1610915390-52cbd25d82d9110658c00fb8dfb6bccc (824753), страница 57
Текст из файла (страница 57)
о о 23. Показать, что последовательность 1)о(х)), где 1о,(х) = пх(1 — х)", сходится неравномерно на отрезке (О:1), однако 1нп 1)н(х)с1х = / !пп 1„(х)йх. и — ьсо / д и — ьсо 24. Выяснить, справедливо ли равенство 25. Можно ли ряд ~~ь ахстд — ,', почленно дифференцировать пе на ЙГ о=ь 26. Можно ли ряд ~ ~(х~цз" 0 — хьдзнеь1) почленно интегриро- п=! вать на отрезке (О; 1)Г Е19. Свойства равномерно сходящихся носледователвностей и рядов ЗЕ1 27.
Найти все значения вц при которых для последовательности 11„[х)), где 1„[х) = и хе "", выполняется равенство 1 1пп /1о[х) Йх = / ( 1пп ~„[х)) Йх. о о 28. Может ли последовательность 11н[х)) разрывных функций сходиться равномерно к непрерывной функцииГ 29. Пусть на множестве й определены и ограничены в совокупности функции 1о[х), п Е И, и, кроме того, 1н[х):1 )[х), х Е й.
Следует ли отсюда, что 1пп апР )о [х) = апР 1 [х)Г хек хек 30. Пусть функция 1" определена на й, бесконечно дифференцируема и ]~1о1[х) — 1"г" '1] < 1/и для любого х Е Й. Доказать, что 1пп )'1"1[х) = Се', где С = сопя1. 31. Пусть функция )' бесконечно дифференпируема на й, а по- следовательность ~~1"1[х)) сходится равномерно к д[х) на каждом конечном интервале [а; Ь). Доказать, что у[х) = Се*, где С = сопаы 32. Показать, что последовательность 11„[х)), где ][ яш [я/х), если х Е [11[в+ 1);1/п], ] О, если т, ф [1/[и+1);11'п], сходится на й к непрерывной функции, но неравномерно.
ЗЗ. Доказать, что если функции 1„[х), п Е И, непрерывны на мно- жестве Е и 1„[х) =1 1[х), х Е Е, то 1пп ~„[хн) = 1[х) длн каждой последовательности 1хя1 такой, что х Е Е, хн — нх пРи п †> со, где х Е Е. 34. Пусть 11н[х)) -- последовательность монотонных на отрез- ке [о;Ь] функций, сходящихся к функции 1'[х), непрерывной на [а;Ь].
Доказать, что У„[х) е У[х), х с [а;Ь]. 35. Пусть функции го[х), п Е И, интегрируемы на отрезке [а; Ь], и пусть последовательность ~Г„[х)) равномерно ограничена на [а; Ь], т, е. ЛЛХ > О Чх Е [а; Ь] нп Е И: [1'„[х)] < Ы. Показать, что из последовательности 1Ен[х)), где — ] 1нЯ о1, х Е [о; Ь], Гл. 5. Функциональные последовательности и ряды можно выделить подпоследоватсльность 1Р„ь [х)), РавномеРно сходЯ- п7уюся на отрезке [а; Ь[. х х[п(п+ 1)х — Ц 36.
Показать, что ряд лу . е . „сходится нерав- 2- (1+пел)[1+[и+Ц,') п=.1 номерно на отрезке [ — 1; 1[, но его сумма непрерывна па этом отрезке. х-и сйп 2п77х 37. Показать, что ряд лу сходится равномерно на Й, но 2п п=! его нельзя почленно дифференцировать ни в каком промежутке. 38, Показать, что: выл 2и х 1) при а > 1 сумма Я[х) ряда ~, ' непрерывна на Й; 1777 и=-1 2) при а > 2 этот ряд можно почленно дифферонцироватьц 3) при а Е [1;2) функция Я[х) не дифференцируема. 39.
Пусть гп, и Е В, рациональные числа отрезка [О;1[. Показать, что функция непрерывна на отрезке [О;1[, дифференцируелла в иррациональных точках и недифференцируема в рациональных точках этого отрезка. 40. Найти предел; 1) 1пп 7 п — !ос ~ — л 1 -~- и х п=1 3) 1пп 2 (х" т' — хп) 2) 1пп 7 л — 7! — о л-л и хп -~-1 п=1 1 4) 11ьп У 7-ьяе Л-л 2пн' п=1 п=1 41. Пусть функции ип[х), и Е й, непрерывны на отрезке [а;Ь[ и и [х) > О, х б1а; Ь[, и б Рд. Показать, что если ряд ~ и„(х) сходится п.=! на [а! Ь[ к функции Г[х), непрерывной на этом отрезке, то ~ ип[х) з' 1 [х), х Е [а; Ь[. С уо(4" х) 4п и=-1 непрерывна на Й, но не дифференцируема ни в одной точке х Е Й. 42.
Пусть !р(х) периодическая с периодом 1 функция такая, что у7[х) = [х[ при х Е [ — 1772; 1772[. Показать, что сумма ряда Эйд. Степенные ряды зез 43. Последовательность 11„[х)) называется равнвстепвкно непрерывноа на отрезке [а;б), если 'ссв > 0 Вд > 0 срх~,хп Е [а; Ь) [х' — хп[ < 5 'асс Е И:[,Рп[х') — 1п[хп)[ < е. Доказать, что если последовательность ((п[х)) непрерывных функций равномерно сходится на отрезке [а;6), то она равномерно ограничена [см.
задачу 35) и равностепенно непрерывна на отрезке [а; 5). 44. Доказать, что если последовательность 1рп[х)) равномерно ограничена и равностепенно непрерывна [см. задачу 43) на отрезке [а; 6), то из нес можно выделить подпоследовательность, равномерно сходящуюся на этом отрезке [теорвма Арцела). ОТВЕТЫ 2. Зсс4.
3. т(2. 4. х. 7. Да. 8. 1) Е = [е с,е], с непрерывна на Е; 2) Е = й, Г" непрерывна на Е; 3) Е = [ — 1; 1), г' непрерывна на Е:, 4) Е = Е, г' непрерывна на Е. 9. 1) Е = й, 7' дифференцируема на Е; 2) Е = [О, +со), Г" дифференцируема на Е: 3) Е = Е, г" дифференцируема на Е; 4) Е = Е, г" дифференцируома на Е, за исключением х = О. 24. Пет. 25. Да. 26. Да. 27. сс < 2. 28.
Может. Пример: 1 (О, если х иррационально, п '~[ )' 9[ ) [ 1, если х рационально, 29. Да. 40. 1) —; 2) — — 1п2; 3) — 1; 4) 1. б ' 2 3 20. Степенные рнды СПРАВОЧНЫЕ СВЕДЕНИЯ 1. Радиус сходимости и круг сходимости степенного ряда. Функциональные ряды вида с„[с, — а)", [1) ~~=о где с„[и = О, 1,2, ...) и а — заданные комплексные числа, ( — комплексное переменное, называются сспепенссьсми рядамсс. Числа с„называются коэффициентами степенного ряда [1). Гл. б. Функциональные последовательности и ряды Полагая в (1) ц — а = х, получим ряд ~оп ", (2) п=е исследование сходимости которого эквивалентно исследованию сходи- мости ряда (1).
Теорема 1 (Абеля). Если степенной ряд (2) сходитсл при г = = ха ф О, то он сходится и притом абсолютно при любом г таком, что ф < ~хо~, а если этот ряд расходится при г = хь ~ О, то он расходится при всяко н х, для которого (х( > )хг!.
Теорема 2. Для всякого степенного ряда (2) существует Х (Л > > О .. число или +со) такое, что ряд (2) абсолютно сходится в круге К = 1г; ф < Л), если Л фО, +со. Этот круг называется кругом сходимости степенного ряда, а Л радиусом сходимости этого ряда. Если Л = О, то ряд (2) сходится в одной точке г = О, а если Л = = +сю, то этот ряд сходится во всей комплексной плоскости.
В точках границы круга К ряд (2) может как сходиться, так и расходиться. В любом меньшем круге Кг = )г: ~г~ < р < Х) ряд (2) сходится абсолютно и равнолаерно. Для степенного ряда — 1пп 7Я~ с„(. (4) Если существует (конечный или бесконечный) 1пп ", то и — ьп сечь Л = 1пп п-ьип сп 1 а если существует (конечный или бесконечный) 1пп Д~с„~, то и — ьы' — = 11ш 7Дс,~. (5) Для степенного ряда Х и ап(х хо) (7) п=в и )п (3) п=о круг сходимости К имеет вид К = 1х: !г — а~ < Л). Теорема 3 (Абеля). Если Л вЂ” радиус сходимости степенного ряда (2), причем О < Л < +ос, и если этот ряд сходится при г = Л, то он сходится равномерно на отрезке [О; Л), а его сумма непрерывна на этом отрезке.
Для радиуса сходимости Л степенного ряда 13) справедлива формула Лоти. Адамара; 920. Степенные ряды 595 где а„(п = О, 1, 2, ...), хо заданные действительные числа, х действительное переменное, существует Л (Л > О число или +со) такое, что при Л у': О, +со ряд (7) абсолютно сходятся, если ~х — хо~ < Л, и расходится, если ~х — хо~ > Л. Интервал (хо — Л; хо + Л) называют интервалом сходил~ости, а Л -- радиусом сходимости ряда (7). Радиус сходимости ряда (7) совпадает с радиусом сходимости ряда ап(г — хо)", где г - комплексное переменное.
При Л = О ряд (7) п=о сходится лишь в точке х = хо, а при Л = оо при всех х Е й. Исследовать степенной ряд (7) на сходимость — значит найти его интервал сходимости и выяснить, сходится или расходится этот ряд в концах его интервала сходимости. Область сходимости степенного ряда (7) состоит из его интервала сходимости и, быть может, некоторых граничных точек этого интервала.
2. Регулярные функции. Функция комплексного переменного 7(г) называется регулярной (однозначной аналитической, голомврфной) в точке а, если она определена в некоторой окрестности точки а и представима в круге ~г — а~ < р, где р > О, сходящимся к 7(г) степенным рядом: Д(г) = ~ а„(г — а)". (8) п=о Отметим, что любой многочлен т Р(г) = ~ ~ауге я=-о --- функция, регулнрная в каждой точке комплексной плоскости. Ра- 1 циональная ф1 нкция Рп, (г) у( ) Рп, где Р„и еу,п - многочлены степени п и т соответственно, регулярна в каждой точке а, где ег' (а) р'- О.
В теории функций комплексного переменного доказывается (смп например, (14]), что на границе круга сходимости степенного ряда (8) лежит хотя бы одна "особая" точка его суммы Д(г). Отсюда следует, что радиус степенного рида (8) равен расстоянию от точки и до ближайшей к а особой точки функции Г" (г). В частности, если ~"= а ()' где многочлены Р и егп, не имеют общих корней, то для этой функции радиус сходимости Л степенного ряда (8) равен расстоянию от точки а до ближайшего к этой точке корня многочлена ег,„(г), т.
е. Л = ппп ~гь — а1 гяяерп Гл. д, Функциональные последовательности и ряды где зь (з = 1, 2, ..., ш) корни многочлена 1;! (е). 3. Дифференцирование и интегрирование степенного ряда. Вычисление суммы ряда. Если степенной ряд Лх) = Е „(х - *.)", 110) п=о 3) степенные ряды, получаемые из ряда (10) при почленном дифференцировании и интегрировании, имеют тот же радиус сходимости, что и ряд (1О). ПРИМЕРЫ С РЕШЕНИЯМИ П р и м е р 1. Найти радиус сходимости Л степенного ряда: Ц ~ —; 2) ~ —.
3) ~! ) зп. 4) ~ осиззп п=1 и=о п,=1 п=о а 1) Так как существует сп . (и+ 1) !пп = !ш1 и =1, ИЬОС Си,1 П вЂ” ЬСС И- то по формуле (5) находим Л = 1. 2) В этом случае си , (и+ 1)! !ш1 = !пп, =+ос, П" И~ Сп 1 С2 "ЬСО И. и поэтому Л = -~-оос !формула !5)).
3) Так как ~1+ 1~ = ъ'2 и существует !пп Д~с,,) = йш и — ьсс и — ьсс и2п зсй то по формуле (6) получаем Л = зГ2. 4) Обозначим 5зз =1; тогда ~ 5и зи ~~, 'с5 з)п 1 1 !Ш1 и,— ьсо ~,'/и Ос2 ' и=о п=о где аи, хо .- заданные действительные числа, х . — действительное переменное, имеет радиус сходимости Л > О, то: 1) в интервале сходимости (хо — Л;хо + Л) функция 1 имеет производные л1обого порядка, получаемые почленным дифференцированием ряда (10); 2) внутри интервала сходимости этот ряд можно почленно интегрировать, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
