1610915390-52cbd25d82d9110658c00fb8dfb6bccc (824753), страница 69
Текст из файла (страница 69)
2 и ~ (2п — Ц п=1 1 4 ~-и соя гг(2п — Цх 2 ве ~ (2п — Це и= 15. — ~ ((Ь вЂ” а)(1 — ( — Ц"), + ( — Цп(а+ Ь) ) и.=г а+ Ь 2(а — Ь) ~-~ (-Цп'' 2 гг ~-~ 2п — 1 п=г 1+ ( — Цп+'(1+ и) ге=1 18. — его+4~ и сових. 19. ~( — 1)и~ — — — ) Ягппх 3 пе ) и=-1 п.=1 2 l1 в ( Ц" 20. — в)1 ап ~ — + ~ „, (а сов пх — и вгп пх)) . .г 12а ае+ п2 п=1 21. + ь ( ) сових. 2п и л-л не+4 п=1 2 я1ппа, ъ и ° .,пог п вгппх п =-1 2вгпта2' 1 с, .
пасоЯпх) и '1 2а ~ ае — пе п=1 циы 24. 1 — — саят+2~ сових. 2 л- п' — 1 п=е 1л. от. Функциональные поеледоеагнельноетн и ряды 480 53. Если о нецелое, то 2 ьби'(ак/2) 2а в (1 — ( — Цп сов;га) янах = + — ~ сов пх; ха а" — п п=г если а целое и четное: и = 2иь, то 8т т сов(2п — Цх ян2гпх = — ~ г (2ги)' — (2и — Цг ' п=г а если а = 2гп + 1 нечетное, то 54.
— ( — + ~ ~сових). п=г 2г 5Т. 1" гг 2и+ 1 и= — оо с.'о 59. )'(х) = — + —, 3 2тг' 55. — ( — + ~~г (' ) сових). гпл Е 1 — гп 58. 1'1х) = ' — г по'гг'3 Евппеь/3 п ( означает, что сумяиронание не распространяется на значение п = О) . 60.Ц 1+2~ опсовпх, — н<х(я; п=о 1 2 в 1 46. 1) — — —, ~ —,, сов ггпх; сп 1 в — ь Р/ 4 ) яп(2п — Цпх в!я2нпх) т ~ ),1 к'-'(2п — Це 2п — 1 2п п.=г и .
1бт п 4Т. — янх — — ~, вгп2п. 2 и ~ (4ие — Цг п=г 1 2 сових — 1 тпх 49. — -1-2 1п2~~г, ' „, сов— 1а2 !иг 2-1- иоле 1и2 и —.-1 4 ч в1и'(пв(4) . 8 т-ь ! — Цп . Я2гг+ Цх ян пх. 51. , ян .ге (2п+ Це 2 п=г п,=о 52.Ц + — ~, сових, 0<х<гг; е'и — 1 2а в — ь ( — Ц "енв — 1 2 п=! 2) — ~(1 — 1 — 1)пео"), е яппх, 0 < х < н. гг ае ц- ие 4 гг, Тригономегирияеекие ряды Фурье 4Я1 2) ~~г ап соя пх, — тг < х < тг. п=о 61. 1) — 1п2 — ~, х ~ 2йтг, й 6 Е; п п=1 2) 1п 18 — = — 2 ~ ', х ~ кпо и Е Е. 2 2п+1 п=о 66.
1( — х) = Г" (х); т" (тг — х) = — Г(х). 67. (( — х) = — )2(х); Д( т — х) = ((х). 1 4 1" 68. 1) — 2 ~~г ~2 (1+ ) соя(2п — 1)х; п=1 п=1 72.1) оп=О, Ьгя 1 —— 0; 2) ап=О, Ь21,.=0. 73. оп = а„, )дп = -Ьп; 74. оп = -ап, Ьп = Ьп. 84. (е* — еет')/2 при х Е ( — тг;0), 1 — (е — е )12 при х = 0 и (ее — ее )тг2 пРи х 6 (О;тг). 111. 1) Да; 2) да; 3) да; 4) нет. 112 ~ (2 ' 1) 115 Да (2п — 1)2 п=1 2 ое 116. 1) — +4~ ( — Цп; 2) 2~ ( — 1)", яшах; п=1 п=1 1 ьо 2 3) — + 8~~г ( — 1)п, сояпх. п.=1 123.
1) (ая( < Лу,тЕ Ьг,. = 0 (й Е И); 2) (Ья ) < Ля, аг,. = 0 (й = О, 1, 2, ...), 3) ~ая! < Ля)п~~, Ья = 0 (я. 6 И); 4) !ая/ < Ли)п~, Ьг: = О (й Е И); 5) ~ат! < Литгьге~, Ья = 0 (й б И); 6) ~ая/ < Лятгьп~, Ья = О (й Е И). 133. ~~ ' .
136. Ао=ао, .Ап=аг+Ьг, В„=О, п6 И. и 1и ть п=2 с4п пй яш пЬ 137. -4о = ао Ап = ап, Вп = Ьп, и 6 И. пЬ пЬ 138. о(х — о)22; (тгг — Зтго + Зог)тгб. 146. е"" соя(ягпх). 147. е"" ятп(ятп х). 148. яш(соя х)с11 (яш х). 149. соя(соя х)я11 (ятп х). 150. соя(соя х)с5 (ятп х). хт 1 151. ятп(соях)я11(ятпх).
152. (1+соях) 1п (2соя — ) + — хягпх. 2) 2 1 / Х'1 153. — х(1+ соях) — яЗпх!п (2 соя — ). 2 2) /л. д. Функциональные последовательности и ряды 1/ . 1 / хт 1 154. — (1 — х япт, — — совх). 155. япх1п (2 сов — ) — — яшх. 2 ь хт 1 1 156. соях1п (2 сов —,) — — + — совх. 157. — гсх совх+ — вшх). 2) 2 4 2с 2 хт х 158. (соя х+ соя 2х) 1п (2 соя — ) + — (вшх + яп2х) — сов х. 2) хт х 150.
(вшх+ яп2х)1п (2 сов — /1 — — (геях+ сов2х) — яш:с. 2) 2 1 160. — (н — х — ггсЬах+ ггсгЬаквЬах). 2ае 1 (нвЬггх ) 162. соях 1п(2 совх) + х япх, если О < х < л/'2, соя х 1п(2 ~ сов х~) + (х — н) яп х, если н/г2 < х < гг. х'г г — х 163. (1 — совх) 1п (2 яп — ) — — япх+ соях. 2) 2 хг 3 1 164. (1 — совх) 1п (2 яп — ) + — совх — —. 2) 4 2 1 н ггх 2 165. — — — я|п х. 166. — (л — х). 167.
— соя х — — соя х. 2 4 8 8 3 108. н/4, если О < х < н/г2, и — х/4, если т)2 < х < .г. 160. 1 1пг8я(- + -'). 4 (4 2/ 1 и 170. — — — (сов х1п(2 сов х) + х яп х), если 0 < х < —, 4 2 2' 1 гг — — — — (совх1гг(2 ~ совх~) + (х — т) япх), если — < х < и. 4 2 2 сов х 171. агсяп ' = агссояь/яшх, О < х < к. г/Т+ япх 172.
1п ( /1 + вш х + чЯп х) = агвЬ ъ' вш х, О < х < гг. соя х /х гг1 173. агсвш ' + г/2 вшт,сов гс — ' + — ) — соях. ь/Т-~-япт, ~,2 4) 174. 1п(~~Т+ в1пх+ ь/вгпх) — ь/2 вшхвш ) — ' + — 1 + вшх. (2 4/ 175. — — 1п(1 — 2асовх+ а ). 176. — 1п 1 1 ягпссх Ц- о)гг2) 2 2 ягпЦх — о)гг2) 177. л,г4, если 0 < х < 2а; О, если 2а < х < 2к — 2а; — л/'4, если 2н — 2о < х < 2л. 178. ИГсгх 1+ г сова 8 23. Асимптотические представления функций СПРАВОЧНЫЕ СВЕДЕНИЯ 1. Асимптотические равенства. Часто бывает полезно длн функции /, заданной в окрестности конечной или бесконечно удаленной точки хо, найти в каком-то смысле более простую функцию (гга- дсЗ.
Асимптвтические представления функция пример, элементарную, если функция це была элементарной) асимптотически равную ей. 2. Степенные асимптотические ряды. Пусть функция ф определена при х > а. Ряд вида а~ ае ап ао+ — + =, +" + — +". (1) х хе хе называется ппвпенным асилттотическим рядом (или асимптотичвским разлозкением) функции ф при х -э +со, если его частичная сумма Я„(х) = ~~~ (2) ь=о удовлетворяет условию 1(х) — Яе(х) = о( — е ), х -г +ос, п = 0,1,...
(3) с' 1 Это условие равносильно существоваиию конечных пределов 1пп з (х) = ао, 1пп х"(з(х) — зо ~(х)) = ао, и с Д1, (4) которые представляют собой коэффициенты ряда (1). Отсюда следует единственность разлол ения функции в степенной асимптотический ряд. Если ряд (1) является асимптотическим рядом функции г', то пишут в=е 3.
Общие асимптотические ряды. Последовательность функций ссо(х), п = О, 1,2, ..., определенных в некоторой проколотой окрестиости точки хо (коиечиой или бесконечно удаленной), иазывается асимптотической последовательностью при х — > хо, если для всех и имеет место соотношение ~с„чч(х) = о(чз„(х)), х — т хо. Примером асимптотических последовательностей при х — > хо являются последовательности ре(х) = (х — хо)", если хо конечная точка, и ьс„(х) = х ", если хо = +ж или хо = — со, п = 0,1,2, ...
Пусть (Ьсо(х)) асимптотическая последовательность при х -> — > хо. Ряд ао'ро(х) + а~ Фс (х) + ". + а„Ре(х) + ". (б) называется асимптотическим рядом (или асимптотическим разлозкением) при х — г хо заданной функции 1, определеипой в некоторой проколотой окрестности точки хо, если его частичпые суммы Яо(х) = аорто(х) + огас(х) + ... + а,ере(х) удовлетворяют условию: для любого и = О, 1, 2, ... имеет место асимптотическое равенство 1(х) — о'„(х) = о(р„(х)), х — ~ хо. 1л.
5. Функциональные последовательности и ряды ПРИМЕРЫ С РЕШЕНИЯМИ 1 о тяп с ПосколькУ у« 717' константа, а инт 1 о то из равенства (7) следует, что 1пп х-7-~-сс 1а Х Это означает, что выполнено асимптотическое равенство 16). л Прилеер 2. Найти асимптотическое разложение при х — «+со длн функции «' — 7 11Х)хх 1 ' 717, Х>О, и доказать, что оно расходится для всех х > О.
й Проинтегрировав по частям п раз, получим Г х ь Ген 1 1 1"«х) = 1 717 = — — —,, + С х хх х 2! 3 ( — 1)е 7(п — 1)' » е» ' + ( — Ц" 771 / — '„, В. (9) х Положив Ь=« буделл в силу (9) иметь сс 7 ь« 1х) он (х)! = 77! / е, сй. П р и м е р 1. Доказать, что япс 1 717' — 1пх, т -+ со. (6) 2 о А Разбив промежуток интегрирования от О до х на два промежутка: от О до 1 и от 1 до х, а затем применив формулу зшо 1 = = (1 — соз 21)72, получим 7 х :3 еш 7 тяп 1 1 )' дс 1 Г сон 21 о о 1 1 еш хи»1 11 1 )сое27 11 р) 1 -~-сс сое 27 еграл 711 сходится, 1 уху.
Асил1птати 1есние представления функций Проинтегрировав е1це раз по частям, получим и! г ел и. 'г 11 ~У(х)-~.(.)~= — „,,-( +1)'~' — — „и 11< — „,,= ~ — „), х-+ Следовательно, ряд лз является асимптотичсским ряха п=1 дом для функции 18). Его расходилеость для всех т, > 0 следует, например, из признака Даламбера. А ЗАДАЧИ Доказать асимптотическое равенство 11-6). ав 1 х-1+. <О, ДЕ Е. 1а 1п'1 Ф оха 1пв х, 2 2 / 1ас — 1,'1 М Ха.1-1Š— 11е т ),0 о 3.
/ сМ, х-++со, о> — 1, а>1. Г (1пв)а (1их)а ' ъ'Г-Ь 1 о -Ь 1 в1п1 1 1 4. 21 е Ф е '1вшх+совх), х — 1+со. ис) + 1 5. ( /со+ 1вшесФ хе с сове*, х — 1 +со. 6. / тГР+1ес в1п1Й вЂ” хе'1в1пх — совх), х -+ +со. 2 о 7. Найти элементарную функцию, асимптотически равную при х -~ +со интегралу х В1П 1 1 т~ 8. Доказать, что / сов1 111 = — ' + О~ — ), х — 1+со.
агах Р1 1 2х 1хол' асс е совх / 1 1 9. Доказать, что / в1п1-Ф = + О~ — ), х — > +со. 2х '1 .з )' 10. Доказать, что сов х ( 1 в1п1"'Ю =, +0(,,), х -++со, т > 1. 1пхт,— 1 1 х1т — 1 1л. 5. Фуннциональные последовательности и ряды 488 11. Доказать формулу Стирлинга Г(е + 1) ь/2л е. 'е' ь~~~, е — ~ +со, где Г(е + 1) = 1 е-.. д, , > 1, о - — гамлса-функция. 12. Доказать: если неотрицательная, непрерывная, пе равная тождественно нулю функция 1 имеет при т > 1 период Т: Дг+ Т) = Д(1), Т > О, то с1т А1пх, х ь +ос, А = сонет. '"Ю 1 13. Доказать, что ' Ж В1пх, х Ь +со, В = сонат.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
