1610915390-52cbd25d82d9110658c00fb8dfb6bccc (824753), страница 66
Текст из файла (страница 66)
а е ы и и=1 Пример 12. Пусть квадрат функции 7 интегрируем на отрезке (-я;я). Доказать равенство е е п / (Г(х) — 5„(х; язг7х = / Гз(х) агх — г(2а~~ + ~(а~~ + 6~~)). (4ц — е — е ь=г Гл. Гс Функциональные последовательности и ряды а Возведя в квадрат подьштегральное выражение в левой части равенства и интегрируя его, получим л (',1'(х) 11х = О, (43) о то справедливо равенство ~ ( 1(х))' 1х < ~ ('(х))' 1х (44) о о А В силу условия (43) разложение функции 1 по косинусам на отрезке (О;л) имеет вид ~~ а„соапх (т. е. ао = 0), поэтому 1'(х) СЮ л=1 пап вшпл, Поскольку аз ( пзаз„ и Е рл, то из равенства Пар--Е п=1 севаля длн функций г и Г"' -' ~ У(х))'дх = ~а„,.
о п=1 л сю — / (1 (х)) 11х лл ~ и а„, о п=1 / (1(х) — о' (х; 1)) г1х = — л л 2 = / (1 (х) — (ао + у (а 1, сов Ьх + Ь1, .аш Йх) ) ) Йх = = /,Г' (х) 11х + гг(2ао + ~(ае + Ьг))— — л У=1 л и л л — 2(ао ( гл(х) 11х+ ~~1 (ан~,г'(х) сов Ьхг1х+ Ьу ~Д(х) агпЬхг1х)) = л и и / 12(х) Их+ к(2а~~+ ~~~ (ау+ Ь~е)) — 2к(2а~о+ ~2 (а~у + Ь21)) = 1=1 1=1 л и = / г~(х) г1х — гг(2а„+ Я (ау+ Ь1)). А Ь вЂ”.1 Из формул (2б) и (41) следует, что для любой функции, квадрат которой интегрируем на отрезке ( — к; л), ряд Фурье этой функции с2годится к ней в смысле среднего квадратичного на этом отрезке, т.
е. 1пп / (Г" (х) — Я„(х; д))211х = О. (42) Пример 13. Пусть функция 1 непрерывна на отрезке (О;гг) и имеет производную, квадрат которой интегрируелг на этом отрезке. Доказать: если Гл. д. Функциональные иоеледоеательноети и ряды 460 Откуда сразу находится сумма ряда (45): Е сонях / . хи = — !гг (2 яш — ), О < х < 2и.
а и (, 2)' о=1 Заметилг, что заодно мы доказали, что и 2 ЗАДАЧИ 1. Разложить в ряд Фурье функцию: Ц яш х; 2) созе х; 3) агп х; 4) аше х созе х; 5) айпи х + соаз х; 6) гйп х. 2. Каков будет ряд Фурье для тригонометрического полинома п То(х) = ао+ ~1 (иусоайх+ Ьуашйх)Г ь=г 3. Найти частичную сумму Яз(х;1) ряда Фурье функции О, — 1<х<0, ((х) = х, О < х < (гг2, 1,Г2, г,г'2 <х <1, периодически продолженной с периодом 20 Разложить в ряд Фурье функцию г'(х), указать промежутки, в которых сумма ряда Фурье равна функции г(х), и найти сумму ряда в указанной точке хо (4-11). 4.
Д(х) = х, — я < х < гг, хо = я. ( о, — < о; 8. У(х) = 1 ~' 0 - * - : х, = О '( — я/4, — гг<х<О; 8. У(х) = я + х, — я < х < гг, хо = гг. О.,г'(х) = ~х~, — я <, х < я, хо = гг. 1 О г ( ) ) О Я < х < О о„,. Зх 0 <х< и. «Г 2р.
Тригонолегиричеение ряды Фурье 12. Разлолгить в ряд Фурье функцию Г" (х) = а«пих, — я < х < я, и, пользуясь полученным разложением, найти сумму ряда Лейбница С= (-1)" ~-~ 2п ж 1 о=о Разложить в ряд Фурье функцию г" (х) на указанном промежутке, длина промежутка является периодом (13-26).
А, 0 <х< 1, 13. Г(х) = А,г'2, х = 1, на интервале (0,2(). О, Р<х<21, 14. «(х) = [х[ на отрезке [ — 1; Ц. (ах, — к <х< 0, 15.,((х) = ~ Ь О < ««а и««тервале (-я,я) '(йх, 0<х<гг, 16. «е(х) = г, ~ ' «2 < < 3 «2 ' на интервале ( — яг«2,3яг«2). 17. Г"(х) = х+ айпи на интервале ( — я,гг). 18. «"(х) = гга — ха на интервале ( — гг;я). 19. г"(х) = хз на интервале ( — гг;гг). 20. г" (х) = е", а ф О, на интервале ( — л-., гг).
21, д(х) = е-'~'~ на интервале ( — гг;гг). 22. Г'(х) = з«пах, а Е х на интервале ( — хин). 23. Т"(х) = совах, а «р Е на отрезке [ — я;я[. Доказать с помощью получившегося разложения, что сгдх = — + ~ и=« 24. Т(х) = х вшх на отрезке ~[ — т; я[. 25. Г(х) = х созх на отрезке [ — яг«2; я,«2[. О, -г<х<0, 26. Г(х) = . ' ' на отрезке [ — гг,я[. ( з«п х, О < х < гг, 27. Разложить в ряд Фурье периодическую с периодом 2 функ- цию Т', если Г'(х) = х, х Е (1:3). Нарисовать график суммы ряда.
28. Разложить в ряд Фурье функц«ио Т" (х) = хз, — 1 < х < 1, пе- риодически продолженную с периодом 2. Нарисовать график суммы ряда. 29. Разложить в ряд Фурье функцию х, 0<х<1, Дх)= 1, 1<х<2, 3 — х, 2<х<3, периодически продолженную на всю числовую ось с периодом 3. На- рисовать график суммы ряда. Рл.
5. Функциональные последовательности и ряды 30. Разложить в ряд Фурье функцию Г(х) = я — 2х, 0 < х < гг, продолжив ее на отрезок [ — л; 0)1 1) четным образом; 2) нечетным образом. Нарисовать в обоих случаях график суммы ряда. 31. Разложить в ряд Фурье функцию г"(х), заданную на отрезке [О;я] и продолженную на отрезок [ — л;О) четным образом. Нарисовать график суммы ряда: Разложить в ряд Фурье периодическую функцияю (32 39). 32. у'(х) = згяп(созх). 33. у"(х) = агсзш(созх).
34. Д(х) = агсагп(згпх). 35. 1(х) = х — [х). 36. 1(х) = (х) расстояние от х до ближайшего целого числа. 37. 1(х) = [созх[. 38. 1(х) = [зшх[. 39. г(х) = [соз(х/2)[. 40. Разложить функцию г(х) = х, О < х < я, в ряд Фурье по ко- синусам. 41. Разложить функцию Д(х) = сов 2х, 0 < х < я., в ряд Фурье по синусам. 42. Разложить в ряд Фурье на (О,я) по косинусам функцию яГг2 — х, О < х < ягг2, О, я,Г2 < х < гг. 43. Разложить в ряд Фурье на интервале (О; я) по синусам функ- цию / зшх, 0 < х < ягг2, '( О, нгг2<х<т. 44. Разложить функцию х, 0<х<1, '(2 — х, 1 <х <2, в ряд Фурье по косинусам на отрезке [О; 2).
45. Разложить функцию 1(х) = хл в ряд Фурье: Ц на отрезке [ — гг; к) по косинусам; 2) на интервале (О;к) по синусам; 3) па интервале (О; 2 г) по синусам и косинусам. Пользуясь этими разложениями, найти сунгмы рядов — 8з=~ ' ',, Яз=~ =1 п,=1 н=1 46. Разложить в ряд Фурье функцию г'(х) = х — хз,Г2, 0 < х < 1: 1) по косинусам: 2) по синусам.
4 хх. 7ригоноягетри геенне ряды Фурье 47. Разложить в ряд Фурье по синусам функцию 7(х) = х ейпх, 0 < х < л. е го Зх — бях -~- 2я я — ~ сое вх 48. Доказать, что ' ' = ху ',, 0 < х < я. 12 пй и.=. г Указание. Воспользоваться результатами задач 40 и 45. 49. Разложить в ряд Фурье по косинусам функцию 7"(х) = е па интервале (О;1п2). 50. Разложить в ряд Фурье по синусам функцию ) 1, 0<х<х~2, ( О, л,72 < х < я.
51. Разложить в рнд Фурье по синусам функцию х, 0<х<1, ~2 — х, 1<х<2. 52. Разложить функцию 7"(х) = еи', 0 < х < я: 1) в ряд Фурье по косинусам; 2) в ряд Фурье по синусам. 53. Разложить функцию 7"(х) = з1пах, 0 < х < я, в ряд Фурье по косинусам. 54. Разложить в ряд Фурье по косинусам функцию )1, 0<х<а, (О, а<х<я. 55. Разложить в ряд Фурье по косинусам функцию )( 1 — хгг2а, 0 < х < 2а, О, 2а<х<л. 56. Доказать, что п=г 0 < х < я.
57. Найти ряд Фурье в комплексной форме функции 1, 0<х<л, — 1, я<х<2л. 58. Разложить в ряд Фурье в комплексной форме периодическую с периодом 2л функцию г"(х) = е', — я < х < я, г" (я) = сйя. 59. Разложить в ряд Фурье в комплексной форме периодическую с периодом 3 функцию Гл. 5. Функциональные последовательности и ряды 60.
Разложить в ряд Фурье с помощью комплексной формы ряда Фурье функцию: 61. Разложить в ряд Фурье неограниченную периодическию функцию: 1) ~(х) =1п] в|п(х/2)[; 2) ~(х) = 1п Ц(х)2)[. 62. Использовав разложение функции г'(х) = х в ряд Фурье (см. задачу 4), доказать, что: 1 в ( — 1)" соь нх 1) х япх = 1 — — сов х — 2 лт л, ', — г < х < к; 2 п=2 1 . в ( — 1) п винах 2) х совх = — — в|их+ 2~,, — к < х < л. 2 п=2 63.
Использовав разложение функции 1п [ — 2 сов(х/2)] в рнд Фурье (см. пример 6), доказать, что: х1 1, в ( — 1)п 1) вшх 1п(2 сов — ) = — япх+ лтл ь яппх., — |г < т, < -г; 2) 4 ' пе 1 п=2 хт 1 1 . ( — Цп 2) совх 1п [2 сов — ') = — — — совх+~, совггх, — л<х <л. 2) 2 4 пе — 1 п=в 64.
Доказать, что если абсолютно интегрируемая на отрезке [ — к; л] функция ) удовлетворяет условию: 1) л'(х + л) = л'(х), то ав„ | = Ь| | — О, п, 6 И; 2) 2'(х + л) = -2'(х)., то ао = О, алп = Ьлп = О, п 6 И. 65. Доказать, что если абсолютно интсгрируеьлан на отрезке [О; |г] функции 1 удовлетворяет условию р" (л — х) = 1(х), то ее коэффициенты Фурье обладают следующими свойствами; 1) при разложении г" в ряд Фурье по косинусах| а2„| = О, и 6 И, 2) при разложении г" н ряд Фурье по синусам Ьл„= О, и е И.
66. Как следует продолжить абсолютно интегрируех|ую на отрезке [О;лгг2] функцию па отрезок [ — л;л], чтобы се ряд Фурье имел вид оп г о в(2п — 1) хГ 67. Как следует продолжить абсолютно интегрируемую на отрезке [О; л/2] функцию па отрезок [ — л; л]г чтобы ее ряд Фурье имел вид ~ Ьп вш(2п — 1)хГ п=! д дд. Тригоноягетричееиие ряды Фддъе 455 68. Разложить функцию 7'(х) = х(т1'2 — х) в ряд Фурье на отрезке [О;пгг2): 1) по системе (соя(2п, — 1)х), п й И; 2) по системе 1ягп(2п — 1)х), п 6 И.
69. Доказать, что кусочно гладкая на отрезке [О; 1) функция могкет быть разложена в ряд вида Е-- (2п — Цггх Ьз 1 ягп и=1 70. Доказать, что кусочно гладкая ца отрезке [О; 1) функция можот быть разложена в ряд вида Е 2пггх аги СОЯ я.=1 71. Доказать при 0 < х < л равенство: ягп (271 — Цх лх ( (2п — Цг 8 и =.1 ио соя (2п — Цх 77 з 1 (2п — 3)(2п — Ц(2п ж Ц 8 3 72. Еакими особенностями обладают коэффициенты Фурье функ- ции периода 2п, если ес график: 1) имеет центр симметрии в точках (О;0) и (хя772;0); 2) имеет центр симметрии в начале координат и оси симмет- рии х = ха,г2Г 73. Как связаны между собой коэффициенты Фурье а„, Ь„и оп, Д„функций 7 и д, если г( — х) = д(х)Г 74. Как связаны между собой коэффициенты Фурье а„, Ьи и аи, 1)и функций 1 и д, если 1( — х) = — д(х)Г 76.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
