1610915390-52cbd25d82d9110658c00fb8dfb6bccc (824753), страница 70
Текст из файла (страница 70)
1и(1 ус: . 1) 1 14. Найти асимптотический ряд для функции 1(х) = е ", х > О. Установить следующие асимптотические разложения при х — «+со (15 — 16) е — гс 1 ~~ ~4 15. /,Ж вЂ” — — '+ —, — ... / 1 Ьгг х хг Егн г сг 1 1 1 3 16./е*'й — —,,+ 2х 2г ха 2гхь 17. Доказать, что если ряд (1) сходится к некоторой функ- ции, то он является и асимптотическим разложением этой функции при х -+ +со. 18. Доказать, что для того, чтобы ряд (1) являлся асимптотичес- ким рядом при х — ь +со для функции 1, необходимо и достаточно, чтобы т"(х) — Яп(х) = О( — „, ), х -ь +со, о Е М, где 5„(х) частичная сумма ряда (1). 19.
Доказать, что если л.) - ~ —;"„, (10) п=а то для любых чисел Л и р имеет место Л1(х) + рд(х) ~ ' пр, х ь +со. п=о 223. Асинптети «вские представления функций 487 х -« +ос, где си = ~ ~аеЬО си т=о п=о 21. Доказать, что если 7п(х) « — ", х — «+со, и ао ~ О, то ,и' п=о функция 1««1(х) также имеет асимптотическое разложение 1 1 ч-~ йп — + ~ —.", у, -«+со, 7(х) ае хе и=! где коэффициент !7п, и Е И, этого разложения выражается через ко- ЭффИЦИЕПтЫ ав, а«, ..., ап, 22.
Доказать: если функция 7" непрерывна при х > а > О и име- ет асимптотическое разложение, начинающееся с члена порядка 1/х2 ! 2с ссх) - ~ —",,, х — «+ос, п«2 то /'~ф41-~ е п=2 т. е. в указанном случае асимптотический ряд можно почленно интегрировать. 23. Доказать, что если функция 1 раскладывается в асимптотический ряд 7п(х) ~ — „, х — «оо, (11) п=в и если она имеет при х > а непрерывную производную, которая также раскладывается при х — «+ос в асимптотический ряд, то этот ряд получается формальным почленным дифференцированием ряда (11)! У'(х)--~ "„',",, х-«+ и=! 24.
Доказать; если функция 7" имеет асимптотическое разложение (1) без свободного члена (ао — — О), то его можно формально по- тепцнраеатЬ, т. О, аСИМПтОтИЧЕСКОЕ раЗЛОжЕНИЕ фуНКцнн Е2!е« Прн х -« +со можно получить, если в ряде е~!е« = э п п=в заменить функцию 1 ее асимптотическим разложением (1), формально произвести возведение в степень и объединить подобные члены.
20. Доказать, что если ния (9), то Пх)йх) - ~ — "„, имеют место асимптотичсскис разложе- Рл. оч Фуннииональньье последовательности и рядьь 25. Найти асимптотическое разложение (Ц для функции г'(х) = = е 'з1пе*, х — ~ +со, и доказать, что производная 1'(х) не раскладывается в степенной асимптотический ряд при х — ~ +оо.
26. Найти асимптотическое разложение (Ц при х ь +со для функции ь Р(х)=~ ', О<с<1. А=о 27. Доказать, что следующие последовательности являются асимптотическими (последовательность (оп) строго возрастает): Ц ((х — хо)"), хьха; 2) (1/х"), х->+со; 3) (1/х "), х — ь +ос: 4) (х '"),. х — э О; 5) (1по х), х>1, х-++со; 6) (х "е '), х — >+ос. 28. Доказать, что если (ьоп(х)) . асимптотическая при х ь хо последовательность, то для того, чтобы ряд (5) являлся асимптотическим разложением функции )' при х — > хо, необходимо и достаточно, чтобы ф(т) — Я„(х) = 0(~р„ег(х)), х ь ха, п.
= 0,1,2,... 29. Доказать, что если соп(х) ф О при х ф хо, и = О, 1, ..., а раскладывается при х — ~ хо в асимптотический ряд (5), то его коэффициенты последовательно определяются по формулам п — 1 1 -= Ра ЯЕ, ч= » (Яо-г.. ЕН)).
е — ь*ь ' е †е Ьоа(х) 1 а=а 30. Разложить при х — ь +со в асимптотический ряд функцию и Р(х;о) = / — „дг, х > О, о > О. 1 /а 11 Доказать, что действительной и мнимой частью интеграла — Е(х-; — ) 2 (, '2) являются неполные интегралы френеля -~-се Е со соз1 Й, / з1п1 Й. 31. Найти асимптотическое разложение неполной гамма-функции -~-со Г(е;х) = ~ 1' ~е 'е(1, х > О. ОТВЕТЫ 3 7.
— 1пх, 14. Все члены асимптотического ряда равны нулю. 8 25. Все члены асимптотического ряда функции 1 равны нулю. хх4. Беенонечные произведения 489 зе'х ч-» о1о + 1)...1о + и — Ц .и 11х) и п=О и ж 1) 2О. „= 1-1)"-1~ 'й"-'сь. 1=.1 31. е 'х' (е — 1)(ч — 2)...(е— Е хп п=.о 2 24. Бесконечные произведения СПРАВОЧНЫЕ СВЕДЕНИЯ Пусть задана числовая последовательность (рп), .и пусть П Ря' Я=1 то его называют беснонечнылз произведениелч членов последовательности (Рп) и обозначают П Р или Рзрз."Рп" п,=1 Таким образом, П =." '=,!.' П' (2) п=1 1=1 Если предел (1) конечен и не равен нулю, то говорят, что бесконечное произведение П рп сходится; в противном случае (в частности,.
п=1 когда предел (Ц не существует) говорят, что оно расходится. Если предел 11) равен нул1о, то говорят, что бесконечное произведение П р„ расходится к нулю. о=1 Сходимость бесконечного произведения (2) положительных сомножителей р, > О, и е И, тесно связана со сходимостью ряда 1п рп, (В) п,=1 получающегося формальным логарифмированием данного бесконечного произведения. Бесконечное произведение Прп Р >О, пЕИ, п=1 Тогда если существует конечный или определенного знака бесконечный предел 1пп Р„„ (1) и- ск Рл.
5. Функциональные последовательности и ряды 490 со 2 -"*= П(1- —.„*.) (4) п=1 ПРИМЕРЫ С РЕШЕНИЯМИ При мер1. Найти П(1+ х и), п=о а Поскольку в данном случае Рп = (1+х)...(1+хан)2 то (1 — х)Рп = (1 — хз)(1+ т2)...(1+ хзп) = ... = 1 — хзп 1. Поэтому 2п,! 1 — х и если ~х~ < 1, то 2п < < П('+.Оп) =."" а если ~х~ > 1, х у'= 12 то СЮ ,2п-,1 П(.х")=1- '-, ',. =.- п=е При х = 1 получим 2. 2...2... =+со. Таким образом, П«2 пп'<=( "" +со, ~х~ > 1.
п=-О Пример 2. Доказать формулу Виллиса 2< ТТ 4<В 2 л.ь 4пе 1' (б) а Проинтегрировав неравенство я<пз"~~ т, < я<в~" х «бпзп 1 т. от 0 до л/2, получим п,<2 пр2 и<'2 а<п " х<4х ( / э<п "х<1х ( / щп и х<1х, О о О и поскольку (слл. задачу 208 2 6) 2< <2 2пе1 1 <еп)й <2п ц-1)й ' о называется абсолютно сходящилщя, если абсолютно сходится ряд (3). Примером бесконечного произведения является следующее представление синуса в произвольной точке х: Гл. 5. Функциональные последовательности и ряды 9. Ц соз —,', е=1 Ц ,„" п=1 16.
Ц Ь— Ечи Х х п=1 2х з з 1 31!+ 1 12. Доказать, что если бесконечное произведение Ц рп сходится, п=1 то сходятся и асе его остаточные произведения Ц р„„ и Е Й, и если т=п сходится хотя бы одно остаточное произведение Ц рт и рл ~ О, ш=п 1! = 1,2,...,п — 1, то сходится и бесконечное произнедение Ц рп. п=.1 13. Доказать, что если бесконечное произведение Ц р„ сходится, то 1пп рп, = 1.
и=-1 и — !се 14. Доказать: если бесконечное произведение Ц р„ сходится и п.=1 1д, = Ц Рпо то 1~и Я„= 1. пь=п-1-1 15. Доказать, что если бесконечное произведение сходится, то, начиная с некоторого номера, асе его сомножители имеют один и тот же знак. 17. Следует ли из сходимости бесконечных произведений Ц р„ Оп =1 и Ц Чп, Рп > О, Чп > О, п 6 !ч, сходимость пРоизведений: и=-1 П(Рп+Чп1' 21 Ц1Рп Чп1' З1 ЦРпйп; ~1 Ц и=-! п.=1 и=! и=-1 Чп 18.
Доказать: если для всех п и„ф — 1 и для всех п, .начиная с некоторого, выполняется неравенство ип > О (или ип < О), то для сходимости бесконечного произведения Ц (1 + и„); о=1 16. Доказать, что для того, чтобы бесконечное произведение Ц рп, п=1 р„ > О, и Е И, сходилось, необходимо и достаточно, чтобы сходился ряд ~ 1прп, и что при выполнении етого условия п=1 се ье Ц -= ' "" '=Е'"рп=1 п=1 Гл. 5. Функциональные иоследоеательности и ряды 27.
Доказать, что для того, чтобы бесконечное произведение Пп: и рп., рп > О, и Е Л1, сходилось, необходимо и достаточно, чтобы п=1 ДлЯ любого е > О нашлось такое по, что ДлЯ всех и > по и всех 1е > 0 выполнялось неравенство и И П т-'<' т=п 28. Доказать, что для абсолютной сходимости бесконечного произведения П(1+ и„), где и„ф — 1 для всех и, необходимо и достая=1 точно, чтобы абсолютно сходился ряд ~ ип.
п,=1 1/и е 29. Доказать, что П = е, где С' --. постоянная Эйлера: 1Ф12о п=1 (" с= ь ~~--~ ). и — ьос1 й Л=-1 30. Доказать, что если Р(к) — полный эллиптический интеграл 1-го рода (см. задачи 230 и 231 у 6), то 31. Найти П е 32. Выяснить, сходится или расходится бесконечное произведение п.—.-е и можно ли говорить о его значении. Доказать сходимость и найти следующие бесконечные произведе ния (33 †3. 33, 34 11 12 (и+ 2) /' ' лл- (2п+ ЗН2п + о1 ТТ ' 34. Ц 11+ п=з п=1 п=1 36.П '"'", >" 1 37. Доказать, что П (1 — — ) = О, 0 < л < 1. ') п=и 2 Б4. Бесконечные произведения Исследовать сходимость следующих бесконечных произведений 138 †). зз. Ц ,' , . зо. Ц ~" + "~) .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
