1610915390-52cbd25d82d9110658c00fb8dfb6bccc (824753), страница 67
Текст из файла (страница 67)
Доказать, что ряд Фурье конечной линейной комбинации 2з.-периодических, абсолютно интегрируемых на периоде функций ра- вен такой же линейной комбинации рядов Фурье заданных функций. 76. Пусть 7" 2п-периодическая функция, абсолютно интегри- руемая на периоде. Доказать, что если а„*, Ь„коэффициенты Фурье функции 7~(х) = 7'(х+ Ь), а а„, Ьи -- коэффициенты Фурье функции 7, то ао = оо, и„* = а„соя пЬ + Ь„ягп п11, Ь"„= Ь„соя ай — а„ягп пЬ. В задачах 77 — 79 7" = и+1и 2п-периодическая функция, абсолютно интегрируемая на периоде и 7 ~ с„еч"'.
Гл. 5. Функциональные последовательности и ряды 466 77. Доказать, что 1'[х+ о) ~~г [г. егп )е'пл, а Е Й. и= — сс 78. Доказать, что если Ь Е л, то 1[х)е'1" ~ сп ье.'и', 79. Доказать, что г" ~~г с пе'и'. 80. Пусть функции 1 и д 2к-периодические, [г'[з и [д[з интегри- руемы [в несобственном смысле) на отрезке [ — к; и], лл ~ шл ~ ал гол и= — с гг= — сс Доказать, что тогда произведение 1д является 2к-периодической, абсолютно интегрируемой на периоде функцией,и если д д ~ ~Иггегп"'г та Йгг = ~ ~сгп,й, 81.
Доказать, что 1 1 к егп2пкл [ х — [х] Длн неЦелых х, 2 к ~л 'гг ] 112 длн целых х. п=1 Указание. Воспользоваться разложением [12) в примере 3, 82. Доказать, что длп любого х е Я, х ф кт, т е Е, выполняется равенство 1)п) 1 + егпх х ~-' гх — кх х+.гх) и — 1 Указание. Воспользоваться результатом задачи 23. 83. Доказать, что если функция 1 непрерывно дифференцируема на отрезке [х;х+ к], то со л.1-л 1[х+ к) — 1[х) = — — ~ ~/ 1[1) сов [[2и+ 1)[1 — х)) г11 п=о:г [ Стеклов). 84. Пусть ап, Ьп коэффициенты Фурье функции, равной ел на интервале ( — к;к). Найти сумму ряда [азпь, соа [211 + 1) х + Ьгпжг згп [2и + 1)х) п=о при х Е [ — гг;гг).
85. Доказать, что коэффициенты Фурье а„, Ьп абсолютно интегрируемой на отрезке [ — к; к] функции стреыгятсн к нулю при п — 1 со [Раман). а 22. Тригонометрические ряды Фурье 86. Доказать, что ядро Дирихлс Р„является четной нопрерывной 2я-периодической функцией, Р„(0) = п+ 1с2, — / Р„(С) гСС = 1 и при С ф 2агц й е л, имеет место равенство еСа(а б- 11'2)С 2 ьш(С,С2) 87. Доказать, что если Т' - 2л-периодическая, абсолютно интегрируемая на периоде функция и Я„(х) ее сумма Фурье порядка и, то; 1) Б„(х) = -~Р„(С)(~( +С)+ 1(. — С))дС; а 2) для любого 6 Е (О;л) и любого х Е й имеет место асимптотическое равенство б Яа(х) = — ~Ра(С)Ц(х+ С) + б'(х — С)) с(С+ о(1), и -б оо.
а 88. Доказать, что если 1 2л-периодическая, абсолютно интегрируелбая на периоде функция, то существование и значение предела последовательности ее сумм Фурье Яа(х) в каждой точке ха Е 12 зависит только от существования и значения предела при п — б оо интеграла о где б -- сколь угодно малое пологкительное число (это утверждение называется принципом лок лизации рядов Фурье).
89. Пусть Г" 2л-периодическая функция, абсолютно интегрируемая на периоде. Доказать, что если ха является точкой непрерывности или точкой разрыва первого рода и при некотором б ) 0 сходится интеграл ' ~Х.*.(СН „, С а где ~.,*(С) = 1'(х+ С) +1(х — С) — 1"(х+ 0) — 1"(х — 0), то рнд Фурье функции 1 в точке ха сходится к значению )'(хь Ь О) + ~(хг — О) 2 (признак Дини). 90.
Доказать, что если с — 2л-периодическая, абсолютно интегрируемая на периоде функция, а в точке х Е СС существуют предельные значения 1(х+0), Т(х — 0) и односторонние производцью Гл. 5. Функциональные последовательности и ряды .(н(х), )' (х), то ряд Фурье функции л" сходится в этой точке к значе- У(х -ь О) + 1(х — О) нию 2 91.
Функция г", определенная в некоторой окрестности сс точки х, называется удовлетворяющей условию Гельдера степени о > 0 в этой точке, если существуют односторонние пределы 1(х+ 0), 1(х— — 0) н такая постояннан с > О, что для всех Ь > О, для которых х+ Ь е о" и х — 6 б сГ, выполняются неравенства ~Д(х+ 6) — ~(х+ 0)~ < сЬ", ~Ы'(х — 6) — д"(х — 0)~ < сЬ". Доказать, что если 2я-периодическая, абсолютно интегрируемая на периоде функция 1 удовлетворяет в точке х условию Гельдера степени сь > О, то ее рнд Фурье сходитсн в этой точке и его сумма равна Пх ц-О) н йх-О) 92.
Доказать, что если 2к-периодическая, абсолютно интегрируемая на периоде функция имеет в окрестности данной точки ограниченнуко производную., то ряд Фурье функции сходится в этой точке к значению функции. 93. Доказать, что ядро Фейера Фо является четной непрерывной 2л-периодической функцией, к и()="2', —.'~ .(1) = и при 1 у'= 2к6, 6 е л, имеет место равенство сйп ((п+ 1)Г/2) 2(н+ Ц е1п'Я2) 94. Доказать, что ядро Фейера Ф„для любого б > О удовлетворяет условию 11пт шах Фп(1) = О. о — ьсо З<)0<я 95.
Доказать: если функция непрерывна на отрезке ( — к; к) и принимает на его концах равные значения, то последовательность ее сумм Фейера равномерно сходится на этом отрезке к рассматриваемой функции. 96. Доказать, что если г' 2к-периодическая, абсолютно интегрируемая на периоде функция, имеющая в точке х пределы слева и справа 1(х х 0), то (см. обозначения (18)) т"(х Ц- О) -1- 1'(х — О) и-ьсс 2 97. Доказать, что если 2я-периодическая, абсолютно интегрируемая на периоде функция 1 непрерывна в точке х и ряд Фурье функции 1 сходится в этой точке, то его сумма равна 1(х).
9 22. 7ригенемегирииеение ряды Фурье 469 98. Доказать, что если функция 7' непрерывна на отрезке [ — я; я) и 7'[ — л) = 7'(я), то для любого и > О существует тригонометрический многочлен и Т[х) = Ао+ ~[Аьсовйх+ Ве янах) у=1 такой, что для всех х Е [ — я;я) выполняется неравенство [7[х)— — Т[х)[ < гг [Вейерштрасс). 99. Доказать, что для функции е[х; г) [см. [21)) имеет место формула л е[х; г) = — / 7'[1), ггг 2я 7 1 — 2г сое(~ — х) + гг [Пуассон). 100. Доказать, что осли 2я-периодическая, абсолютно интегрируемая на периоде функция 7" имеет в точке х пределы слева и справа 1 [х х О), то 1пп е[х; г) = 1пп — 1' 7" [4), г11 = г-гг — о ' г — 11 — о 2л 7 1 — 2г сое(à — х) 4- ге — л 71х + О) + Т[х — О) 2 т.
е. ряд Фурье функции 7" суммируем методом Пуассона — Абеля к значению 2 101. Доказать, что если 7" — 2я-периодическая, непрерывная функ- ция, то е[х1г) равномерно стремится на всей числовой оси к функ- ции ~ при г -г 1 — О. 102. Доказать, что: 4 л еги(2п — Цх 1) яяпх — л<х< я; .г 211 — 1 п=1 2) частичные суммы Яп(х) ряда Фурье функции яяпх имеют мак- симум при хп лл яЯ2п) и 1пп Пп[х„) = — г' их > 1.
и — геп гг/ х о 103. Доказать, что для любой функции 7" вида 7(х) — д[х) 4- г;е18п [х — хо), — л ~ ~х ~ гг, где постоянная с р': О, [хо[ < я, д непрерывно дифферепцируемая на отрезке [ — гг; я) функция, в точке х = хо имеет место явление Тиббса: если 5„(х) сумма Фурье порядка и функции 7", то либо 11щ Я„[х) < ~[хо — 0) < ~[хо+0) < 11пг Б [х), ° — гле — О л — гле-го либо 1пп Яп[х) > ~[хо — 0) )~ 1[хо + О) > 1пп Пгг[х). л-гле — О л- ле-го 470 Гл. 5.
Функциональные последовательности и ряды 104. Функция Р„1х) = эшх+ эш2х+ ... + з1ппх называется сопряженным ядроль Дирихле. Доказать, что: — соз1х/2) — соэ1п~ Ч- х/2) х 2 з1п1х/2) 2) ]Р„(х)] < —, ]Р„(х)] < —, О < ]х] < к. 2]х] ' ]х] ' 1 г 105. Числа Хо = — / ]Ро1ь)]гХЬ называются константами Лвбвга. Доказать, что: 1) А„= — Хо+ 011), п э оо, где,«„= « — <Ы:, и у о 2) Х,„— л 1пп, п ь оо. кг 106. Рядолц сопряжвнныль к тригонометрическому ряду 11), назы- вается ряд 1 — Ьо совах + а„з1п пз,). о=1 Пусть ряд 11) является рядом Фурье функции «. Доказать, что в этом случае частичные суммы 3,1х; «) сопряженного ряда могут быть записаны в виде 5„(х; «) = — — ~ «(1) Р„(1 — х) Ж, где Ро/х) определена в задаче 104.
107. Доказать, что если «интегрируемая по Римапу па отрезке [-и;и] функция и, следовательно, существует такая постоннная М > > О, что для всех х Е ( — и;л] выполняетсн неравенство ]«1х)] < ЛХ, то ]Бо1х; «)] ( сЛХ 1пп, ]Яо1х: «)] < сМ ( и, ]х] < х, где с некоторая абсолютная постоянная. 108. Пусть «2л-периодическая, абсолютно интегрируемая на периоде функция и л -(~; ) = -.
Г]«(х+ ) - (*)] * о<~ц<л (функция ьо]0; «) называется интвгральнььм льодулвлл непрерывнос- ти функции «). Доказать, что для комплексных коэффициентов Фурье сн функции «выполняются неравенства ]со] < — ьо] —,«), и = х1,х2, ... 4к хп' 109. В предположениях предыдущей задачи доказать, что для коэффициентов Фурье а„и Ь„функции «, принимающей только действительные значения, выполняются неравенства ]ао] < — ол( —;«), ]Ь„] ( — ьо( —;«), и Е И. Г 92. Тригонометрические ряды Фурье 47! 110.
Доказать, что если тригонометрический ряд сходится равномерно, то оп является рядом Фурье своей суммы. 111. Являются ли нижеследующие тригонометрические ряды рядами Фурье: 1) ~ """,*: 2) ~ "',"'; З) ~ ' "'."*, >1:, 4) ~Ы и=1 и=! и=1 и=! 112. Разложить в ряд Фурье функцию )'(х) = / 1п )( с1д — 111, — 77 < х < к. / 7 2 о 113. Доказать, что если тригонометрический ряд имеет подпоследовательность частичных сумм, равномерно сходяшук!ся на отрезке [ — к; к] к некоторой функции, то этот ряд является ее рядом Фурье.
114. Доказать, что если непрерывная кусочно гладкая на отрезке [ — к;з.] функция Т" принимает на его концах равные значения, то ее ряд Фурье сходится к ней абсолютно и равномерно на отрезке [ — х; к]. 115. Не вычисляя коэффициенты ряда Фурье на ( — к; к) функции Т(и) = кж — к]т], выяснить, сходится ли этот ряд равномерно. Построить графики сума!, продифференцированного и дважды продиффсренцированпого рядов. 116.
Исходя из разложения 1)о-1-1 * 71 < и < 7! и и=1 получить почленным интегрированием разложения в рлд Фурье функций х'-', зз и х~. 117. Доказать, что тригонометрический ряд Е сое ик йчи является, а ряд Е1П ПЕ Е' 1пп и=ге пе является рядом Фурье.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
