1610915390-52cbd25d82d9110658c00fb8dfb6bccc (824753), страница 52
Текст из файла (страница 52)
Исследовать на сходимость и равномерную сходимость послео довательность ~ на множествах Е„ Ез, Ез, Ел, Еа, где 1-~-то ~ Ег — — [О; б], 0 < б < 1, Ег — — [О; Ц, Ез = [1 — с01+ а], 0 < сг < 1, Е4 = [1 + а;+со), Еь = (1;+ос). 19. Найти все значения а, при которых последовательность (У (т)): а) сходится на множестве Е: б) сходится равномерно на множестве Е.
Указать предельную функцию етой последовательности: Ц ~„(т) = , Е = (О; Ц;. 2) 7,(т) = , ' ,, Е = (О; +со); 3) ~„(т) = ,, ' , Е = й;. 4) (о(т) = и,"тг "', Е = [О; +со); л г — аг т« 5) 7„(т) = ' , , Е = [О; +ос); 6) (о(т) = пиагсгя(1/т"), Е = (О; Ц; 7) ~о(т) = пг 1п [1+ — ), Е = (О;+со); ггт / 8) 7,(т) = т агсг8п'т, Е = [О;+со), 9) (о(т) = и ( х+1/и — т/х), Е = (О;+со). 20. Исследовать на сходимость и равномерную сходимость на мно- жестве Е = [О; 1] последовательность ( (н(т)), где плт, если 0 < т < 1ггп, дгг(т) = па(2,Гп — т), если Цп < т < 2,1п, О, если т ) 2(п. Рл. оц Фдннциональньье последовательности и ряды 21.
Доказать, что осли последовательности (1п(х)) и (д„(х)) равномерно сходятся на множестве Е соответственно к 1'(х) и д(х), то при любых о и 6 (а Е Й, р Е Й) последовательность 1о )п(х) + + Дд„(х)) равномерно сходится к о1(х) + дд(х). 22. Доказать, что если последовательность (1п(х)) равномерно сходится на множестве Е к функции )(х), а функция д(х) ограничена на этом множестве, то последовательность (д(х)~„(х)) равномерно сходится к д(х)1(х).
23. Доказать, что если г'(х) - - произвольная функция, определеннан на отРезке (ад Ь), то последовательность (то(х)), где тп(х) = ( (а) — целая часть а,), сходится равномерно к 1(х) на отрезке (а; Ь]. 24. Доказать, что если функция 1(х) имеет непрерывную производную на интервале (а;Ь), то последовательность (1н(х)), где 1п(х) = п(1(х + 1/и) — Г"(х)), схоДитсЯ РавномеРно к 1'(х) на отРезке (о~,.Ь|), а < ад < Ьь < Ь. 25. Доказать, что если последовательность многочленов степени не выше и равномерно сходится на интервале (и;Ь), то предельная функция этой последовательности - многочлен степени не выше и. 26. Доказать, что если функция 1(х) непрерывна на Е, то послеп — 1 1 / Йт Довательность (1„(х)), гДе 1п(х) = ~ - 1(х + - ), схоДитсЯ Равноп п и=о мерно на любом конечном отрезке (ал Ь). ОТВЕТЫ 1.
1) г"(х) = О; 2) 1(х) = хл; 3) 1(х) = х~1'3; 4) 1(х) = )х); О, если О<х<1, 5) т"(х) = и — (х — 1), если х ) 1; 1, если О<х<1, х, если 1<х<2. 2. 1) )'(х) = О; 2) ~(х) = 1/(2х); 3) ((х) = 1пх; 4) ~(х) = 1/хз; 1, если О<х<1, 5) 1(х) = — '; 6) 1(х) = х, если 1 <х< 2, хз/2, если х ) 2. 5. 1) Сходится равномерно к 1'(х) = О; 2) сходится равномерно к 1(х) = О; 3) сходится равномерно к 1(х) = О; 4) сходится равномерно к 1"(х) = О; 5) сходится равномерно к 1(х) = О; 6) сходится равномерно к Г'(х) = О. 417. Оходимоппь и равномерная еходимоееаь 6. 1) Сходится равномерно к 7" (х) = х; 2) сходится равномерно к 7"(х) = 0; 3) сходится равномерно к Д(х) = Сяхд 4) сходится равномерно к 7"(г) = 0; 5) сходится равномерно к Дх) = )х(: 6) сходится равномерно к Дх) = а1п(х/2).
7. 1) Сходится неравнолеерно к Д(х) = 0; 2) сходится неравномерно к Д(х) = 0; 3) сходится неравномерно к Дх) = 0; 4) сходится равномерно к ((х) = 1,: 5) сходится неравномерно к Д(х) = 0; 6) сходится равномерно к 1(х) = 1пх. 8. 1) Сходится равномерно на Ее и неравномерно на Ее к Д(х) = О; 2) сходится равномерно на Е~ и неравномерно на Еа к Д(х) =х-'/2; 3) сходится неравномерно на Ел и равномерно на Еа к Д(х) = 0: 4) сходится равномерно на Е~ и неравномерно на Еа к 1(х) = я/2, 5) сходится равномерно на Ел и неравномерно на Еа к Д(х) = 0; 6) сходится равномерно па Е1 и неравномерно на Ет к Д(х) = 1; 7) сходится равномерно на Е1 и неравномерно на Еа к 1(х) = < х, О < х < 1, О, х>1; 8) сходится неравномерно па Ел и равномерно на Еа к 1(х) = яД2х); 9) сходится равномерно на Ел и неравномерно на Еа к 1(х) = атст8 х; 10) сходится равномерно на Е1 и неравномерно на Е< к 1(х) = ях/2; 11) сходится равномерно на Е1 и неравномерно на Еа к 7"(х) = 1п х. 9.
1) Сходится равполесрно на Е1 и неравномерно на Ех к 1(х) = 1; 2) сходится неравнолеерно на Е1 и равномерно на Еа к ~(х) = 0:, 3) сходится равномерно на Е, и неравномерно на Еа к 1(х) = О, 4) сходится равномерно на Ел и неравномерно на Еа к Дх) = 0; 5) сходится равномерно на Ел и неравномерно на Е к 7"(х) = 0; 6) сходится неравномерно на Е~ и равномерно на Еа к 1(х) = 1/х'; 7) сходится неравномерно на Е1 и равномерно на Ет к 7'(х) = 1 1+ л/х 8) сходится равномерно на Ел и неравномерно на Еа к Дх) = хе; 9) сходится равномерно на Ел и неравномерно на Ее к Д(х) = х; 1 10) сходится неравномерно на Е1 и равномерно на Ет и 7" (х) = —; л/х х 11) сходится равномерно на Е1 и неравномерно на Еи к 7" (х) = — '— '.
2 10. 1) Сходится неравномерно на Е1 и равномерно на Еа к Д(х) = 1/х; Збг Гл. б. Функциональные последовательности и ряды 2) сходится равномерно на Е, и неравномерно на Ег к г'(х) = — пгг2; 3) сходится неравномерно на Е, и равномерно на Ег к 7"(Ф) = 1гиг; 4) сходится неравномерно на Ег и равномерно на Ег к Д(х) = 1: 5) сходитсн неравномерно на Ег и равномерно на Ег к 7"(х) = 0; 6) сходится неравномерно на Ег и равномерно на Ег к 7"(Ф) = 0; 7) сходитсн неравномерно на Ег и равномерно на Ег к 7"(т) = 0; 8) сходится равномерно на Е, и неравномерно на Ег к г(х) = Фггг2; 9) сходится равномерно па Ег и неравномерно на Ег к 1"(х) = ад 10) сходится равномерно па Е~ и неравномерно на Ег к Дх) = 1; 11) сходится неравномерно на Е, и равномерно на Ег к Д(т) = 1гг(бтв); 12) сходится неравномерно на Ег и равномерно на Ег к 7" (т) = 1ггх.
11. 1) Сходится неравномерно на Ег и равномерно на Е к Д(х) = 1грд1 2) сходится неравномерно на Ег и равномерно на Бг к г"(х) = 1; 3) сходитсЯ РавномсРно на Ег и неРавпон|еРно па Ег к 1(Ф) = ад 4) сходится неравномерно на Е~ и равномерно на Е к Д(х) = 1; 5) сходится неравномерно на Ег и равномерно на Ег к 7"(х) = 0; 6) сходится неравномерно на Ег и равномерно на Ег к 1(Ф) = 0; 7) СХОдИтСя раВНОМЕрНО На Ег И НЕраВНОМЕрНО На Ег К 7"(и) = Ел: 8) сходится неравномерно на Е, и равномерно на Ег к 7'(Ф) = 1гги; 9) сходится равномерно на Ег и неравномерно на Ег к 7'(т) = тг; 10) СХОдИтСя НсраВНОМСрПО На Ег И раВНОМЕрие На Ег К Г" (Х) = тггХ.
12. 1) Сходится неравномерно на Ег и равномерно на Ег к г(х) = 0; 2) сходится неранномерно на Е, и равногиерно на Ег к Д(х) = 0; 3) сходитси неранномерпо на Ег и равномерно па Ег к Д(х) = 0; 4) сходится неравномерно на Ег и равномерно па Ег к 7"(х) = 1гтг; 5) сходится неравномерно на Е, и равномерно на Ег к Д(Ф) = 21пад 6) сходится равномерно на Ег и неравномерно на Ег к 1(т) = 0; 7) сходитсн неравномерно на Е~ и равномерно на Ег к Д(Ф) = 1; 8) сходится равномерно на Ег и равномерно на Е к 7"(х) = е'1 9) сходится равномерно на Е, и неравномерно на Ег к 7"(х) = 2 10) сходится равномерно на Ег и неравномерно на Е к г"(Ф) = — рд 11) сходится равномерно на Ег и неравномерно па Бг к г" (и) = 0: 12) сходится неравномерно на Е~ и равномерно на Е к 1(Ф) = 1 г(2тг) 13. 1) Сходится равномерно на Ег и неравномерно на Е2 к 7(Ф) = 0; 2) сходится равномерно па Е, и неравномерно на Ег к Д(т) = 1, 3) сходится равномерно на Е, и неравномерно на Бг к г"(х) = я,г4; 4) сходится равномерно на Е, и неравномерно на Ег к Д(Ф) = Фг; 5) сходится равномерно на Ег и неравномерно на Е к 7'(х) = 1г'х,.
417. Оходимоппь и равномерная еходимоееаь 6) сходится неравномерно на Е1 и равномерно на Еа к 7(х) = 0; 1 7) сходится неравномерно на Е1 и равномерно на Ех к 7" (х) = — „; 2хе ' 8) сходится неравномерно на Е~ и равномерно на Еа к 7"(х) = = — я8п (х — 1); 2 9) сходится неравномерно на Е, и равномерно на Еа к Д(х) = 1п2. 14. 1) Сходится неравномерно на Е, и равномерно на Еа к Д(х) = 2) сходится неравномерно на Е, и равномерно на Е к Д(х) = 0: 3) сходится неравномсрно на Ел и равномерно на Е к 7(х) = я/4; 4) сходится равномерно на Ел и неравномерно на Еа к 7"(х) = 0; 5) сходится неравномерно на Е1 и равномерно на Еа к 7'(х) = 0; 6) сходится неравномерно на Е~ и равномерно на Ех к 7'(х) = 1/х; 7) сходится равномерно на Е, и неравномерно на Еа к Д(х) = я/6; 8) сходитсн равномерно на Е, и неравномерно на Ех к Д(х) = 18 х; 9) сходится равномерно на Е~ и неравномерно на Еа к 7'(х) = 1; 10) сходится равномерно на Ел и неравномерно на Ех к Д(х) = х; 11) сходится равномерно на Е1 и неравномерно на Ея к 7"(х) = 1.
15. 1) Сходится неравнол1ерно на Е1 и равномерно на Ех к Д(х) = =0; 2) сходится равномерно на Ел и неравномерно на Еа к 7"(х) = 0; 3) сходится неравномерно на Е1 и равномерно на Ех к Д(х) = 0; 4) сходится неравномерно на Е1 и равномерно на Е к 7"(х) = 0; 5) сходится неравнолверно на Е, и равномерно на Ех к 7'(х) = 0; 6) сходится равномерно на Е, и неравномерно на Еа к Д(х) = 1п3; 7) сходится неравномерно на Е, и равномерно на Ех к Д(х) = 1/ха; 8) сходится равномерно на Ел и неравномерно на Ех к Д(х) = л7х; 9) сходится равномерно на Ел и неравномерно на Еа к 7"(х) = 0; 10) сходится равномерно на Е| и неравномерно ца Ех к функции Д(х) = агс18 х-'; 11) сходитсн неравномерно на Ь1 и равномерно на Ех к функции Д(х) = 1пх.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
