1610915390-52cbd25d82d9110658c00fb8dfb6bccc (824753), страница 54

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 54)

Г = ь 'пх и и* 418. Сходиллость и равномврная сходимость фрнкциональньлх рядов ЗЕ1 Чп Е ли', Чх Е Е, откуда следует абсолютнан и равномерная сходимость ряда. 4) Пусть ло(х) = ха + гйпх, тогда чл'[х) = 2х + сов х > 0 при х > 1112, и поэтому р[х) -" возрастающая функция при х > 1. Так как у[1) = = 1+ сйп1 > О, то 0 < и„[х) < е "тллл. Из сходимости рида ~~~ е п=1 где о > О, следует абсолютная и равномерная сходимости рида и„[х) на множестве [1;+со). п=1 5) Воспользуемся неравенством аз + Ьз > 2[аЬ[, которос выполня- ется длн любых действительных чисел и, Ь.

Получим 1+ п"хл > 2пол~[х[, откуда при х ф 0 следует, что [-.[.)[< "'*.' = Учитывая, что лл„(0) = О, находим [и„[х)[ < лла~а — ' ьлп Е 1й. Так как олл2 — 1 = Лд > 1, то из сходимости Рнда У~хб Е где ЛЗ > 1, следует абсолютная и равномерная сходимости п=1 ряда ~~ и„(х) на множестве й. и:=1 6) Заметим, что и„[х) > 0 при х > 0 и 11„,(0) = О. При х > 0 уравнение лл'„(х) = е и'[2х — пха) = 0 имеет единственный корень х = х„ = 2лп, причем и'„(х) > 0 при х Е Е [О;хп) и и'„[х) < 0 при х е [хп; +сю). Поэтому хп -- точка максиМУМа ФУНКЦИИ и„(Х), ПРИЧЕМ ацР ип(Х) = 11„[Хп).

СЛЕДОВатЕЛЬНО, хея О < и„[х) ( и„(х„) = — ое Мп е И, '1Лх е Е, откуда следует абсолютная и равномернан сходимости рида ~ и„(х) на множестве Е. д п=л П р и м е р 4. Исследовать на сходимость и равномерную сходи- мости на множестве Е ряд ~ и„[т), если: Гл. д, Функциональные последовательности и ряды 1) и„,(х) =,, Е = 10;+ос); 2) и„(х) = е ' ' зьп их, Е = й; хс 3) и„Ьт) = атс18, Е = ~1;+со); ит/пс 4) ип(х) = х", Е = (О; 1); 5) ип(х) = ...

Е = )О; 1); 6) ип(х) = пх е "', .Е = (Ос ьоо). а 1) Если х > О, то 0 < ип(х) < 1/1пехз)с откуда следует сходимость ряда на множестве Е. Пусть х = то = 1/и, тогда хп 6 Е суп 6 И, ип1хп) = 1/4. Таким образом, выполняется условие 19), и поэтому ряд сходится неравномерно на множестве Е. 2) Заметим, что и„(0) = О, а при х ф 0 выполняьотся неравенства /иных)/ < с " '" < 1/(п х ) так как е' > 1 при 1 > О. Поэтому ряд сходитсн на й. Пусть х = хп = = 1/и, тогда хп 6 Е Чп 6 И и ип)хп) = е з1п1. Условие 19) выполняетсн, ис следовательно, ряд неравномерно сходится на множестве й.

3) Ряд сходится на мнояьестве Е, так как 0 < и„(х) < хз/пзсз. Взян х„=,/пь, получаем и„1х„) = агс18 1 = 11/4, откуда следует, что ряд сходится неравномерно. 4) Ряд сходитсн неравномерно на множестве Е. Действительно, если х, = 1/ 6с2, то хп 6 10;1) ьсп 6 И и и„(х„) = 1/2. Заметим, .что на любом отрезке сх с (О;1) ряд сходится равномерно (см.

пример 2, 1)). 5) Заметим, что и„(0) = О, а если х ~ О, то 0 < и„(х) < х/(пзхз) < 1/свих), откуда следует, что ряд сходится на множестве Е. Для любого т 6 И возьмем п = т, р = и, х = 1/п. Заметим, что если и+ 1 ( й ( 2п, то 1+ Йа/11 > 1+ (2п)а/11 = 5, и поэтому Зп 1с=п-1-1 1спп-1-1 т. е. выполняется услоние 18) при ео = 1/5.

Следовательно, ряд сходится неравномерно на множестве Е. 6) Если х > О, то 0 < и„(х) ( пхз3!/(пх)з = 6/1пзх)с так как ес > > сз/3! при 1 > О. Поэтому ряд сходится на множестве Е. Покажем, что длн этого ряда на множестве Е ныполняется условие (8). В самом 21д. Сходимость и равномерная сходимость функциональных рядов ЗВЗ деле, для любого т Е М возьмем п =т, р = п, х = 1~а.

Тогда х Е Е и 2п ап — ь/и 1 — 2 — а иь[х) = — у е "В'> -е .п=е и и Ьпи~-1 Ьпсье 1 Следовательно, ряд сходится неравномерно на множестве Е. А Пример 5. Исследовать на равномерную сходимость па множестве Е ряд ~~~ ип[х), если: ип1 2) ип[х) = (1+ — ), Е = [О;Ц. '/7ь + исх А 1) Обозначим Ьп[х) = в1п х вш пх, ап пи 1~ /и + хз и воспользуемся формулой п хк .. пж1 . и вш — ~ вш Ьх = вш, х вш — а: Я 15, пример 3).

2 2 2 Тогда В„[х) = ~ ~в1п х в1п Ьх = 2 сов — вш х в1п — х, х, и-~-1 . и 2 2 2 ь=1 откуда следует, что Вп[х)] < 2 Чх е Й, Чп е 1и', т. е. последовательность (Вп[х)) ограничена на множестве Е. Последовательность 1ап[х)) монотонна длЯ каждого х Е Й, так как фУнкциЯ у[1) = = 1/лУГ+ та монотонно убывает при 1 > 1 (~р'[1) = — < 0 при 1 > 0). 2ф~+ае)л Кроме того, 0 < ап[х) < 1~,~пь Чх Е Й, откуда следует, что ап[х) ~ О, х Е Й.

По признаку Дирихле ряд равномерно сходится на Й. 2) Обозначим Ьп[х) =, а„[х) = (1+ — ) и заметим, что ряд ~Ьп[х) равномерно сходится на мнолсестп=1 ве [О;Ц, так как он равномерно сходится на множестве [О,+со) [пример 2, 3)). Последовательность 1а„[х)) ограничена на множестве [О; Ц, так как [1+ х~п)п ( [1+ 1~ль)п ( в и монотонна при каждом х б [О; Ц, так как ьо[1) = [1 + х/1)' — возрастающая функция при 1 > 1 для каждого х Е [О; Ц.

По признаку Абеля ряд сходится равномерно на множестве [О; Ц. д /л. ©, Фуннциональныв пооледовапгельнооиги и ряди 5) ~~! и=1 6) 'ь (и+ 2)в(2х) " 1 1 п=1 сов пх яп(1/(их)) г 2 <х <+со; 4-ь!и их и=! иве "" б<х<+со Д>0' пп, и / 1) 1+ хгп Л > О, — а < х < а и < пггп !'1 ( 'Л/' и л 1и и, д < г, < +со, б > 1; 0<х<+со; 4+ игхг ' п=1 11. 1) ~п агой,, — со < х < +со; хе+ иг и=! п 1п(1+ их) 1+а<х<+ос, а>0; х х ахс!х —, -со < х < +ос; 1 -Ь ивх' и ' (ахс1р; ), 0 < х <+со; и хгв!их — оо < х < +со; и+ 1 1+ иьх! 12.

1) ~~~ яп — 1п (1 + — ), 0 < х < +оо; /и ! п=1 2) ~ и=1 з) ~ и=1 ихе * ", — со < х < +со; сов их яп(х/и) — со <х <+со; хг л- 1п~(и -Ь 1) 2) ~г п=1 з) ~ п=1 4) ~~ и=.1 5) ~~ п=1 2) ~~! п,=1 з) ~ п=1 4) ~~ и=! 5) и=-1 6) ~ ь/х япа „, 0<х <+со. 1 + гьгх ' 6) ~ ~о,, — со<х<+со 1+ и"хг ' 418. Сходимость и равномерная сходимость р1уннциональных рядов ЗЕ9 3) ~~! (агс16 — ), — ос < х < +со; п.=1 4) ~~! 5) яп 1 0 <я <+со; 1-х пх и,яих .

)' 0 < х < гг. хь=1 19. Ц 2) 0<х<+со; 1+ ххах ' ° х хс 5) ~~! (1 —:г)х", 0<х<1; 6) ~ ~—,, 0<х<+со. и=1 п=1 20. 1) ~ ~2пяп — ', О < х <+со; п=1 (1-р (и — ЦхК1-; и*) ' сгх (пх,гп) 2п п=1 21. 1) ~~, 0 < х < +со; (-цп Х ~- иГП1 ' п=1 ( — цп" — со <х <+ос; 2имяих' ( — 1)пп х, б<х<+со, б>0; п (-1)" "— ' п п=1 п=1 ') Е и=-! 5) ~ и=1 2) ~~ и=1 3) ~ и=\ 4) ~ и=1 5) п=1 ,-мах 0 « и. 6) ~п (1+ п=1 Е (1 -!- пх)иГпх х' е " ' яиих, 0 < х < 1; 3) ~~1 п=1 х агсгх х , 1 < х < +оо; и1их(и, -р Ц ' 0<х<1; 4) ~х"(1 — х"), — <х<1; и=-1 1<х+оо 6) Š— е пи/х 0<х<+ 1 0<х<+со; (х+ 2и, — Ц(х+ 2п+ Ц ' цп-! — пх 0<х<1; 6) ~ ', 0<х<+со.

418. Сходизьость и равномврная сходимость фрняционаяьнььх рядов З71 27. Доказать, что ряд 1 сходится равномерно на любом п.=1 отрезке, не содержащем точку х = О. 28. Исследовать на сходильость и равномерную сходимость ряд в указанном промежутке: »с 1) ~ х,, 0<х<+оо; о=1 1)тп — 1~11 2) ~~~,, -а<х<а, а>0; СС»1 + Х- »спо -Ь х' пп1 1)ь»Щ З»П ПХ 4) ~...

— оо<х<+ос; 5) ~ ' ... 0<х<1; и»пь + пха ' тп ж пьх' »».= 1 6) ~(1+ — ) .' Ц». 0<х<2. п=1 Исследовать на сходимость и равномерную сходимость ряд на множествах Е1 и Ез (29 — 38). 29.1)" з»в( — х"), Е,=(О,о), 0<о<1, Е1=(0;1); п=1 2) ~пе '" ""з ', Е1 — — (6;+ос), д > О, Ез — — (О;+со); п=» 3) ~атс18 —,, Е1 — — [О;а), и > О, Ез — — [О;+ос); пв п=1 С» » 4) ~ 1п(1+ — „), Е,=[О а), а>0, Е»=[1+со); п=1 5) ~ ~с Щ* ~'ь"». Е, = (О:Ц. Е» = [1;+оо); п=1 6) ~~,, Е1 = (О;Ц, Ез = [1;+со); п=1 7) ~ ",, Е1 — — (О;1), Ез — — (1;+ос); и=! 8) ~...

Е1 = (О;1), Е» = (1;+со), п=1 372 Гл. б. Функциональные последовательности и рядн 2 2 з з Ег =(О 1), Е, =(1;+со); з2=1 10) ~п ' 1п (1+ )з Ег = (О,:1), Е = (1;+со). п=1 30. 1) ~ ~вЬ (, ), .Е1 —— СО;1), Ег = С1;+со); п=1 2) ~~ е """""* Е = (О; — ), Е2 = ( —;1); п=з 3) ~~1 ахсф3 —, Ег —— (О; Ц, Ег = (1;+ос); 1 п=1 4) С, Е =(ОЦ, Е =(1+ ); 1 1+и 2' и=-1 5) ~~1 е ""'" ' Е1=(0.— 1 Е =(— п=1 6) ~ 1п(1+ —,), Ег =(О;1), Е2= 11;2); п=1 7) ~хе" в111 — ', Е1 = (О;1), Ег =11;+со); п=1 вЬ (17'Схп)) сов(хп) 1+ хп п=1 оо 9) ~~1~,' ' 1п (1+ — '), Е, = (О;1), Е = (1;+со); 10) ~1( ' (е~гз" л 1 — 1), Ег —— (О;1), Ег — — 11;+ос).

п=1 31. 1) ~~1 (1 — сов з'2' — — „„), Ез —— 10; 1), Ег — — 11;+со); п=1 2) " 2 "*агсед(пех), Е1 = (О;б), Е2 = 1б,+ос), б > 0; п=1 3) 'Г "'~'гОзх))соь * Е = ~0.1) Ео = 11.+,.). 4 4-!и 2пх п=з 4) ~ „, Е1 =10;б), Ег = (б:+ос), б > О; пз + сов(и)зх + 1)) ' п=1 Гл. 5. Функциональные яоеледовательноети и ряды 1Ц ~, еш —,, Е, = (О,Ц, Ех = (1;+ос); п,=г 12) ~~~ игйхе1п е, Ег — — (О; Ц, Еа = (1;+оо).

п=г 33. Ц ~~' 'и, Ег = (О;2н), Ех = (б;2н — б], 0 ( б ( 2г п=г 2) ~х е пе, Е, =(б,+со), б>0, Ее — — (О;+со); п.=г 3) ~ ~— е ' ", Ег = (б;+со), б > О, Ее = (О;+ос); ,гй п=г е 5) ~~~ е е1гг —, Е, = (О;Ц, Ее = (1;+со); п=! 6) ~ ~~., Е, = (О; Ц, Ее = (1;+со);. 1-~- 1и (и/х) 7) ~ еЬ,х, Ег = (О; Ц, Еа = (1;+со); х Ц- 1 пеьгп п=г 8) ~ ., Ег=(0;Ц, Еа=(1;+со):, п=г 9) ~ (е™ вЂ” Ц, Ег — — (О; Ц, Ее = (1;+со); 10) ~ и, „1а (1+ ~(à — ), .Ег — — (О; Ц, Ее = (1;+со); х'и гх 1Ц ~~ ', агс18)г — ',, Ег — — (О; Ц, Еа = (1;+со); 12) ~ хе " ' агс18 пх, Ег — — (О; Ц, Ее = (1;+со).

п=-1 34 Ц ~ ',, Ег=(0+со), Ее=(Об), б>0; ьги+ хе се 2) ~ — е " г~, Ег — — (О;+со), Еа = (О;б), б > 0; п=г >О; б18. Сходимоеть и равномерная еходимоеть р!уннциональных рядов 375 3) ~~! „, ахс15 —, Е1 — — (О;1), Ег = (1;+со); 4) ~п в * " вьп(пзх) Е1 = (О +со) Е = (б;+со), б > О; п=! , .(+ — ), -(, ), .-(,+-), п=1 6) ~~! — ахс!ц — ', Е1 — (О: Ц, Ех = (1; +со); П п=1 7) ~~ — 1п ', Е, = (О;1), Ех = (1;+оо); п=1 8) ~ ~!п ', Е1 —— (О; 1), Ех — — (1;+со); п=1 О) ~,' „', Е, =(О;1), Ех =(1;+ ); п=1 10) ~~!~,, Е1 = (О;1), Е» = (1;+со); п=1 12) ~ 1п (1 + — „), Е1 = (О; 1), Ех = (1: -!.оо). п=1 и» 35. 1) ~,, вш —, Е! — — (О;1), Ех = (1;+со); п=1 2) ~ е "* пхс!6(пт), .Е! — — (О;+со), Е! — — (б;+со), б > О; и=.

Характеристики

Список файлов книги