1610915390-52cbd25d82d9110658c00fb8dfb6bccc (824753), страница 55

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 55)

! 3) ~2" пбп —, Е! — — (О;1), Ех —— (О;+со); п=1 4) ~~1~, Е, = (О;б), Е» = (д;+со), б > О; п=! 5) ~~~ пхп16 †„, Е! — †( — 2;2], Е! — †( — 3;3); п=! 6) ~, птп —, Е1=( — 5;5], Ех=( — 6;6); ив -!-Зп Гл. д. Функциональные иоследоеательности и ряды 5) ~~' (1+ хигп) [1 — соя — ), Ег — (О; Ц, Ез = [1;+ос); б) ~ ягвз —, Еь — — [1;2), Ез = [2;+ос); игйя-х п х 7) ~ агстб —, Ег = (О; Ц, Ез = (1;+со); и+а+1 ~/и' о=ь ь)т ',, 0 /, е,=(о;О, е,=о;~ Ь о=г 1 — соя— 10) ~ фп(соя — — 1) соя хп, Ег — (О; Ц, Ез = (1;+со); хп 1Ц ~ [1 — сов~)агстб — ', Е, = [О;Ц, Ез = [1;+со).

о=! 39. Найти все значения о, при которых ряд ~хне ои сходится равномерно на интервале [О; +ос). о=1 множестве [О:, +со) 40. Исследовать на равномерную сходимость на ряд: Ц~ ~—,е*; е; —.0 ~а„ио[х) равно- 41. Пусть !пп ~~/[а„[ = 1. Доказать, что ряд мерно сходитсй на множестве Е, если: Ц пи[х) = х", Е = [-о; о), 0 < о < 1; 2) по[х) = е "', Е = [д;+со) ь б > 0; 3) и„[х) —, Š— [ — оо;+со): 4) ио(х) = е " *, Е = [д;+со), 5 > О. 42.

Доказать, что если ряд ~ ~и„[х) сходится равномерно на мноо=г жестве Е, а функция уо(х) ограничена на этом множестве, то ряд Е р(х)и„(х) также равномерно сходится па множестве Е. р1В. Сходимость и равномерная сходимость функциональных рядов зте 43. Доказать, что если ряд ~ [оп[х) [ равномерно сходится на мноп=ь жестве Е, а функции и„[х) определены на Е и удовлетворяют условию [ив[х) [ ( [оп[х) [, х б Е, то ряд ~~ ип(х) сходится на множестве Е абсолютно и равномерно.

44. Доказать, что если ряд ~~~ [и„[х)[ сходится равномерно на множестве Е, то ряд ~~1 и„,(х) также сходится равномерно на Е. п=ь 45. Следует ли из абсолютной и равномерной сходимостей ряда ип[х) на множестве Е равномерная сходимость ряда ~~ [ип(х)[ п=ь п=ь на ЕГ Рассмотреть пример [-Цпхп[1 — х), Е = [О; Ц.

п=ь 46. Доказать, что если ряд ~ип[х) сходится абсолютно в точп=ь ках и и Ь, а функции ьл„(х), и Е Я, монотонны на отрезке [а; Ь), то этот ряд сходится абсолютно и равномерно на [а; Ь). х 1 х 1 47. Доказать, что если ряд 1 сходится, то ряд 1 [ап[ п=ь п=в сходится абсолютно и равномерно на любом замкнутом ограниченном множестве, не содержащем точек х = ап, п с М. х ап 48. Доказать, что если ряд ~ ап сходится, то ряд Дирихле 1 пх п=1 п=1 сходится равномерно на множестве [О;+со). 49.

Доказать, что если рнд ~~ а„сходится, то ряд ~~~ апе "' охов= ь о=1 дится равномерно ца множестве [О;+со). 50. Пусть функции ип(х), и Е Я, непрерывны на отрезке [О; Ц, ип[х) .=1 О, х Е [О; Ц, и ряд ~ и„[х) сходится для каждого х Е [О; Ц. п=и Следует ли отсюда, что этот ряд сходится равномерно на отрезке (О; ЦГ Гл. д. Функциональные последовательности и ряды ОТВЕТЫ 1.

1) Сходится абсолютно при [х[ > 1; 2) сходится абсолютно при всех х Е Я; 3) сходится абсолютно при х > О; 4) сходится абсолютно при всех х Е Й; 5) сходится абсолютно при х < — 3 и х > — 1, сходится услов х = — 3; 6) сходится абсолютно при 1/е < х < е. 2.

1) Сходится абсолютно при 2 < [х[ < х/6; 2) сходится абсолютно при х > 1; 3) сходится абсолютно при [х[ > х/е; 4) сходится абсолютно при х ф О; 5) сходится абсолютно при — 2 < х < — 2+ е " и при х > 6) сходится абсолютно на отрезках [х — 1к[ < я/4, 1 Е л. 3. 1) Сходится абсолютно при [х[ < ъГг — 2; 2) сходится абсолютно при [х[ > 1, условно при х = — 1; 3) сходится абсолютно при т > О; 4) сходится абсолютно при [х[ ф 1, сходится условно при х 5) сходится абсолютно при — 1/2 < х < 7/2; 6) сходится абсолютно на отрезках [х — 1к[ < к/6, й Е У. 4. 1) Сходится условно при х ф 2йк [й Е л ); 2) сходится условно при всех х Е Й; 3) сходится абсолютно при х > О и при х = — я1е й Е !"1; 4) сходитсн абсолютно на интервалах 21я < т, < [2й+ 1)я, сходится условно в точках х = йк, й Е л; 5) сходится абсолютно при [х[ < 3, 6) сходится абсолютно при [х[ < 2.

5. 1) Сходится при х = й, й Е л; 2) сходится абсолютно при 3) сходится абсольотно при [х[ > 1; но при е — 2; 1Ел, х>1; 51. Доказать, что ряд ~~ и„(х), где п=! О,. если 0(х<2 О'"Ц, и„[х) = (1/п)аьп [2иь'ях), если 2 <™ < х < 2 О, если 2 "<х<1, сходится абсолютно и равномерно на отрезке [О; Ц, но его нельзя ма- жорировать сходящимся числовым рядом с неотрицательными чле- нами, т.

е. не может существовать сходящийся ряд ~ ~ип, а„> О п=! [и Е И), такой, что для всех и Е р! выполняются неравенства и„(х) <о„, хЕ [О,:Ц. 418. Сходимость и равномврная сходимость 4уннциональнььх рядов ЛВ~ -1<х<О:, рно; рно; рно; о; 4) сходится абсолютно при ~х~ < 1, 5) сходится абсолютно при х р': 0; 6) сходится абсолютно при ~х~ < 1. 6. Ц Сходится условно при всех х Е й; 2) сходится условно при х > 0; 3) сходится абсолютно при всех х Е Й; 4) сходится абсолютно при х > О, сходится условно при 5) сходится абсолютно при ~х~ > 1; 6) сходится абсолютно при х ф — 1. 13. 1) Сходится равномерно; 2) сходится равномерно; 3) сходится равномерно; 4) сходится равномерно; 5) сходится равномерно; 6) сходится равномерно. 14.

1) Сходится равномерно; 2) сходится равномерно; 3) сходится равномерно; 4) сходится равномерно; 5) сходится равномерно; 6) сходится равномерно. 15. 1) Сходится равномерно; 2) сходится равномерно; 3) сходится равномерно; 4) сходится равномерно; 5) сходится равномерно; 6) сходится равномерно.

16. 1) Сходится равномерно; 2) сходится равномерно; 3) сходится равномерно; 4) сходится равномерно; 5) сходится равномерно; 6) сходится равномерно. 17. 1) Сходится равномерно; 2) сходится равномерно; 3) сходится равномерно; 4) сходится равномерно; 5) сходится равномерно; 6) сходится равномерно. 18. 1) Сходится неравномерно; 2) сходится неравноме 3) сходится неравномерно; 4) сходится неравномерно; 5) сходится неравномерно; 6) сходится неравномерно. 19.

1) Сходится неравномерно; 2) сходится неравноме 3) сходится неравномерно; 4) сходится неравномерно; 5) сходится неравномерно; 6) сходится неравномерно. 20. 1) Сходится неравномерно; 2) сходится неравноме 3) сходится неравномерно; 4) сходится неравномерно, 5) сходится неравномерно; 6) сходится неравномерно. 21. 1) Сходится равномерно; 2) сходится равномерно; 3) сходится равномерно; 4) сходится равномерно; 5) сходится равномерно; 6) сходится равномерно. 22.

1) Сходится равномерно; 2) сходится равномерно; 3) сходится равномерно; 4) сходится равномерно; 5) сходится неравномерно; 6) сходится неравномерно. 23. 1) Сходится равномерно; 2) сходится равномерно; 3) сходится неравномерно; 4) сходится равномерно; 5) сходится равномерно; 6) сходится равномерно. 28. 1) Сходится неравномерно; 2) сходится равномерн 3) сходится равномерно; 4) сходится равномерно; 5) сходится неравномерно; 6) сходится равномерно.

Гл. о. Фуннниональньье носледоеательнооти и рядьь 29. Ц Сходится равномерно па Е; и неравномерно на Еа, 2) сходится равнолаерно на Е, и неравнолаерно на Еа,. 3) сходится равномерно на Е, и неравномерно на Еа: 4) сходится равномерно на Е, и неравнолаерно на Еьп 5) сходится неравномерно на Е, и равномерно на Еа, 6) сходится неравномерно на Е, и равномерно на Еа, 7) сходится неравномерно на Е1 и равнолаерно на Еа, 8) сходится равнолаерно на Е, и неравномерно на Еа,. 9) сходится неравномерно па Е, и равномерно на Ее, 10) сходится равномерно на Е, и неравномерно на Ее. 30. 1) Сходится равномерно на Еь и неравномерно на Ет; 2) сходится неравномерно на Е1 и равномерно па Ее.

3) сходится неравномерно па Е1 и равномерно па Еа, 4) сходится неравномерно на Е~ и равномерно на Ее, ое) сходится неравномерно на Е, и равномерно на Ее,. 6) сходится неравномерно на Е, и равномерно на Ее,. 7) сходится равномерно на Еь и неравномерно на Еа; 8) сходится неравномерно на Еь и равномерно на Еа, 9) сходится равномерно на Е1 и неравнолаерно на Еа, 10) сходится неравномерно на Е, и равномерно на Еа. 31. Ц Сходится равномерно на Еь и неравномерно на Еа, 2) сходится неравномерно на Еь и равномерно на Еа,. 3) сходится неравномерно на Е1 и равномерно на Ед,.

4) сходится равномерно на Ел и неравномерно на Ее; 5) сходится неравномерно на Еь и равномерно на Ее; 6) сходится равномерно на Е1 и Ее; 7) сходится равномерно на Еь и неравномерно на Ее; 8) сходится равномерно на Еь и неравномерно на Ее, 9) сходится равномерно на Еь и неравномерно на Ее, 10) сходится равномерно на Еь и неравномерно на Ее, 32. 1) Сходится равномерно на Е, и неравномерно на Еа, 2) сходится неравномерно на Е, и равномерно на Еа, 3) сходится равномерно па Ел и неравномерно на Еа,. 4) сходится равномерно па Еь и неравномерно па Еа, 5) сходится равномерно на Ел и неравномерно на Еа, 6) сходится равномерно на Еь и неравномерно па Ее,.

7) сходится неравнол|ерно на Еь и равномерно на Еа, 8) сходится равномерно на Е1 и неравномерно на Ее,. 9) сходится неравномерно на Е1 и равномерно на Ее; 10) сходитсн неравномерно на Ел и равномерно на Е; 11) сходится равномерно на Е~ и неравномерно на Е; 12) сходится неравномерно на Еь и равномерно на Ее. 33. 1) Сходится неравномерно на Е1 и равномерно на Еп 2) сходится равномерно на Е1 и неравномерно на Ее, 3) сходится равномерно на Е1 и неравномерно на Еа,. 418. Сходимоеть и раономерная еходимоппь фуннциональнььх рядов 383 4) сходится неравномерно па Еь и равномерно на Ет; 5) сходится равномерно на Еь и неравномерно на Еа, 6) сходится равномерно на Е, и неравномерно на Еа; 7) сходится равнолоерно на Е, и неравнолеерно на Еа, 8) сходится равнолеерно на Е, и неравномерно на Еа; 9) сходится равнолоерно на Е, и неравномерно на Еа, 10) сходится равномерно на Е, и неравномерно на Еа, 11) сходится равномерно на Е, и неравномерно на Ет; 12) сходится нераввомерпо на Еь и равномерно на Еи, 34.

Характеристики

Список файлов книги