1610915390-52cbd25d82d9110658c00fb8dfb6bccc (824753), страница 60
Текст из файла (страница 60)
421. Ряд Тейлора откуда ф = е~, и = 1п ф, атб г = о. то 1п г = 1п г + ! у!. (25) Из равенства (25) следует, что если г = к+!у и — к < у < к, то 1пе = г. Если ~г — 1~ < 1, г ~ О, то функцию 1пг можно разложить в степенной ряд: ~( ) !-! ( — 1)" п Заменив в этом разложении г на г + 1, получим ое о 1п(1+ я) = Е(-1)п 1 —, И <1, г ~ -1. и ' о.=. ! Отметим еще, что если (26) г! = е!еьн гг = гзеюе !'де — к/2 < че! ь, к/2, — к/2 < !рз < к/2, то 1п!!г!гз) = 1пг! + 1пгз, 1п(г!/гз) = 1пг! — 1пгз. 5. Решение дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов.
Рассмотрим дифференциальное уравнение уя+Мт)д!'+ у!к)у = /'Ф, (27) и будем искать решение этого уравнения, удовлетворяющее начальным условиям У 1то) = У!; УМо) = Уо~ (28) Пусть ое какое-нибудь значение аргумента числа г; тогда о = !р+ 2кп, п Е Е. Таким образом, все решения уравнения (23) (их обозначают символом Епг) задаются формулой 1 вг = 1п (г(+ е(у!+ 2кп), и б л. (24) Уравнение (23) лложно рассматривать как равенство, которое определяет функцию ш = и!(г), обратную к показательной функ- ции е-".
Из (24) следует, что функция ш(г) = Епг (логариуемическая функция) является многозначной. Если значения аргумента числа г выбирать на полуинтервале ( — к; л), то значение Ьп г определится однозначно. Однозначная функ- ция, ставящая в соответствие числу г указанное значение Еп — , обозначается !п г. Итак, если г = г(соя у!+ 1з1п!р), где — к < у! < к, Гл. д.
Функциональные последовательности и ряды где хо, уо, уг заданные числа (задача Коьии). Если функции р, у, 7 представляются степенными рядами вида '~ Сп(Ф Л'О)н п=о сходящимися к этим функциям в некоторой окрестности точки хо (регулярны в точке то), то существует единственное решение задачи Ноши (27), (28), представимое в виде степенного ряда У1х) = ~ ~о 1Ф вЂ” ло) (29) =о (31) ПРИМЕРЫ С РЕШЕНИЯМИ Пример 1. Используя формулы (8) — (10), доказать, что: 1) „',,=~(-~)"'"", И<1; о=о (34) сходящегося в некоторой окрестности точки то. Находя из равенства (29) с помощью дифференцирования степенные ряды для у', у", подставляя в уравнение (27) вместо у, у', у", р, д, 7' их разложения в степенные ряды и производя соответствующие арифметические действия над степенными ридами, запишеле уравнение (27) в виде равенства двух степенных рядов.
Из полученного равенства можно последовательно найти коэффициенты ряда (29) и тем самым решить задачу Ноши. 6. Нахождение сумм рядов и интегралов. Различные способы вычисления сумм числовых и функциональных рядов рассмотрены в 913, 19, 20. При вычислении сумм числовых рядов иногда удается представить ряд в виде линейной комбинации известных рядов: (30) о=1 пе б к=! ~Х-' (2н — 1)е 8 ' (32) п=1 ( — 1) ~ Е (33) и=1 Равенства (30) и (33) доказаны в 920 (пример 5), а равенства (31) и (32) можно получить, например, с помощью ряда Фурье для функции Фз (сьс задачу 45 из 8 22). рйй Ряд Тейлора 2) (и+1)х", ~х~ < 1; (35) я=о и=1 4) ту1+ хз = 1+ — + ~ "хз", ~х~ < 1.
(37) иьа а 1) Заменяя в формуле (10) х на хз, получаем степенной рлд (34), радиус сходимости которого равен 1. 2) Так как С вЂ” а — 2( — 2 — Ц( — 2 — 2)...( — 2 — ( — и — Ц) — 1) (и+ 1), то, заменнн в формуле (8) и на — х и полагая о = — 2, получаем рлд (35), сходящийся при ~х~ < 1. 3) Заметилй что ( — 1/2)( — 1/2 — Ц...( — 1/2 — (и — Ц) С",. = 3) ( — Ц" 1 3...(2п — Ц „(2п — Ц!! = ( — 1) 2 оп.' 2 пи! Полагая в формуле (8) а = — 1/2 и заменяя х на — х", получаем рнд и=1 и=1 радиус сходимости которого равен 1.
Отсюда, учитывал, что 2"п! = 2 4 6...(2п) = (2п)п, получаем разлогкение (36). 4) Так как С з 1(1 1) (1 („1)) 1 ( 1)и- 1 3" (2" — 3) 1 (2и — 3)!! 1 =( — 1)" ", п>2 и Ср — — —, (2и)й 2' то из формулы (8) следует равенство (37). а П р и м е р 2. Разложить в ряд Маклорена функцию Зх+ 8 (2х — 3)(хе + 4) а Представим рациональную функцию Д(х) в видо суммы элементарных дробей: Зх Ч- 8 А Вх Ч- С + (2х — З)(хе+4) 2х — 3 х'-Ь4 Отсюда находим Зх+8 = А(ха+4) + (Вх4-С)(2х — 3).
р91. Ряд Тейлора и воспользуемся разложением ( — Цп(2п — Цй (2п)!! 1 =1+ у 1??1 + х? пп! (38) которое получается из формулы (36) заменой хз на ряд (38), получаем — 1 и 2л — 1 !' 1п(х+ ?? з + 1) + ~ ( — Ц (2л — Ц!! (2п)!! п=1 Радиус сходимости этого ряда равен 1. 2) Так как -хз. Интегрируя ?п? 1 2п+ 1 Г(х)— 1-1- ((х Ь 3)Дх — 3))1 х (х — 3)е.? х' — 9 3(1-Ь х???9) ' то из (34) следует, что со зеп+' ' п=о Интегрируя полученный ряд, находим ~~'(1) Ж = ~(х) — Д(0) = ~ ' (,"„„~1'и М, о ппа О или и.) =и )+Е',,'„'„ п=о где г'(О) = агс18 ( — 1) = —.г/4.
Радиус сходимости этого ряда равен 3. А Используя формулы (6) и (7), получаем 8 2 ~-~ (2п -!- Ц! 8 ~-? (2л)! »=о п=о откуда находим ( Цп2?п 1 зп?-! ( Цпы2?п — 1 и ап (Х)=- ~п(.-. (.--") '~п - (--) п=о п=1 Радиус сходимости ряда равен +со. а Пример 5.
Разложить в ряд Маклорена функцию Д(х) и найти радиус сходимости ряда: 1) )'(х) = 1п(х + т/хз + 1); 2) Дх) = агс18 — ' А 1) Заметим, что (1п(х+ ъ".'+1))' = 1+ х? Бл. 5. Фуннциональные последовательности и ряды Пример 6. Пусть ) х7(ее — 1), х ф.
О, 1, х= О. Запишем ряд Маклорена для 7(х) в виде у( ) =~ ~",*". п=е Доказать, что коэффициенты В„( шола Бернулли) можно найти при п > 2 из рекуррентных соотношений где Сь, -- биноминальные коэффициенты (С„"„, = 1), Ва = 1, Вг = — 1/2. а Из (40) и (3) следует, что =(~ '" )(~-"") Так как Во = г'(О) = 1 и коэффициенты при х" (и > 1) в левой части равенства (42) равны нулю, то и Е— В„ М (н+ 1 — й)! у=о откуда, используя формулу С Й!(и+ 1 — Й)! ' получаем (я+1)! ~~~ ВьСь„, = О.
ь=о Равенство (41) доказано. и Замечание. Можно показать, что Взять — — 0 (й е й1), а радиус сходимости ряда (40) равен 2я. П р и м е р 7. Разложить в степенной ряд в окрестности точки е = 0 функцию Г"( ) — еь соз А Для нахождения искомого разложения можно перемножить ряды (14) и (17). Однако для эффективного вычисления коэффициентов степенного ряда для Г" (е) удобнее использовать формулу (19) для функции сое е.
Применяя равенство (21), получаем 1(з) =е ( ' ) = — (е'~'ьй+е"О 0). 2 2 Так как 1+1= ъ'2е'яуе, 1 — 1= ъ'2е 4У1. Ряд Тейлора 417 то по формуле (14) находим и=-О или Е с»(я — а)н = у(г) н,=.о часто вместо формулы Коши-Адамара Я20) применнется формула П = ппп !ге — а~, где минимум берется по всем особым точкам гд функции комплексного переменного Дг) (сх!.
2 20, п. 2). В частности, для функции Д1г) = гДе' — Ц, рассмотренной в примере 6, особыми точками являются корни уравнения е' = 1. Это уравнение согласно формуле (24) имеет корни гд = 2й.г!', й б л. Ближайшими к точке а = 0 явлнются точки 2лг и — 2лг, поэтому В = !2лт( = 2я, т. е. радиус сходилдости ряда (40) равен 2тг. П р н м е р 8. Найти решение уравнения до — ху = О, (43) удовлетворяющее начальным условиям: Ц ~(0) = 1, д'(О) = О; (44) 2) д(О) = О, д'(О) = 1. (45) я Будем искать решение уравнения (43) в виде степенного ряда д = ~ ~аех".
(46) о=О Тогда — Ци„хе г = 2аг + ~(п+ 2)!п+ Ца„, гх'", и=! и ху = ~он тх, дя = ~п(п о,=г и уравнение (43) примет вид 2аг+ ~(п+ Ц!п -1-2)а„егх" = ~ и„,х," 27 Под ред. Л.д.нудряндевн, т.2 2 ' ат! 1!г) = ~, соа — . гнт а=о Ряд сходится во всей комплексной плоскости. я 3 а м е ч а н и е. При вычислении радиуса сходимости Л степенного ряда Ел. ой Функциональные последовательности и ряды Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в этом тож- дестве, получаем аз = О, (и + 1)(п + 2)ап а = ап 1, и Е й).
(47) Так как аз = О, то из рекуррентной формулы (47) следует, что аь = О, аз = 0 и, вообще, азп-1=0, игрй. (48) Из этой же формулы находим ае а1 (2 ЗП5 6)...ЯЗп — 1) Зп) ' " (3 4Пб 7)..ДЗп(Зп+ 1)) (49) Если выполняьотся условия (44), то из (46) следует, что ао — — 1, а! — — О, а если выполняются условия (45), то ао —— О, а1 — — 1. Обозначим у1 и ул решения уравнения (43), удовлетворяющие начальным условиям (44) и (45) соответственно.
Тогда из равенств (48) и (49) следует, что л,е еп, 2 3 (2. ЗП5. 6) (2 ЗП5 6)...ПЗп — 1)Зп) у, =1+ — -!- 1 1 ьп-1 (ос 1-) 3 4 !3. 4)(6. 7) (3. 4П6. 7)..Дзп!Зп ч- Ц) Заметим, что ряды (50) и (ое1) сходятся при любых т, е Я, а реше- ние уравнения (43), удовлетворяющее любым начальным условиям, является линейной комбинацией решений у! и уа. А Пример 9. Найти сумму ряда ~ иитп. п,=1 Я В 9 20 (пример 4) было показано, что ~ил" =,, ~т~ < 1.
и=! Дифференцируя почленно этот ряд, получаем Е" '" (1 — л) -!- 2е(1 — и) 1 + а (1 — а)' 11 — л)е п=1 откуда находим изяп= ~ ), ~а~<1. — (1-.-)е п.=1 Пример 10. Вычислить сумму 7"(:с) степенного ряда Е ( 1)п..1, еп п(2п — 1) п=1 а затеьл с помощью метода Абеля Я 20, (11)) найти суме!у Е ( 1)п — 1 п(2п — Ц п=! 221. Рлд ТейлоРа т.
е Пп1 откуда находим ~ т; (-1)п ' " ',1 т; (-1" ' а =1 п=1 Из равенства ( — 1)п п2 Хл-л 12п — 1)2 4 ~.~ пе и формул 132) и (31) следует, что э = и2,712. а П р имер 12. Доказать справедливость равенства 1п(т + 1) = 1п т + 2 ~~7 . .. т б 777', (52) п=о и с помощью этого равенства вычислить 1п2 и 1пЗ с точностью до 10 А Дважды дифференцируя почлснно степенной ряд 1)п — 1,7п Пх) = п(2и — 1) -Е п=1 и использун разлолгепие (13), находим рп1х) 2 ~~ 1 1)п — 1х27п — 11 2 ~( цпх2п п=1 П=О Откуда, последовательно интегрируя дважды, получаем Т"'(х) = 2агс1ах+ С, 21х) = 2хагстйх — !п11+ х ) + Сх+ С1.
Заметим, что 710) = Гп(0) = 07 и поэтому С = С1 = О. Следовательно, Т"1х) = 2хагстях — 1п11+ х1), П вЂ” 1 2'П = 2хагс1ях — 1п(1+ хл). п(2п — Ц о=1 Так как данный степенной ряд сходится при х = 1, а функция Т" не- прерывна в точке х = 1, то, применив формулу (11) 220, получаем Е ( 1)п — 1 = — — 1п 2. и(2п — 1) 2 п=1 Этот же результат можно получить, используя равенства 130) и 133). А 1 г 1п(1-~-х) Пример 11. Вычислить интеграл У= 21 72х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
