1610915390-52cbd25d82d9110658c00fb8dfb6bccc (824753), страница 62
Текст из файла (страница 62)
Разлонгить Д(х) в ряд Маклорена и найти радиус сходи- мости ряда. 421. Ряд тейлора 48. Доказать, что и=-1 (х! < 1; 2) !О(х и- Л ->- хе) ~ ( 1)п 2 (п.) лпе1 Я+ ха ~-~ Г2п Ч- Ц1 я=о 2'и ' Я~ — 1) 7) 3) (111(, + /1 +,,2))2 ~ ~7 и ( 1)п — 1 2п ~х~ п=о 4) О»Т+Х21П(Х+Ъ~Г+Хз) =Х вЂ” ~( — 1)п ' ' Хзпг7!. 2п(27! -~- 1)! и= )х! < 1. Е— Вп и — х, где В1 =1, Вль,1= 72! х 49.
Используя разложение ел — 1 О, Й ~ И (пример 5), доказать, что: и» 22пВ 1) тстхх = 1+ ~ ~( — 1)п х (2п)! п=1 о:» »п — ! я!ПХ Ч ~ 1)п2'' Веп, х ~-~ п(2п)! п=1 )х( < 77; )х! < 7г: 47. Доказать, что: Ц ("'Зх) =1+~(-1)п(1+ -+...+ ) — *, ~х~ <1; п=1 2) ( ) =1+2~( — 1)"(1+ — +...+ ) и=! (х! < 1; »п !1 3) агсгх х 1п11 + х2) = 2 ~~ (-1)" ' (1 + — + — + ... + — ) 2 3 2и 2п+1' п=1 (х! < 1., 4) =1+~~ (1+ — +...+ )хз", )х(<1; 2х(1 — хе) 1п— п=1 1 — х 1 *,Гз 5) — 1п(1 — хз) — — 1п(1 — т) — — агота 6 2,773 х + 2 Зи+ 2 ' п=о ~х~ < 1; 2 1 1 х 7773 х"' " 6) — 1п(хз + х + 1) — — !п(1 — х) + — агсцд 6 3,773 х+ 2 Зп+ 1 ' п=о (х! < 1. Гл.
д, Функциональные последовательности и ряды 3) 18Х = ~~' ( — 1) 1 л»зпх ф < л~ п=1 22п п=1 2»п — 1(2ь» 1) пп1 50. Пусть разложение в ряд Маклорена функции 177 сов х записано в виде 1 Ч' и ЕП лп сов х ~-' 12п)! п=1 Доказать, что ЬО= 1, ЕО+С277Е2+СООЕ1+...+С277Езп =О, пЕ И 51. Доказать, что п=о Вычислить сумму ряда (57 — 61). ~!а х ~ (-1) !и х и! 2" п! о» ьо 3) ~ ~—: 4) ~ ~п..сп' ', п=о п=1 (к + Ь) ~~ 1)п Е2 лпь1 ~х~ < 77 1 2 2 / (2п -н 1)(271)! ' 2 ' п=о где коэффициенты Елп определены в задаче 50.
52. Пользуясь определением функций комплексного переменного сове и в1пх (формулы (17) и (18)), доказать, что: 1 2 1) сйпх сове = — сйп2х; 2) сйп я+ сове е = 1. 53. Пользуясь определением функций комплексного переменного в12х и с12х (формулы (15) и (16)), доказать, что: Ц с122х — в122х = 1; 2) с122х = с122х+ в122х. 54.
Разложить в ряд по степеням х функцию: 1) е»сйплц 2) с12хсовлц 3) е»"'ь'сове, сйпх ~ 0; 4) С» со»о СОВ(Х В1П О) 55. Применяя почленное дифференцирование, вычислить сумму ряда: 2 2 »п-11 1) х+ — + — „+...+ +... 3 5 271+1 » 2п 2) хи+ — + — +...+ — +... 2 3 71 56. Применяя интегрирование, вычислить сумму ряда: »о 1) ~~, ' 2 и — 1 2) ~ ~(271+ 1)Х 521. Ряд Тейлора п=о Вычислить сумму числового ряда (63 -65).
63 ц ~ иг 2) ~ 2"гижЦ 3) ~' ( — Ц"и, и! ' и. '' 1211+ Ц! ' п=1 п=а п=а 1 1 1 3 1 1 3 5 1 2 3 2 4 5 2 4 б 7 1 1 3 1 3 5 б) 1 — — + — — +... 2 2 4 2 4 б л-л пг(п -Ь цг ' л-г пцп ж цг(гг ж 2)2 ' п=.г пп1 ЦпЛ1 1 2 2 3 3 4 4.5 п!ижЦ п п=1 се со 5) ~~~ (2п+ Цх"; 6) ~ ( — 1)п п=о п=1 58. 1) " п(11+2)х";. 2) ~~г ( — 1)п 'п(п+1)х"; пп! п=1 ) и !ЗптЦХ ) и 1 — Ц 1211 +Ц 2п ) и И-ж1 и! ' ~-я (2и)! ' ~-я 2" и! п=о п=о б) С;- (-Ц и ги -Ь Ц! п=о 59.
1) 1+~ "х" !2п)!! п=1 ') ~('-,) ~ ~('-)' ~ ~ ~(-')' - ') ~.(.*, 4) ~ Ц; 5) ~; б) ~ !1х". п(,2п — Ц ' 4п -г- 1 п=1 п=о п=1 , и зп~г ~Х-г и(п+ Ц(п+ 2) ' ~Х-г Зп+ 1 ' ~-~ (и — Ц(п-Ь2) ' ~-~ !2п)! ' ~-г !2п-Ь Ц! п=2 п=о п=о оо 61. 1) ~ ' (2х)2п„2) ~ (2п)! ' и! п=1 и=1 62. Коэффициенты ряда 1+ х+ 2хг + 4хл + Тхл + 13хе + 24хе -> ...
обладают тем свойством, что каждый коэффициент (начиная с четвертого) равен сумме трех предыдущих. Найти сумму этого ряда. Гл. 5. Функциональные иоеледоеательноети и ряды 430 1 1 1 123345557 1 ~-~ гг(2п -Ь Ц ' п=1 ,) С- (-цп ~-~ по+и — 2 п=г ~-' (и+ Ц(2п+ Ц ' ~- (и и ~~-~ Зп -~- 1 ' Х~-» п(Зп+ Ц ' 66.Пусть оп>0 его И иряд ~ рида и=г аг + аг а + аг а а ж х аг -~- х ог + х аг Ч-х аг ж х (-Ц" 3) ж Ц(2п -Ь Ц ' ~-л п(2п+ 3) ' ( — цп ~-' п(Зп+ Ц тг=г 1 — расходится. Найти су м и у ап аг жх агаг...ап (аг -~- х)(аг -~- х)...
(апьг и х) 2) 11 х 1 (1— о предполаган, что х > О. 67. Найти сумму ряда г х х х х .,+,+ +...+ „„, +... п-1 68. Найти сумму ряда г, при ~х~ ( 1 и при (1 — хиП1 — п") (х) > 1. п=г 69. Найти сумму ряда 2! и! +...+ х+1 (х+ Ц(х+2) "' (х+ Ц(х+ 2)...(х+ п) где х ф — й (й Е М). 70. С помощью разложения подынтегральной фуннпии в ряд вычислить интеграл 1 1 -~-оо Ц / 1п — г1х: х) е(х; 3) /,, е(х: о о 4) / о 71. Пользуясь соответствующими разложениями, вычислить с точностью до 10 ': 1) соа1', 2) соз10', 3) з(п10', 4) з(п1', 5) ~~ТЗО; 6) 1п1,2. 72. Вычислить с точностью до 10 ': Ц 189', 2) ьг500; 3) агс18(ягг10); 4) ~т/68; 5) 1п5; 6) агсз(п(1/3).
73. Вычислить с точностью до 10 з: Ц з(п18', 2) е. 491. Ряд Тейлора 74. Используя равенство л,16 = агсз1п(112). вычислить число л с помощью ряда Маклорена для функции агса1пх с точностью до 10 75. Используя равенство я 1 1 — = 4 агс1я — — агс18 — , 4 5 239 ' вычислить число л с точностью до 10 76. Используя ряд Маклорена для Т(х), вычислить интеграл 1 г" (х) дх с точностью до 10 з, если: е 1) Т"(х) = "—; 2) 1'(х) = е/х хсоах; 3) Т"(х) = соахг. 4) ((х) = '— '; 5) ((х) = з1пхг; 6) 4'(х) = 77. Вычислить с точностью до ГО 2 4 ггг г/3 Ц / — 'г1х; 2) /е ° е1х; 3) / ~х е1х; 4) / 1 2 о о го ~рг ею 1 5) / е(х; 6) / ' Их; 7) / ' .,й:; 8)/хее)х.
5 о 3 о 78. Доказать, что если существуют числа б > О, Л > 0 такие, что для всех х Е (ха — б; ха+ б) и для всех п = О, 1,2, ... выполня- ется неравенство ~(00(х)~ < Л", то в каждой точке х из интерва- ла (хо — б;хо + б) функция г"(х) представляется сходящимся к ней рядом Тейлора (1). 79. Пусть существует постоянная ЛХ > 0 такая, что для всех и Е Е Ш выполняется неравенство ф"~(ха)~ < ЛХ. Следует ли отсюда, что: 1) ряд Тейлора (1) сходится ца некотором интервале (ха — б; хо+ б)~ 2) функция г"(х) представляется в некоторой окрестности точ- ки хо сходящимся к ней рядом ТейлораГ 80. Доказать, что для функции е 'г*, если х ф О, О, если х= О, можно составить ряд Маклорена, но сумма этого ряда не совпадает с г'(х) при х ~ О. ,гьг ~ 81.
Пусть Яа(х) = ~( — 1)", . Верно ли, что Я„(х) =4 з1пх, (2Л -ь Ц! хе ИГ ь=о 82. Доказать, что если для коэффициентов степенного ряда Е- о„х выполняются неравенства ~и„~ < — (и = 1,2...), где о М и.' а=а Гл. 5. Функциональные иоеледоеательноети и ряды н=о 84. Доказать, что если функция Г" бесконечно дифферснцируема на Й и удовлетворяет условиям: 1) существует такая постоянная ЛХ > О, что для всех х Е Й и для всех и Е И выполняется неравенство ~~~"~(х)~ < ЛХ; 2) )(1/ть) = О, и Е Л1, то ~(х) = О.
85. Доказать, что ряд Маклорена для функции У(х) = ~ е "соаплх и=о сходится лишь при х = О. ОТВЕТЫ 4.1) ~,, Л=оо; о=о 3) ~~;~11+1)хзн Л о=о иео1п Зе"''(2п ц-1)! ' о=о п! ' 2' н=1 ае ~ (2п — 3)й 2 (2п)!! н=а 5. 1) ~ —, (2" ' + ( — 1)п)х", Л = со; о=о 2) 1+~ х", Л=со; и.' 2) Е( — 1)"( +1)хи+'2, Л=1; о=о (2п ц- 1)!! (2п)! о=о 2" Л=со; 6) ~ хз", Л=со; (2п)! о=о ЛХ > О постоянная, то: 1) сумма Г" 1х) этого ряда бесконечно дифференцируема в любой точке и Е Й; ~1п'1~ ) 2) Г'(х) = ~ ' (х — а)и при любом х Е Й.
83. Пусть функция )' бесконечно дифференцируема на отрезке ~ — 1, Ц и 11"1(х) > О при п = 0,1,2,... и для всех х Е ~ — 1; Ц. Доказать, что в интервале (-1,1) функция Г"(х) представляется сходящимся к ней степенныл1 рядом 2(х) = ~~ а„х". 421. Рнд Тейлора 433 и — д Пп ~д~ 3) хе1п4+ ~~~ ( ) Л = 2 п4п и=.1 не! и=д 4пд — 1 п=1 (2п — 1)6 х "' 2 ~-~ (2п)!! 2п+ 1 ' и=1 6. Ц -2+ ') " " .-, Л = 2; 1)пд-е 3 — (ир~1) " Л 4 п=о 3) ~ ~Н--)ии' — 2и'') —, Л= —; п=о 4) ~~~ (( — 1)и3 1"ЕЦ вЂ” 2 и)хи Л = 2.
и=о 5) ~(2 1"да1+3 1пе'1)хп, Л = 2; п=о 6) д х"и Л = дГ2 2иед п=о ~-~ (-1)" (2п+ 1) — 1 4 х"., Л= 1,: и=а Я) ~(' ~ ") ) '" Л=1. п=о 9) — — + ~~~ (( — 1)'и' — 2") хи, Л = —; п=д 7 3и и2и" и 2 10) — +~ ( — „,, +( — Ци — ид,)х", Л= —. и=.д ее дп — д 7. 1) ~ ( — 1)и 'яЬ(п1п3) х, Л=— 4 ' Я' 2) ~( — 1)и 'в] ~п1п2) 2х Л 1 3 д/2 28 Под ред. РиД.Кудрнвцева, т.2 2хдии1 3(2п -'и 1) ' ли 1! 1; 7) ~ , Л = со; п=в 421. Ряд Тейлора 435 2) 1в2+ ~~ ( 3) 1а-5+~и и=! 1-2) " — 2), Л = 4; ~ 1-1)"-! бп 3-е' ап 1 Л= —; 3 я — и 1 /3" 1 — 1)и' 2" 1 5) 1а — + ~ — ~ — + — — )х", 16 и оеи 2и Зп ии! 6) — 1пЗ+ Х 1 ( — — 3" + ( — 1)"2и)хи и ~3и п=! 2еп — ! И.
1) 1+ ~(-1)",, ха", Л = со; и=! 2) ~ 1 ) 11 24п)хяп Л !2т!)! и=! 3) ~- (-')п(1+32-")хап-" Л=ж ~-~ 412п)! п=о 5'п" — 1 4) ~( 1)п Оила Л 2!2е! 4- Ц! п=о 412п -!- 1)! и=-! 3 -1 п2 '" 6) ~ (1+32" ')хеи'О' Л !2п)! Л=— 3 2' Л= —. 1 3' 2!и — ! -*'и 12. 1) ха + ~~,, Л = со; и=! и=! 4) ~ ~ ) 15~" — 3'и"'+2) '"+' 1612п 4- 1)! и=а ~- 311+ Зеп-') 4О2и)! п=о 13. а. и=а 1 1 1)п — !2пе! 4) — 1п3 — — !, + — ! 7 7 лил Зеп''12п+ 1) 14 л-л и п=о и=-! Гл.
б. Фуннциональные последовательности и ряды ') Е 2п д п(2п — Ц (2п — 3)!! -Е (2п -Ь Ц(2п)!! п=2 '1 не 1 п=о и (2п — Ц!! хоп' (2п "; 2)!! 2п -~- 1 ' п=1 3 хз 4) — — + х — — ' 2 б п=п 16. 1) — 1+— 2 1122"" 2) ~~ хз" ь', Л = ОО; (2п+ Ц! п=1 оь 1п 3) 41п2+ ~1 ... Л=2; п=1 п=.2 , Л 12п — ЗМ! г) + .+ '"" +~ ( 1)п — 1 Ф' 3)" зпе1 д б ~-~ 2"'(2п + Цп! п=2 со п,=1 ( — Ц 12п — Ц", апез з ) - —, + Е (2п)п32п „Рд, Ц. п=1 4) 3 1п2+ — )ха+ ~( — 1)п ' '" х~п+з) Л = 2; 8 22п(2п+1)п! п=1 12п — Ц!!2 "" 1 5) — 2хз+ 2хл+ ~ ' " ~хлпел — лап+2) Л = —.
Л-л (2п)!! (2п+ Ц ' ил2 ' о=1 оо 7) 1-~-2х+х~+~ ~' "х п~', В=1. (2п)!!(2п -ь Ц п=1 п=1 ;г хз я (2п — Ц!! х и 2) — 1+ — х — — ' — лз ", 47 = 1; 2 2 (2пл;2)!!(2п-рЦ' о=1 Гл. д. Функциональные последовательности и ряды "~,2(2.нЦ."" '(' 4) 3<-Цп ( п=о ) 122и — 2 ц(х+ '1 ) д л=1 ! Цп1122и 2 2л (2п — 2)! ( 2п(2п — Ц ) ( 2 ) п,=1 и=1 21 Ц ~ ! ) 1х+Ц'", я=1; п=1 2 ап 2) 1п2+ ~( — Ц" ' „, Л = ъ/2; и.=1 3) 1п 2 — ~ (х — 3)", В = 1; 1+ 2-и п п=1 оо 5 1п 4) 1и 5+ ~( — Ц" ' В = и/5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
