1610915390-52cbd25d82d9110658c00fb8dfb6bccc (824753), страница 56
Текст из файла (страница 56)
1) Сходится неравноморно на Е, и равномерно на Еа, 2) сходится неравномерно па Еь и равномерно на Е; 3) сходится равномерно на Еь и неравномерно на Еа, 4) сходится неравномерно на Е~ и равномерно на Еа, 5) сходится равномерно на Еь и неравномерно на Бд 6) сходится равномерно на Е1 и неравномерно на Еа, 7) сходится равномерно на Еь и неравномерно на Еа; 8) сходится равнолеерно на Е, и неравномерно на Еа, 9) сходится неравномерно на Е, и равномерно на Еа; 10) сходится равномерно на Ел и неравномерно на Еа, 1Ц сходится равномерно на Еь и неравномерно на Ех., 12) сходится неравномерно на Еь и равномерно на Ет.
35. 1) Сходится равномерно на Е, и неравномерно на Еа; 2) сходится неравномерно на Е~ и равномерно на Ее, 3) сходится равномерно на Еь и неравномерно на Ев; 4) сходится равномерно на Еь и неравномерно на Ед; 5) сходится равномерно на Еь и неравномерно на Еа; 6) сходится ранномерно на Еь и неравномерно на Еа, 7) сходится равномерно на Еь и неравномерно на Ех, 8) сходится неравномерно на .Е1 и равномерно на Еа, 9) сходится равномерно на Е~ и неравномерно на Ед, 10) сходится равномерно на Е, и неравномерно на Ет 36. 1) Сходится равномерно па Е, и неравномерно на Ех, 2) сходится равномерно на Е, и неравномерно на Еа; 3) сходится неравномерно на Ел и равномерно на Ех; 4) сходится неравномерно на Е, и равномерно на Ех; 5) сходится равномерно на Еь и неравномерно на Ех; 6) сходится равномерно на Е, и неравномерно на Ех; 7) сходится равномерно на Еь и неравномерно на Ех; 8) сходится равномерно на Е1 и неравномерно на Еа; 9) сходитсн равнолеерно на Е~ и неравномерно на Е; 10) сходится неравномерно на Е1 и равномерно на Е,; 11) сходится неравномерно на Е1 и равномерно на Еа, 12) сходится равномерно на Е1 и неравномерно на Еа.
37. 1) Сходится равномерно на Еь и неравномерно на Еап 2) сходится равномерно на Ел и неравномерно на Еа; Гл. д. Функциональные последовательности и ряды 3) сходится неравномерно на Е, и равномерно на Ез, 4) сходится неравномерно на Е, и равномерно на Ез,. 5) сходится равномерно на Еь и неравномерно на Ез; б) сходится равномерно на Е~ и неравномерно на Ез,.
7) сходится неравномерно на Еь и равномерно на Ез, 8) сходится равномерно на Еь и неравномерно на Ез, 9) сходится неравномерно на Е, и равномерно на Ез., 10) сходится равномерно на Е1 и неравномерно на Ез: 11) сходитсв неравномерно на Е1 и равномерно на Ез,. 12) сходитсн неравномерно на Еь и равномерно на Ез. 38. 1) Сходится равномерно на Е1 и неравномерно на Ез, 2) сходится равномерно па Еь и неравномерно па Ез, 3) сходится неравномерно на Еь и равномерно на .Ез, 4) сходится неравномерно на Еь и равномерно на Ез: 5) сходится равномерно на Еь и неравномерно па Ез; 6) сходится равномерно на Е, и неравномерно на Еп 7) сходится равномерно на Е~ и неравномерно на Ез,. 8) сходитсл неравномерно на Е1 и равномерно на Ез.. 9) сходится неравномерно на Еь и равномерно па Ез. 10) сходится неравномерно па Еь и равномерно на Ез, 11) сходится ранномерно на Е1 и неравномерно па Ез.
39. о)2. 40. 1) Сходится неравномерно: 2) сходится неравномерно. 45. Нет. 50. Нет. Пример: ин(х) = (зьчхпх))п. 3 19. Свойства равномерно сходяецихся функциональных последовательностей и рядов СПРАВОЧНЫЕ СВЕДЕНИЯ 1. Последовательности и ряды непрерывных функций. 1. Если последовательность (дн(х)) непрерывных на отрезке [ад 6] функций равномерно сходится на [и; Ь], то ее предельная функция 7(х) также непрерывна на отрезке [а; Ь]. 2. ЕСЛИ ВСЕ ЧЛЕНЫ ряда ~ Пн(Ф) НЕПрЕрЫВНЫЕ На ОтрЕЗКЕ [а; Ь] п=! функции, а рнд сходится равномерно на [а, 6], то его сумма о'(Ф) также непрерывна па отрезке [а:6].
2. Интегрирование функциональных последовательностей и рядов. 1. Если последовательность (7н(т)) РавномеРно сходитсЯ на отРезке [а: 6] к функции )(Ф), а каждая из функций 7„(Ф) непрерывна на з1й. Свойства равноиерно сходятихся последовательностей и рядов ззз отрезке [а; Ь], то для любого хо Е [а; Ь] х х / 1„ (1) с1с:а / 1(с) с11, х Е [а; 6]. хо хс 2. Если ряд ~ ип(х) равномерно сходится на отрезке [а; 6], а кажа=1 дая из функций и„(х) непрерывна на отрезке [а;6], то ряд ~и„ЯФ, где хо с [а;6], п=1 хо сходится равномерно на отрезке [а; 6] и ряд ~ и„(х) можно почленно п=1 интегрировать, т.
е. / ~х ип(1) г1с = ~ / ип(с) сИ. хо Л, п=1 х' п=.е хв 3. Дифференцирование функциональных последовательностей и рядов. 1. Если последовательность (1„(х)) диффоренцируемых на отрезке [а; 6] функций сходится хотя бы в одной точке хо б [а; 6], а последовательность (1",,(х)) сходится равномерно на [а;6], то последовательность (1п(х)) сходитси РавномеРно на отРезке [а;6] к некотоРой непрерынно дифференцируемой функции 1(х) и ,('(х) = !цв Д(х), х Е [а; 6].
2. Если функции и„(х), и б Й, имеют непрерывные производные на отрезке [а;6], ряд ~ и'„(х) сходится равномерно на [а;6], а ряд п=л ~ ип(х) п=1 сходится хотн бы в одной точке то б [а;Ь]., то: а) ряд (Ц сходится равномерно на [адЬ]:, б) его сумма имеет непрерывную производную на [а; 6]; в) ряд (1) можно почленно дифференцировать, т. е.
и ~ ип(х) = ~ ~и„(х). п=1 п=1 Гл. 5. Функциональные последовательности и ряды ПРИМЕРЫ С РЕШЕНИЯМИ 2 — пх Пример 1. Доказать, что сумма ряда лз х е "* непрерывна на п=1 и числить сумму о ряда л-л 3" (2п-Ь Ц п=е А Рассмотрим ряд ~[ — 1)пх ". Этот ряд сходится на интервале п=о [ — 1, 1), а ого сук|ма 111[1+ хз). На отрезке [ — Ебу), где 0 < у < 1, ряд сходится равномерно, а его члены -"- непрерывные функции. Интегрируя этот ряд почленно на отрезке [О; х), где х Е [ — 1; 1), получаем / и1 ~[ 1)п/12пил1 о п=о о или ( — 1)пх "' агс1ах = ~~ [2) п=о Таким образом, о(х) = агсгях. Полагая в (2) х = 1/зхх3, получаем агсСя ьхЗ б,/З л 3" (2п -Ь 1) ' п=о кххх3 откуда о.
= . А 6 и ,и 1 П р и м е р 3. Найти сумму ряда; 1) ~ —; 2) ~ я 11(и+ 1) п=1 п=1 со оо а 1) Члены ряда ~ — непрерывные функции, ряд ~ ~х" и=-1 п=1 составленный из производных членов исходного ряда, сходится равномерно на отрезке [ — 60 у), где 0 < д < 1, а его сумма равна 1/(1 — х), отрезке [О;1), и найти эту сумму. А Члены ряда непрерывны на отрезке [О; Ц, а ряд сходится равномерно [2 18, пример 3, 6)). Поэтому сумма 5[х) этого ряда непрерывна на отрезке [О; Ц. Используя формулу для суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии со знаменателем с ', находим При х = 0 члены ряда равны нулю, и поэтому о'[0) = О.
д и хп,,1 ( — 1) х П р и м е р 2. Найти сумму 5[х) рнда ~ ', а затем вы2н+ 1 =о О19. Свойства равномерно сходящихся последовательностей и рядов Ззт х Е ( — 1; 1). Дифференцируя почлепно ряд и Š— *. =ах), получаем со ~~,и~, п — 1 п=ч Г(х) откуда — 1(0) = 1 = -1п(1 — т). / 1-1 о /'УФ 1=У(.) о Следовательно, и Е*„= — = — 1п(1 — х), -1 < х < 1. и=- ~ 2) Дифференцируя почленно ряд пас ~ ~, „~'„ „ 1) = дГх) (3) получаем ,,и — = д'О: п=1 откуда, в силу (3), находим д'(х) = — 1п(1 — х).
Следовательно, / д'(1) Йс = д(х) — д(0) = — ~ 1п(1 — 1) сП, о о или д(х) — д(0) = / 1п(1 — 1) й(1 — 1) = (1 — 1) 1п(1 — 1) + 1 й, о откуда находим пм = х + (1 — х) 1п(1 — х). (4) п(п ж 1) и=! Заметим, что равенство (4) справедливо при х С ~ 1;1], а равенство (3) -- при х е ~ — 1; 1). А ЗАДАЧИ 1. Доказать непрерывность суммы функционального ряда ~ ~и,(х) ка множестве Е: 1) и„(х) =, ', Е=Й; 2) ии(х) =ахса1п „,, Е= й; ъ~л~+ х. и- -~- хе Рл. 5, Фрннииональньге последовательности и ряды цп 3) и„(х) =,, Е = [2; ог[; 4) ип(х) = хе " ', Е = [О;+ос); хе -~- лгГп 5) ип(х) = 2" 1п [1+гйп ), Е = (О;со): 1 3" + х 1 Гя 2я1 6) ип(х) = — сових, Е = ~-:, — ~. К [3: 3!.
2. Доказать, что функция г'(х) = ~ ие "' непрерывна при х ) О, 1п Л п=1 и вычислить / г'(х)г1х. 1и 2 3. Доказать, что функция 1(х) = ~ „,, непрерывна 1 -ьсю гр(п, -'ь 1) 2 ж хе и=1 на Й, и вычислить / 1(х) 11х. о — сове пх 4. Доказать, что фУнкЦиЯ Г'(21) = лз непРеРывна на Й, и 2п п(и+ Ц вычислить / 1(х) 11х. о 5.
Доказать, что ряд ~ Ци+1)хе ~"+0* — ихе "') сходится неп=1 равномерно на отрезке [О; 1), однако его сунгма функция, непрерывная на этом отрезке. 6. Доказать, что ряд ~~ (хзг"+'1 — хе") сходится неравномерно на п=1 отрезке [ — 1; 1), но его можно почленно интегрировать на этом отрезке. 7. Известно, что сумма Е(х) ряда ~~1 ап гйп пх, где (а„) — заданп=-1 ная числовая последовательность, является нечетной периодической с периодом 2г функцией, такой, что )[ 1, если х Е (О;гг), О, если х=О и х=гг.
5(х) = Верно ли, что этот ряд сходится неравномерно на ЕГ 8. Найти множество Е всех значений х, при которых определена функция г'(х), и исследовать ее на непрерывность на Е, если: оо ьль 1) г"(х) = ~~1 „ ; 2) г'(х) = ~ е " * сов пх; п=1 о=1 3) У(х) = ~ [х + — ) :, 4) У(х) = ~ п=1 п=1 41й. Свойства равномерно сходяи1ихся последовательностей и рядов Зва п=1 еги пх по 1и (п -~-1) 10. Доказать, что ряд ~п почленпо на й. можно дифференцировать 1 непрерывна на Й, (и — х)г 11. Доказать, что функция за исключением точек х = и, сов пх имеет непрерывную 12.
Доказать, что функция производную на й. п=1 „, г 13. ДОКаЗатЬ, Чта ряд Г"(Х) = ~ ~Е ге "'1 МОЖНО ПОЧЛЕННО днффЕ- п=1 ренцировать на отрезке [-1; Ц любое число раз. 14. Доказать, что дзета-функция Римана г,"(х) = ~ — непрерыв- 1 пе п=1 на на множестве (1:+со) и имеет на етом множестве производные любого порядка. 15. Доказать, что функция г"(х) = ~ е " ' бесконечно диффе- ренцируема при х > О. — пе — е 16. Доказать, что сумма ряда ~м, непрерывна при х > О и 1 -Ь пг дифференцируема при х > О. 17. Показать, что последовательность ( г"„(х)), где 1„(х) г пхе. "", сходится на отрезке [О;1], но / ( 1пп 1(х)) Ш ф 1пп ~)„(х) Йх.
18. Показать, что последовательность ()„(х)), где 1п(х) 1 -агатах", сходится равномерно на Й, но и ( 1пп („(х)) ф 1пп Д(1). 9. Найти множество Е всех значений х, при которых определена функция 1(х), и исследовать ее па дифференцируемость на множестве Е, если: го го го 1) ((х) = ~~,,; 2) ((х) = ~ ~хзе "*; 3) ((х) = ~~1 п=1 п=1 4) Лх)=Е„,' „, Гл. 5. Функциональные иоеледоеательноети и ряды 390 19. Показать, что последовательность (1„(х)), где 1„(х) = х,1(1+ пх ), сходится равномерно на Й к функции 1 и что равенство 1'(х) = 11пь Д(х) выполняется при всех х, кроме х = О. 20.
Показать, что последовательность (1и(х))с где 1 . / ~„(х) = х + — ашп(х+ — ), и (, 2л'' сходится равномерно на Й, но ( 11ш 1'„(х)) ~ Вш 1„'(ас). 'и 'ж о — ьсо 21. Показать, что последовательность (1и(х)), где 1и(х) = (а1пгьх)~4и, сходится равномерно на Й к дифференцируемой функции 1(х), но 11пь 1",,(0) ~ ~'(0). 22. Показать, что последовательность ((н(х)), где ~„(се) = пт(1 — х )", сходится на отрезке [О; 1) к непрерывной функции 1(х), но 1 1 11пь (' 1„(х) с1х у': 1пп ~ 1(х) Йх.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
