1610915390-52cbd25d82d9110658c00fb8dfb6bccc (824753), страница 65
Текст из файла (страница 65)
Построить график суммы ряда. а Вычислим коэффициенты Фурье функции /(х) = сЬх (при вычислении воспользуемся результатом, полученным в примере 20 26): 1 ядх ' яде ао = — / сЬх ггх = к/ сг о и о аи лл — / одх соя пхг1х = ( — 1)и ',, п Е А1. 2 г 2яЬх сг./ сг(1 ж пе) о В силу четности функции Г" все коэффициенты д„= О, и Е д1. Согласно теореме 1 ряд Фурье функции Т" на отрезке [ — я; я] сходится к самой функции /: сЬх = ' (1+ 2 ~( — 1)", соя пх), — я ( х ( к. и и=с На рис. 22.1 сплошной линией изображен график суммы ряда т Фурье функции сЬх, а штри- я 1 у=-сь е и Зл Ол л ур Р Ру Рис. 22.1 по частям и используя снова результат, полученный в примере 20 2 6, будем иметь д„= — / яЬх ьбппхг1х = — — / яЬхг1 соя пх = сгп / о л 2 Г л = — — ] яЬх соя ах — / сЬх сояпхг1х гп], о о хаыи - .
график самой функции сЬ х вне отрезка [ — я;.~т]. а П р и м е р 2. Разложить в ряд Фурье фушсцию Д(х) = = яЬх, — к < х < л. Построить график сумлсы ряда. а Вычислим коэффициенты Ф ье. Интег и я 1 ! ! ! ! ! Гл. 5. Функциональные последовательности и ряды а в точках х = — и и х = и его сумма равна 7(- +О)+~(к-О) е1г(- )+е1гк 2 На рис. 22.2 сплошными линиями изображен график суммы ряда Фурье функции з1гх, а штрихами — график самой функции вне отрезка [ —.г; к1 А '1' Пример 3.
Разложить в р д у — ек г Фурье функцию, получающуюся периодическим продолжением с периодом 2гг из функции Дх)=, 0<х<2и, (31) 2 и доказать с помощью этого разложения, что 4 3 5 7 — =1 — — + — — — +... (32) (ряд, стоящий в правой части этой формулы, называется рядом Лейбница . Рис. 22.2 А При периодическом продолжении с периодом 2и функции (31) получится функция, отличающ аяся от нечетной только значением в нуле.
Поэтому для нее и„= О, и=0,1,2,..., а я к Ь„= — / яп их дх = — — уг (и — х) д соя их = 2 ги — х. 1 гг 2 икл о к 1 = — — (и — х) сових — — ~ сових х = —. ит о ли 1 и' о Таким образом, и. — х к-ь япих (33) 2 ~-л и о=1 что на интервале (О;2п.), выполняется ра- Из теорелгы 1 следует, венство гг — х 2 (34) 0 <х<2и. =Ея" ' и В силу кечетности функции з1гх все коэффициент ы и, и=0,1,2 ..., равны нулю. Согласно теореме 1 ряд Фурье функции а1т х на интервале ( — и; и) сходится к самой функции: и — — — « к р 22. 'Тригоноягегиричесиие ряды Фурье При х = О и х = 2л это равенство уже не имеет места.
График суммы ряда Фурье (ЗЗ) изображен на рис. 22.3. Из равенства (34) при х = л,г2 следует равенство (32). Выведем его и другим способом, получив из (34) еще два интересных разложении. Рис. 22.3 Заменив в (34) х на 2х и разделив обе части получившегося равенства на 2, получим гг х х е1п 21сх О < х < и. 4 2 ~ 2й ь=г Вычтя это равенство из равенства (12), будем иметь .г ч еьи(25 — 1)х 4 ~-г 2й — 1 О < х < гг. ь=г Положив здесь х = лгг2, полУчим соотношение (32).
Я П р и м е р 4. Найти комплексную форму ряда Фурье периодической с периодом л функции сов х, О < х < пгг2, О, лг2<х<п, и сумму полученного ряда в точке х д Находим коэффициенты Фурье (здесь 21 = и): л,гз и .г о 1 сйих, — 2пгсоех з„г лгз 1 2пг'+е"лч 2пг'+( — 1)и' 1 — 4гр о л 1 — 4пд л(1 — 4пд) Следовательно, 2п14 ( Ц зи л ~-' 1 — 4 пи и= — сг На интервале (О; л) ряд сходится к функции 2(х), в точке х = л — — к Х(Ч-0) + г" (и — 0) 1 2 2 Пример 5. Доказать, что кусочно гладкан на отрезке (О;1) фупкпия может быть разложена на этом отрезке в ряд вида (15): Гл. ог.
Функциональные последовательности и ряды 1) по синусам; 2) по косинусам. а Пусть функция 1 кусочно гладкая на интервале [О;1). Если про- должить функцию 1 с полуинтервала [О,:1) на полуинтервал [ — 1;0) нечетным образом и положить ! У[х), 0<х<1, Г[х) = О, х=О, —,1'[ — х), — 1 < х < О, то функция Р будет кусочно гладкой на отрезке [ — 1;1) и потому, со- гласно теореме 1, может быть разложена на этом отрезке в ряд [15). В силу почетности функции Е в этом ряду будут иметься только чле- ны с синусами. На отрезке [ — 1,1) указанный ряд будет разложением заданной функции 1 по синусам. Если продолжить функцию 1 с отрезка [О;1) четным образом ца отрезок [ — 1; 0], то продолженная функция, согласно теореме 1, будет также раскладываться на отрезке [ — 1;1) в ряд Фурье, а так как она четная, то этот ряд содержит только члены с косинусами и ясно, что на отрезке [О;1) он дает разложение функции 1 по косинусам.
А Пример 6. Разложить в ряд Фурье периодическую с перио- дом 21 функцию 1, если Дх) = х при а < х < а+ 21. Выяснить, для каких значений х будет справедливо это разложениеГ Чему бу- дет равна сумма ряда Фурье в остальных точкахГ а Найдем коэффициенты Фурье функции 1 [слг. [12)): а а-1-21 ао = — ~ хг1х аа — = а+1, 21,/ 41 а а, аж 21 1 г пггх 21, пка а„= — / х сов Их = — яп 1/ а-1-21 1 Г . пнт, 21 пна Ьп са — 21 х вш с1х ьа — — сов, и б 112.
Таким образом, 21 х-~ 1 1, пна пггх пна, пггх1 1[х) а+1+ — э — [яп сов — сов яп 1! а=1 21х-а 1 . п,н = а+1+ — 2 — яп — [а — х). я и н=1 Сумма получившегося ряда в точках х б [а;а+ 21) равна х, в точках х = а и х = а+ 21 равна зг(о + О) -1- 1(а ж 21 — О) 2 а в остальных точках числовой оси сумма в силу ее 21-периодичности находится из ее значений в точках отрезка [а;а + 21). а у 22, Тригонолетрияеение ряды Фурье П р и м е р 7.
Разложить в ряд Фурье функцию У1х) =,, ~а~ <1, — Г<х< . 135) а Согласно формулам Эйлера 119), имеем г +1 . г — 1 соах =, ашх = 136) 22 ' 21 где х = е'*. Подставим выражения для синуса и косинуса 136) в формулу 135) и представим получившуюся рациональную функцию параметра а в виде суммы двух дробей следуюшим образом: аяих а12 — Ц 1 7 1 1 1 — 2а соня+ау 21Ь1 — аг)12 — а) 21 1, 1 — аг 1 — а)г) Поскольку )аз! = )асг*) = (а) < 1, )а)Х! = )ас 1е( = )а( < 1, то дроби 1Д1 — ах) и 1Д1 — а)х) можно разложить в степенные ряды (эти дроби представляют собой суммы бесконечно убываюших геометрических прогрессий).
В результате получится ряд Фурье функции 135) в комплексной форме: ж СЮ о.япх 1 (и~~ и и ~ а" ) 1 (~ „~,иг,иг)) и=о и=.о и =-1 Заметив, что яг — оьг = яппх, 21 будем иметь аяпх ., = 7 а,"яппх. а 1 — 2а сое х -~- аг с-~ и=1 П р и мер 8. Разложить в ряд Фурье неограниченную периодическую функцию )1х) = 1и ~2 соа1х)2)~. 137) А 1-й с п о с об. Непосредственно вычислим коэффициенты ФУРье фУнкции 137). ФУнкцин 7' четнаЯ, поэтомУ Ьа = О, и Е й,.
и и/Х и 12 ао = /1п(2 соа — )ах / 1п(2 соа — )11х+ ) 1п(2 соэ — )е1х. о о о Сделав во втором интеграле замену переменного х = л — 1, убедимся, что ао = О. При вычислении коэффициентов а„, и б М, .проинтегрируел1 по частям и сделаем замену переменного х на л — х: 2 1' х'1 яиах и а, = — ) 1п (2 соз — ) соа пх г)х = — 1п (2 соа — ) + 1г Л 2) х О о 1 Ряпах япЬх/2), „, 1 1 тяпах соэЬх)2) + — ) г1х. пя) сое(х)2) ия) егп(х/2) о о Рл. 5.
Функциональные последовательности и ряды Представив подыцтегральпую функцию в виде суммы яп пх сое(х/2) яп(п+ 1/2)х яи(п — 1/2)х + яп(х/2) 2 еш(х/2) 2 еьп(х,12) и использовав для вычисления интеграла от каждого слагаемого тождества и и — 1 еш(п+ 1/2)х 1 т-» яп(п — 1/2)х 1 будем иметь 1)и — 1 а =, пЕп). и Поэтому 1и 2соз — =" ( — Ци ' ' ', я~к(21+1), ЙбУ.
(38) п=1 2-й способ. Применим для разложения в ряд Фурье функции (37) метод, основанный на применении формул Эйлера (16). Положив х = е"', — я < х < и (следовательио, х ф — 1), в силу формул (16) будем иметь х т х1 1-~-е 1п 2 соз — = 1п (2 соз -) = 1п 2 ( 2) е'и11 )п(1 + сьл) )ц сьлд )п(1 + х) 2 ЗаМЕтИВ, ЧтО ф = ~Е1*~ = 1, Х у': — 1 И Хп = Еьп* = СОЕПХ+1 яППХ, получим, разложив в степенной ряд логарифм 1п(1+ с) (сн|. 9 21), и ьпл .( + ) = Е(- )и-' — '„= Е(- ) и-"П = и=1 п=1 1СОЕПХ .~-» п 1ЕШПХ и и и=1 В результате будем иметь 1п 2соз- =~ ( — 1)п ' +1( — -+~ ( — Цп " ).
(39) и=1 п=1 Поскольку в левой части этого равенства стоит действительное число,. мнимая часть его правой части равна нулю: — х + Е(-1)"-1Япп* = О, (40) и=1 и, следовательно, из форлзулы (39) следует разложение (38). Отметим, что попутно получилось разложение в ряд Фурье функции х/2. Действительно, из равенства (40) имеем — =~( — 1)п 1, — г<х<я,а 2 и и=1 4 22. 7ригонозгетри геенне ряды Фурье 457 Пример 9. Доказать формулу (17).
А Подставив в сумму Фурье 5и(х) = ао + ~ (аь соя йх + Ьу яш йх) у=1 выражения (3) для коэффициентов Фурье, получим е и е Яи(х) = — 1 7(1)г12 + ~ — 71 7'(1)(сояВ соя йх+ яшИ яшах)г11 = 1 г 1 2е./ я„l — е у=г е и е = — ~ 7(1) [- + ~ соя И(1 — х)] М = — ~ 77и(1 — х)((х) г71 — л ь=г — е Сделав в получившемся интеграле замену переменного и = 1 — х, получим формулу (17). а Пример 10. Доказать: если все коэффициенты Фурье непрерывной периода 2я функции равны нулю, то сама функция тождественно равна нулю. а Из формулы (24) и условий ае = О, а, = би = О, и Е И, следует, что для любого х Е [ — я; я] имеет место равенство ~ У(1) а = О.
о Дифференцируя его, получим 7(х) = О. л Пример 11. Разложить в ряд Фурье функцию 7"(х) = 1п(1 — 2а соях+ аз), ~а~ ( 1. 2а я1пх А Для производной 1'(х) =, заданной функции 7(х) 1 — 2о, соек+а' мы уже получили разложение в ряд Фурье в примере 7г 7'(х) = 2 ~ а" сояах. и=1 Проинтегрировав это равенство, получик| 1п(1 — 2асоях+ аз) = — 2~~ —" солях+ с. 1 Положив а = О, буден| иметь с = О. Поэтому 1п(1 — 2асоях+ аз) = — 2 э —" сояггх.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
