1610915390-52cbd25d82d9110658c00fb8dfb6bccc (824753), страница 64
Текст из файла (страница 64)
В этом случае коэффициенты с„и с и [называемые комплексными коэффициентами Фурье функции 7'), вообще говоря, уже не являютсн комплексно сопряженными как в случае, когда функция 7 принимает только действительные значения. Если ряд Фурье функции, абсолютно интегрируемой на отрезке [ — л:гг), сходится на отрезке [ — к;я), то он сходится во всех точках числовой оси 1сс и его сумма является 2л-периодической функцией на 17. Поэтому ряды Фурье вида [1) называют также рядами Фурье периодических функций с периодом 2гг. Теория рядов Фурье 2л-периодических функций переносится па случай периодических функций, имеющих любой период 21, с помощью линейного отображения у= — х, — 1<х<1, — н<у<гг, ..., к — 1, и кусочно непрерывную к-ю производную, то ряд Фурье функции 7' сходится абсолютно и равномерно на всем отрезке [ — к;к) к фУнкции 1" и [1"[х) — Яо[х; 1)[ < " „, где 1пп и„= О, — гг < х < к.
ив 2. Комплексная форма ряда Фурье. С помощью формул Эйлера ссжах = — [еп*г+ е "лг), .сйпих = — [епл' — е и") [6) 2 21 тригонометрический ряд (1) можно записать в виде Спс'и*', [7) З гй. 2ригонометрические ряды Фурье где 1 г пкх а„= — / ф(х) сов — с1х, — ! ао = — / ф(х) ах, 1 (11) Ьп лс — / Г(!г) яп — с1х, 'а Е И. 1 ! . пссх !/ Если функция / четная, то ! ао = — Г(х) йх, ап = — 1(х) сов ггх, Ь„= О, п й И, о о а если ф нечетная, то ! Ьплл — //(х)яп г1х, п Е И, а„=О, п=О 1 2,... ! г о Если функция ф имеет период 21, то при вычислении ее коэффи- циентов Фурье можно интегрировать по любому отрезку длины 21, т.
е. для любого числа с Е ГГ справедливы равенства с-ь! с-!-! 1 г 1 г илх ао = — / ф(х) дх, а„= — / /(х) соа дх, — 2!/ " и — 1/ с — ! с — ! (12) с-ь! Ьп лс — / Г(Х) яп ГГХ, П Е И. 1 Г . П7гх с — ! Комплексная форма ряда Фурье (10) имеет вид Е "- пллгГ! и (13) где сп = / /(х)е пл"'Г!дх, гь к У 1 2! / (14) Представление функции /, заданной на некотором отрезке [а;Ь), в виде ф(х) = ао+ ~ (а„соа +Ьпяп ' ) (15) и=! (при каком-либо выборе 1), спранедливон! для всех точек отрезка [а; Ь], кроме, быть может, конечного их множества, называется разложением функции е тригонометрический ряд вида (10).
Если при атом отрезка [ — 1;1) на отрезок [ — к;к1 Рядил! Фурье функции Г", абсолютно интегрируемой на отрезке [ — 1;1), называется ряд оо + ~ ~(ап сов " * + Ьп агв " '*), (10) Гл. 5. Функциональные последовательности и ряды все а„= О, т| = О, 1, ..., то говорят, что функция 1 раскладывается в РЯд пв синУсам [дУг, кРатных лх11), а если все Ьн хх О, п Е М, то пв косинусам (дут, кратных лх/1). Для кусочно гладкой ца отрезке [а; Ь] функции 1" за счет выбора различных 1 имеется бесконечно много ее разложений вида [15). Задача разложения кусочно гладкой иа отрезке [а:,Ь] функции 1 в ряд вида (15) имеет однозначное решение, если дана тригонометрическая система лх .
лх плх . |тх 1, соз — з|п — ... соя щп [т. е. дано значение 1), по которой следует разложить функцию 1, и если функция ) может быть продолжена с отрезка [а,Ь] (быть может, с видоизменением ее значения в точках х = а и х = Ь) иа вен| числовую ось в 21-периодическую функцию Е. В этом случае коэффициенты ап, Ьп в разложении [15) будут являться коэффициентами Фурье функции Г.
Если ие оговорено что-либо другое, то разложение в ряд Фурье кусочно гладкой иа отрезке [а; 6] функции 1 означает представление ее в виде ряда Фурье общего вида [10) с периодом 21 = Ь вЂ” а, сходящегося, согласпо теореме 1, к функции 1 во всех точках иитервала [а; Ь), в которых оца непрерывна. Разложение в ряд Фурье функций, зависящих от гйп х и соя х, удается иногда получить с помощью формул Эйлера ьх | — Ы |х — ы соах =, зшх = (16) 2 2| Для этого следует подставить в формулу, задающую рассматриваемую функцию, выражения [16) для косинуса и синуса и получившуюся функцию от г = е|х разложить в ряд по степеням г, а затем вернуться к переменной х с помощью формулы е" = сов х+ | щих. В результате получится искомое разложение заданной функции в ряд Фурье. Периодическую с периодом 21 функцию, абсолютно иитегрируемую иа отрезке [-1;1] [или, что равносильно, иа любоы отрезке [а;а+ 21], а с Й), коротко будем называть 21-периодической абсолютно интегрируемой на периоде функцией.
3. Сходимость рядов Фурье. Ядро Дирихле и интеграл Дирихле. Ядро Фейера и суммы Фейера. Функция .0„(6) = — + ~ сов И ы= называется ядром л|ирихле. Пусть 1' — 2л-периодическая, абсолютно интегрируемая па периоде функция и э'„[х) частичная сух|ма порядка п ее ряда Фурье [оиа называется также гуммой Фурье поряд- У 22. Тригонометрические ряды Фурье ка и функции 1); тогда Я„(х) = — ~ Рп(!'у(х+1) М. (17) Средние арифметические сумм Фурье функции 1 ( ) = ~о(х) ~'(х) "' ~"(~) = 0 ! 2 ... (13) и ж 1 называются сумлчами Фейера этой функции, а средние арифметические ядер Дирихле ф„(х) = о( ) '( ) '" "', и = 0,.1,2, ..., (19) пж1 (2Ц п=1 ядрами Фейера. Если в некоторой точке х существует конечный предел !цп ап(х), (20) то ряд Фурье функции 7' называется суммируемым в точке х методолч средних арифметических к значению предела (20).
Теорема 3. Если функция 1(х) непрерывна на отрезке и 1( — л) = 1"(л), то последовательность ев сумм Фейера равномерно сходится на этом отрезке к самой функции. ПУсть 1(х) - ао+ ~~ опсоьпх+ Ь, зшпх, положим п=1 з(х,г! = ао+ ~г" (апссжпх+ Ьпачппх). п=1 В силу стремления коэффициентов Фурье функции 7" к нулю ряд, стоящий в правой части равенства (21), сходится для всех г Е (О;1).
Если в некоторой точке х существует конечный предел !цп з(х, г), г — ч1 — О то ряд Фурье функции Т' называется суммируемым в рассматриваемой точке по методу Пуассона Абеля к значению, равному указанному пределу. Теорема 4. Если функция 7(х) непрерывна на отрезке ( — т,л) и 1( — х) = )(х), то функция з(х,г) равномерно на этом отрезке стремится к функции 1(х) при г -ь 1 — О.
4. Дифференцирование и интегрирование рядов Фурье. Теорема о. Если функция 7'(х) непрерывна, а ее производная кусочно непрерывна на отрезке ( — к,л) и 7( — л) = 7(л), то ряд Фурье для ~'(х) получается из ряда Фурье для 1'(х) почленным дифференцированием, т. е. если У = ао + ~~~ (а„соз пх + Ьп зш пх),. (22) и=-1 то пп з ~( — пап ыппх+ пЬ„соэпх). (23) 450 Гл. о. Функциональные последовательности и ряды Теорема 6. Если 71х) кусочно непрерыоноя и 2л-лериодическал фУнкиил 1''Гх) ао+ ~ (а„совпх+ Ьпвшпх), то п=1 1~Я ду — — + ~~1 (а, ' + Ь„), г24) о п=1 т.
е. ряд (Р4) получаетсн из ряда )йй) почленным интегрировониелс 5. Минимальное свойство сумм Фурье. Сходимость рядов Фурье в смысле среднего квадратического. Если квадрат функции 7' интегрируем (вообще говоря, в несобственной смысле) на отрезке ~-л, я), то / [~(х) — Яп(х;Язвах = шш / ~Дх) — Тп(хлЯздх, (25) — л ' л где минимум в правой части берется по всем тригонометрическим многочленам и Т, (х) = Ао + ~(Ая сов йх + Вя вш Ьп) /с=-1 степени не выше и.
Если ао, ап, Ьп, и Е гг, коэффициенты Фурье функции 1, то справедливо равенство Парсева.чя СЮ л ~+~(,',+Ь'.) = -„Г~ (х) ' 126) п=1 — л 6. Суммирование тригонометрических рядов. Иногда удается вычислить сумму сходящегося тригонометрического ряда, сведя его к степенному ряду, сумму которого можно найти. Идея этого метода состоит в следующем; если ряды ро + ~ рп сов пх, ~ рп вш пх (27) п=1 п=1 сходятся на отрезке ~ — я; я), кроме, быть может, конечного множества точек, то на том же множестве значений переменной х сходится ряд ро+ гг рпсовпх+1~~ рпвшпх = ро+ ~' рпг', г — — е*'. Г28) я=1 п=1 п=1 Поскольку он сходится в некоторых точках единичной окружности ф = 1, то он сходится в открытом круге ~г~ < 1 и его сумма 1г,г) = 1Г,ге'Я) = ро + ~ р х", г = ге.'"', 129) п=-1 при 0 < ~г~ = г < 1 является аналитической функцией.
Если игх) =Ро+ ~ ~Рпсовпх, 01х) = ~ Рпшппх, п=1 п=1 я 22. Тригонометрические ряды Фурье то согласно второй теореме Абеля для тех точек х, в которых ряды (27) сходятся, имеет место равенство и(х) + Ри(х) = Т(е'*). (30) Когда удается найти функцию 1 в явном виде (т, е, выразить ее через элементарные функции) и вычислить ее значение, стоящее в правой части равенства (30), то телс самым удается найти и суммы рядов (27). ПРИМЕРЫ С РЕШЕНИЯМИ Пример 1. Разложить в ряд Фурье функцию Д(х) = сЬх, — к < ( х < к.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
