц,,/п7, монотонно стремится к нулю (удовлетворяет условиям (3), (4)). По признаку Лейбница 1)п — 7 Ряд ~ сходится. ,/В7 п=1 2) Обозначим 77(х) = (1п х)/х; тогда 1пп 77(х) = О х-7-вх (правило Лониталя) и 7р'(х) = —,х (2 — 1пх), откуда следует, что 7р'1х) < О при х > ез.
Поэтому последовательность 1а„), где а„= 11п н)(п, удовлетворяет условию (3)7 а при п > условию (4). По признаку Лейбница ряд 2 ( — 1)п сходится. Л Пример 3. Доказать, что если последовательность 1а„) монотонно стРемитсЯ к нУлю, то Рнд 2 ап шп ао сходитсЯ пРи любом о Е Й, п=7 а ряд ~ а„соево сходится при о ф 2яви, т Е л. п=1 Л Обозначим В„= ~~7 в17777об Сп = ~совйа. ТогДа Ь=7 Ь=7 сйпПи+ 1)а772) вш(н77,72) совИ77+ 1)о,72) вш(77о,72) вш(а772) в1п(а772) свф2пт, тЕЛ. 318 Гл.
4. Числовые 17яды Длн доказательства формул 18) можно воспользоваться равснст- вами 28шйоаш1а/2) = со81к — 1/2)а — соз1я+ 1/2)еб 2 соз йо аш(а/2) = аш1й + 1/2)о — аш1я — 1/2)о. Если о~2лт, где т,ел, то 1 1 ~В !( М Л) ~С !( вп л) И ПО ПРИЗНаКУ ДИРИХЛЕ РЯДЫ ~ ап 8Ш Па И ~ ~ап СО8 ПО СХОДЯТСЯ. п=1 п=1 Если а = 2лп1, где т Е л, то сов по = 1, а 7йп по = О при всех п Е И. ПоэтомУ пРи а = 2лт, т Е л, РЯД ~п ап аш па схоДитсЯ, а РЯД п=1 Е ° опсовио = ~ ~ап п=1 п=1 может как сходиться, так и расходиться. л, вйп ио 1 П р и м е р 4. Исследовать на сходимость ряд у соз —. 1и 1п(и -~- 2) и и=1 сбп ио а Так как Рнд лэ сходитсЯ 1пРимеР 3), а последова1и 1п1п -1- 2) п=1 тельность 1со811/п)) монотонна и ограниченна, то по признаку Абеля ряд ео В1П ИО Е 1 СО8— 1п 1а1и ч- 2) и п=1 сходится при любом а с Я.
а П р и м е р 5. Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость ряд ~~7 аео если: п=.1 и, ЦП 7 ,/и+ 1 — 1)п ' 2 Ъ'7Р п А 1) Запишем ап в следующем виде: ап= (1+ ) и воспользуемся асимптотической формулой 11 + Х) ' = 1 — 1 + 011з), 1 -> О. Тогда получим ап = + — +аве ГДЕ ~а„~ ( —, С >О. ( — 1)" 1 С ,/и п 71717 ' Так как РЯД ~~7 ап абсолютно схоДитсЯ, то РЯД ~~ ап схоДитсн или п=1 п=1 41б. Абсолютно и не абсолютно сходящиеся ряды расходится одновременно с рядом ~ Ьп, где Ь = + †. Из схо,1и! и ( 1)п и=1 димости ряда ~ (пример 2) и расходимости гармонического СК п=1 !хи х-7 1 77О РЯДа ~ — СЛЕДУЕТ РаСХОДИМОСтЬ РЯДа ~~7 Ьп. ПОЭТОМУ РЯД ~~ ап п=1 7!.= 1 п=1 (-1) п с <-1)" РаСХОДИтСЯ, ХОТЯ ап И РЯД 1 СХОДИтен.
!77и п=! 2) Используя асимптотическую формулу !п(1+1) = 1+ 0(1з) при 1-+ О, получаем ( — 1)' ап = ., +Ьп7 2М777 1)п Так как ряд ~ Ь„ сходится абсолютно, а ряд ~ , сходится п=! п=! 2 ТьФ 1 условно (ряд ~ расходится), то ряд ~ ~ап сходится условно. 2и!11 п=1 п=1 сое и 3) Ряд ~ сходится (прин!ер 3). Докажем, что этот ряд не п=1 является абсолютно сходни!имея, т. е, докая ем расходимость ряда ! сое и~ ~ .
Используя неравенство ~ соз и~ > созз и и формулу созз и = и п=1 = (1 + соз2и)772, получаем ~ соя!1~ 1+ сое2и (9) и 2и х 1+ соя 2и х соя 2п Заметим, что ряд ~ расходится, так как ряд ~ 2и 2и п — 1 п=1 х 7 1 сходится, а ряд ~ — расходится. По признаку сравнения Я 14) 2и п=1 ос Х ~! СОЕ 71~ из (9) следует, что ряд хз расходится.
Таким образом, ряд и оо п=1 Е'„' сое и — сходится условно. а п=1 ЗАДАЧИ Доказать, что ряды абсолютно сходятся (1, 2). Ы7 СС е!а!2и Ч- я,74) х. асс!с 7 — и)п ох+2 ' ~ и "77Г77' п=1 п=1 г"л. 4. Числовые ряди 8) Е п=1 п=1 7) ~ 4) ~~ 1-ц" и!и-и 2п п=! т е и-)-1 б) 1 сов' п .агс!8 ив+ 2 и=1 соЫ,пи)4) ( ° г) е)е ) . ° з) ' Г 1)п . и агсвш гггп, 4и ' ) ."и ( )-г) ) 8) ~~ и вши. е п=1 п=1 )п 2.
Ц г и=) 4) ~( Ц ! +1!72 п=1 г) ~(-" и=1 8) ~(-Ц" (агс!8 2) ! — Цп(2п)8 ~ ( — Ц" !п" (п+ Ц гги ) Цп ' и1ггй -Ь 1 з) си=1 ! — Ц" в! ~-' и!п(п+ Ц !п~(г)-Ь2) ' п=1 2п Зп+ ие ' г)л ( п=1 1 . 1 — — агсвш 1ггй,г)и / п=1 Исследовать на с)еодимость ряды !3, 4). Ц 2) ~и ( — Цп+' !пп 8) ~и ( — Ц ' !п!п(п-и 2) гггг) -Ь 1 1/и !п(и -)- Ц и=) и=! п=1 ес ° г 4) ~,; 5) ~сов( — +ип) яш гг,— — 1 и=! 6) ~( — Ц" (1 — соя — ); 7) ~( — Цп+' и=! и=! 8) ~~г 1-Ц", агс18— ,/и'- + 4,/и ' п=1 Ж СЮ О:г 4 ц 1 ! Цгг!и — 1))ге 1 2) ~-г вш и 8) ~ сов)и + и! 4) ~/и ' ~ -~п ' ~ !пг!и+ Ц п=1 п,=1 и=-1 ц ~( цп !ов и -) ~,~~ цп в)п )пг) ) .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
