1610915390-52cbd25d82d9110658c00fb8dfb6bccc (824753), страница 68
Текст из файла (страница 68)
118. Доказать, что если две непрерывные периода 2к функции имеют одинаковые коэффициенты Фурье, то эти функции тождественно равны. 119. Доказать, что если функция Т" непрерывна на отрезке [ — к;к] и ее ряд Фурье сходится равномерно на этом отрезке, то в любой точке отрезка [ — к;з] сумма ряда равна функции ( в этой точке. Гл. об Фуннциональньге последовательности и ряды 472 120. Доказать, что если функция 7" абсолютно интегрируема на отрезке [-гг;гг], оь ао + ~ (а„сов пх + ди вш пх) о=1 ее ряд Фурье, то для любых точек х' Е [ — л; л] и то б [ — л; и] справедливо равенство о х О е О У(х) 71Х = / аог1Х+ ~~~ ~(а„сових+ довшпх) с7Х. 1 п=Г е~ 121. Проинтегрировав почленно разложение и 2 п=г получить формулу Е сових 1 2 и и — Х Х + и' 4 2 б п=г 122.
Доказать, что если функция 7" имеет на отрезке [ — л;и] не- прерывные производные до порядка Й вЂ” 1 включительно и кусочно непрерывную производную порядка 7с ) 1, причем гчгг( — гг) = гчгг(.г), 7' = 0,1,2, ...,й — 1, то: 1) коэффициенты Фурье функции 7 удовлетворяют неравенствам ]ан]< —, ]д„]< —, пЕИ, где ряд ~ в„, сходится; п=г 2) ряд Фурье функции 7" равномерно и абсолютно сходится на отрезке [ — и;т] к функции 7 и ]7"(х) — Ди(х;1)] < „", — г < х < и, и" где 1шг б„= О. п- ж 123.
Используя результаты задачи 122, оценить коэффициенты Фурье функции 1(х), заданной на отрезке [ — п;7.], если: 1) Х(х) — хго. 2) У(х) — хв ° 3) Х(х) — (Х2 — гг2)10 ° 4) 7(х) = (хг —.гг)япетц 5) 7'(х) = (ха — 772)лв1п 2х; б) 7(т) = (хг — гг)2(сов 52, сов 32,)2 124. Доказать, что если функция 7' имеет на отрезке [ — я; г] не- прерывные производные до порядка Й вЂ” 1 включительно и интегри- руемую по Риману производную порядка д. ) 1, причем ~123(-я) =~1 1(,),, =0.1,...,д-1, ](~ г(х)] < сл, — и < х ( л, у 2е. Тригоноячетричеоиие ряды Фурье то ]Т" [х) — Б„[х, Т)] < Ась „, — л < х < л, где А .--- абсолютная постоянная. У к а з а н и е.
Воспользоваться результатом задачи 122. 125. Доказать, что если функция Т" = и+ ли иьчеет на отрезке [ — л;л] непрерывные производные до порядка Й вЂ” 1 включительно и ТОг[ —.г) = ТО~ [г), д = О, 1, ..., Ь, — 1, кусочно непрерывную производную порядка Ь < 1 и е "Ч Чпе ~(Ь) 'Л ч чгйг жи 'и то сп — сп гГ[2гг) 126. Доказать., что для комплексных коэффициентов Фурье сп 2и-периодической, абсолютно интегрируемой на периоде функции Т" имеют место формулы сп = — / '[Г[х) — Т'[х -~- — )]е ™г1х.
127. Пусть функция Т" абсолютно интегрирусма на отрезке [ — л; л] и удовлетворяет услонию Гельдера степени а, 0 < а < 1, на отрезке [а; Ь] с [ — л", л.], т. е. ]г[хп) — Т[х~)] < с]хи — хг], х~,хг Е [а;Ь]. Доказать, что на любом отрезке [с;г1], а < с < аг < Ь, ряд Фурье функции Г сходится к ней равномерно. 128. Доказать, что если 2и-периодическая, абсолютно интегрируемая на периоде функция имеет на отрезке [а; Ь] ограниченную производную, то на любом отрезке [ей 6], а < гг < Д < Ь, ряд Фурье функции сходится к ней равномерно. 129. Пусть функция Т" абсолютно интегрируема на отрезке [ — л; л] и непрерывна на отрезке [а; Ь] с [ — л;л].
Доказать, что если интеграл где .),*[г) = 1[х+1) +1[х — Ь) — Т[х+ 0) — 1[х — 0), при некотором Б ) 0 сходится равномерно относительно х Е [а; Ь], то ряд Фурье функции сходнтсн к ней равномерно на [а; Ь]. Определение равномерной сходимости интеграла см., например, в [2, с. 122]. 130. Доказать, что если последовательность 1а„) монотонно стремится к куя|о, то рнд оо ао + ~ ап совах: п=г Гл. 5. Функциональные последовательности и ряды 1) сходится на всей числовой оси, кроме, быть может, точек вида х=2кт, тел; 2) при любом б > О сходится равномерно на отрезке [б:2к — б]. 131.
Доказать, что если последовательность 1бо) люнотонно стремится к нулю, то ряд ~ Ьозшпх: п=1 1) сходится на всей числовой оси; 2) при люболл б > О сходится равномерно на отрезке [б;21г — б]. 132. Доказать, что если последовательность 1бн) убывает, то для равномерной сходимости на отрезке [О;2к] ряда ~ Ь„вшах необходимо и достаточно, чтобы 1шк нб„ = О.
и =-1 о, ьо 133. Привести пример тригонометрического ряда, который сходится равномерно на отрезке [-к;к], но не сходится абсолютно во всех точках этого отрезка. и х еьибх ] 134. Доказать, что последовательность Э 1 ограничена б на всей числовой оси. К=-1 135. Доказать, что если последовательность 1Ь,) убывает, а ПОСЛЕдааатЕЛЬНОСтЬ 1а)1о) ОГраНИЧЕНа, та ЧаСтИЧНЫЕ СУММЫ ряда ~ Ьожппх ограничены в совокупности, т. е.
существует такая о=1 постоянная с > О, что для всех х Е [ — к;к] и всех и Е М выполняется неравенство Ьк з1п бх < с. к=к 136. Пусть 1 - непрерывная функция с периодом 2к. Выразить коэффициенты Фурье А„, Вн свертки Г[х) = —, )' У[1)У[х+ Ю) д1 через коэффициенты Фурье а„, Ьо функции 1. 137. Найти выражение коэффициентов Фурье Ао, В, функции Стеклова 11,[х) = — / Я) гй, 6 > О, ежк через коэффициенты Фурье а„, Ь„2к-периодической, абсолютно ин- тегрируемой па периоде функции 1. Э дд. Триганаягетрипеаяие ряды Фурье 475 138. С помощью равенства Парсеваля для функции [1, [х[<о, '(О, о<]х[<70 найти суммы рндов ч ~ эта по ч — и сое по Яг = ~~ и Яз=~ пг 139. Пусть квадрат функции 1 интегрируем на отрезке [ — л;л].
Доказать, .что / (1'(х) — Я ег(х;)'))агах < / ®гг) — Я (х;1)'1)гас, 'и Е г"г'. 140. Доказать, что если все коэффициенты Фурье функции 7" с интегрируемым на отрезке [ — л;л] квадратом равны нулю, то [7(х)[г1х = О. В частности, если при этом функция Т непрерывна, то 7(х) = О на отрезке [-л;и]. В задачах 141 и 142 квадраты функций Т" и д интегрируемы на отрезке [-л", гг]: ао+ ~(ап соапх+ О„зшпх); п=г д по+ ~ (оп соапх+ Дпа1ппх). п=г 141. Доказать, что если ао — †, а, = ап, 6„ = Дю и Е Н, то / ]7(х) — д(х)[г)х = О. — я В частности, если при этом функции г и д непрерывны, то )(х) = = д(х) ца отрезке [ — гг; гг].
1 142. Доказать, что — [ г'(х)д(х) г1х = 2аогго -и ~~~,(аппп + О»гтп). — л п,=г 143. Пусть функции 1 и д имеют интегрируемые квадраты па отрезке [ — л;л]. Доказать, что ряд Фурье произведения Тд функций 7" и д может быть получен почленным перемножением рядов Фурье этих функций. 144. Пусть функция г" непрерывна на отрезке [О;л], имеет производную, квадрат которой интегрируем на этом отрезке, и 7(О) = Рл. 5.
Функциональные последовательности и ряды =,7(к) = О. Доказать, что тогда л л ~И(х))'4 < ~У'(х))24 Найти сумму ряда (146 — 178). 146 ~ сов 71Х 147 ~ в1и ПХ 148 ~ ( Ц и+1 сОв(2п — ЦХ 71! п! п=1 я=1 п=1 149 ~( — Цп"' '. 150. 7 ( — Ц" ' (2п — Ц! л-л (2п)! и=! п=о 151. ~( — Цп,'. 152. 1+~( — Цп п=1 п=1 153. ~( — Ц" .
154. ~( — Ц" и=.! п=.2 155. ~( — Цп, . 156. ~( — Ц" 7 ' сов71х. п=2 п=2 157. ~( — Цп, вшпх. 158. ~( — Цп п=2 п=о 159. 7 ( — Ц" 1 . 160. 7 (и+ Ц(п+ 2) ~ ~ п(пе + ае) ( ц77 в!и пх 162 ц ( цп 1 сов(2п — Цх п(п1 -)- ае) и сов 2х + сов Зх + сов 4х + 1 2 2 3 3 4 164 сов 2х + сов Зх + сов 4х + 1 2 3 2 3 4 3 4 5 сов2х + 1 3 сов4х совбх и — л в)п(2п — Цх 3.5 5.7 "' л. (2п Цв п=1 сов Ох сов 7х 1 т ( )и ! сов(271 — Цх 3 5.7 5 7 9 ~-' 2п — 1 сов Зх 1 3 о 145.
Пусть функция 7' непрерывна на отрезке ( — к; и], имеет производную, квадрат которой интегрируем на этом отрезке, 7(-к) = = 7"(я) и / 7'(х) с(х = О. Доказать, что тогда л л /' Ях))24х < ~ У'(х))24Х. 4 23. Тригонометрические ряды Фурее 477 ! яп(2п — 1)х 176 ~-ч( 1)п ! сов(2п — 1)х 2« — 1 (2п — 1)2п п=! п=! 1 сояЗх 1 3 соя5х 1 3 5 соя7х 171. соях+ — + + + ... 1 япЗх 1 3 яп5х 172.
яшх+ — +— 2 3 2 4 5 сочх 1 сояЗх 1 3 сов5х 1 3 5 соя 7х 12234245624678 япх 1 япЗх 1 3 соя5х 1 2 2 3 4 2 4 5 6 ео ое 175. ~ ~— ' сояи,х, ~а~ < 1. 176. ~~ и,=! п=! яп 7и'! ягп пх О гГ «=-! оо и 178 ~( 1)п — ! т Яп пх ~т~ < 1 и=! ОТВЕТЫ 1 1 3 1 1. 1) — — — сов 2х; 2) — соя х + — сов Зх; 2 2 ' 4 4 3 1 1 3) — — — соя 2х + — сов 4х; 8 2 8 3 1 3 1 3 4) — — — сов 4х + — сов 6х + — сов 8х — — сов 1 0х; 256 64 512 256 512 35 7 1 5 .
5 1 5) — + — сов 4х + — соя 8х; 6) — яп х — — вш Зх + — яп 5х. 64 16 64 ' 8 16 16 2. Совпадает с Т„(х). / 3 / 1 пх 2+т . кх1 / 1 2«х 3. 1!1 — + ( — —, сов — + —,, вш — 7! + ( — —,, соя —— '116 (, - ' 1 2- 1,) 1, 2- 4. х=2~ ( 1)пмч, к<х<к; О. п п=! 5. 7"(х) = — + — ~ ~, О < ~х~ < л", 1 2 яп(2п — Цх 1 2 к 2«,— 1 ' ' 2 и=! п=е 7.
Х(. ) = —" ~ "п(2п+ 1)'. О < ~х~ <,; О. т 2и+1 п=о Гл, 5. Фуннциональньге иеследоеапгельнеепггг и ряды 8. ((х) = ег + 2 ~~~ ( — 1)" ' ', — г < х < ег; и. и п=.1 гг 4 т соя(2п+ Цх 9. )х(= —, — — 1, — гг<х<гг; гг. 2 гг (2п -~- Це . Х(Х) = —, — ~ (( — (- )и) '"'",* (- )"" п*), п=1 — гг < х < гг; гг,г2 11. Дх) = — — 5 ~ ~((1 — ( — 1)п) ь + ( — Цп ), и=1 — гг < х < гг; 5ег/2 4 в — ь вьп(2п — Цх в- ( — Ц" ег 12. ягдпге = — ~ п=о .4 2А в — и 1 . 2п — 1 18. — '+ — 1 Вш ггх.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
