1610915390-52cbd25d82d9110658c00fb8dfb6bccc (824753), страница 40
Текст из файла (страница 40)
2 Схг — 1 (х-~-Цг 1 1 А Лля функций Д(х) = 6 и р(х) =, первообразными хг — 1 (х Ч- 1)1 являются соответственно функции 1 х — 1 1 Е(х) = — 1п — и С(х) = — —. 2 х+1 х+1 По формуле Ньютона.-Лейбница получаем с(х = — 1п = — — 1п — = — 1п 3, хг — 1 2 хч1 г 2 3 2 212.
Интегралы с Лесноненными пределами интегрирования 26З -~-сю 1' атагах Пример 8. Вычислить интеграл / с4х. хг 1 д Применим формулу интегрировании по частям для несобственного интеграла. Положим и = агстбх, с1и = Их/хз; тогда с1и = с1х/1х + 1), и = — 1/х, и, следовательно, Е со -Ьос агссгб х агсгб х тсс г дх г с1х + / — / .(.2+1)— 1 = — + / ( — —, ) а1х = — + (1пх — — 1п1х + 1)) х М' я 1 = — + 1п = — — 1п — = 4 1/ха+ 1 1 4 1/2 я 1п2 — + —. а 4 2 П р имер 9.
Доказать неравенства 'Г,к-.. т, ! х'+ ха+ 1 10с/2 2 д При х Е '12;+со) справедливы неравенства т -т-сз а О< г, < —.=х х' -~-хг + 1 х' х" -Ь хг -Ь 1 2 2 поэтому Пример 7. Вычислить площадь 5 криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции у = 1/т/Г+ е* и положительными лучами осей координат. А Искомая площадь выражается через несобственный интеграл следующим образом; м, Ч оо о о Длк вычисления интеграла положим 1+ е' = 12, 1 ) 0; тогда 2142 дх 242 12 — 1 ' 1/1 +е 12 — 1 ' и, кроме того, когда х Е [О, +со), имеем 1 Е ~т/2, +ос).
Поэтому 1 — 1 1-Ь1 сса ъ/2 — 1 Гл. Х Неевбппвенные интегралы 264 Но -~-сю — И = — 2 -6!х~+ '= 22-6!х = 1 . А 5 'г 5 10тг2 а в-ю еьп Зх Пример 10. Исследовать ~, ' асх на сходимость. / К*+Т а На промежутке [1;+со) справедливо неравенство сйп Зх 1 Ых / 4т и так как ~, сходится ~пример 2, сг = — ~, то по признаку сравОсхс 3) 1 ненни 1, а) сходится и данный интеграл. а с4х Пример 11. Исследовать 1 на сходимость. Х тс'4х ж1пх 1 ~ ПУ„, С(Ю = 1,ССг ~Б-с . Еге.„,г„оео„ д(х) = 1с „сх.
Так как УЫ . Гх . 1 1 11ш ' ' = 1пп = 1пп .-- лю .-- л.— Гь —. г-сю дх то из расходимости ~ — (пример 2, о = 1/2) по признаку сравне/,"* 1 пия П, а) следует расходимость данного интеграла. А Ь ею хс1х П р и м е р 12. Исследовать 1, на сходимость. 2 хе -~- сйп х 1 х 1 ссх А Так как, — —, при х + +ос и ~ —, сходится (пряхе+ еьпх хг ,/ хг 1 мер 2, о = 2), то согласно признаку сравнения П, б) сходится и данный интеграл.
А -~-сю с4х Пример 13. Исследовать 1' ', сг,Д Е й, на сходимость. х" 1п' х А Рассмотрим сначала случай о > 1. Положим 6 = о — 1, тогда 6 > О. Представим подьштегральную функцию следующим образом; 1 1 1 1 (6) ха1п' х х'"1п х хссг1пнх х'+-сг Так как для каждого сЗ при х — + +ос 1 — 10, хгссг 1пл х то существует такое хв > 2, что для всех х > хв справедливо неравенство 1 в < 1 хесе 1п х р12. Интегралы с Оеононеннылш пределами интегрирования Звб Следовательно, для всех т > ио из равенства (6) следует неравенство 1 1 3 < с сг,се а 1и и г да Посколысу ~ сходится, то по признаку 1, а) сходится и / .мсс'г еа д»: . Поэтому сходится и данный интеграл, так как он предии 1и х ге ставим в виде ге -с ос =/ ди Г и Г да + /' х 1ада l аа1ила г аа1ида з 2 са т.
е. в виде суммы двух интегралов, один из которых является собственным интегралом, а другой сходящимся. Итак, при о > 1 и любом 11 интеграл сходится. Пусть теперь о = 1. Сделаем замену переменной, положив 1п х = й Тогда получим -~-ы~ -~-со Из этого равенства видно, что данный интеграл при сг = 1 сходится, если сб > 1, и расходится, если Д < 1. Рассмотрим, наконец, случай о < 1.
Положим е = 1 — о; тогда е > О. Представим подынтегральпую функцию в виде (7) аа 1иа а и1 — е 1ил и 1ид а ас ассе Так как для каждого Д при х — + +со ил 7" ! 1 ~ т — у + то существует такое хо > 2, что для всех и > хо справедливо не- равенство ж'~ с'1п" х > 1, и, следовательно, для всех т > то из равенства (7) следует неравенство 1 1 > то 1ир х и' -~-со Иа Поскольку 1 ' „расходится, то по признаку 1, б) расходится д .! — сссг е:0 -~-со дх и 1 д .
Из расходимости последнего интеграла следует расхоаа1п и *0 димость исходного интеграла. Поэтому при о < 1 и любом,З интеграл расходится. Итак, интеграл сходится, если о > 1, ,3 произвольно и если о = 1, Д > 1; при всех остальных значениях сс и Д интеграл расходится. А 2н.3. Нееобственньсе интеер льс сйп х Пример 14. Доказать расходимость интеграла 21 оьх при 11 < 1.
А Пусть Ь Е (1;+оо1, выберем натуральное число и так, чтобы выполнялось неравенство лп > 6, и положим 61 = лп и 62 = 2лп. Тогда Ьв 2пп 2пп вшх рсдпх 1вшх / х> ха Х 2 Х ь, пп .и 2пп зпп 1 г . 2 1 г1 — сов2х 1 лп 1 > / вьп хдх= 1 ' 14х= 2лп,l 2пи,l 2 2еп 2 4 пп .'и Итак, сУществУет число е = 1214 такое, что длЯ любого Ь > 1 сУ- шествуют числа Ь, = лгь > Ь и 62 = 2лп > Ь, для которых ь Вьа Х вЂ” с1х > е. ха Ь1 Следовательно, при о < 1 данный интеграл расходится. а сйп х Пример 15. Доказать, что 21 дх сходится условно. АДля доказательства сходимости интеграла воспользуемся фор- мулой интегрирования по частям.
Положим и = 11сх и оьо = вьпхс1х; тогда ди = -14хьсхз и и = — сов х, и, следовательно, -Ь се -нас -<-ас в1пх, совх сп Г совх, Г совх х х / ,I хе 1 1 Исследование данного интеграла на сходиыость свелось к исследова-н па г совх нию 21 ',, с4х.
Последний интеграл сходится абсолютно, что следу- ет по признаку сравнения из неравенства сов х 1 ~ хс' и, значит, является сходящимся интегралом. Итак, исходный интегяпх рал сходится. Покажем теперь, что ~ с1х расходится. Дейст 1 вительно, из очевидного неравенства ~21ПХ~ ВШ Х -нас г сйпх следует (см.
п. 3), что если 21 11х расходится, то расходится -~-аа 1 -1-са Г ~в1пх~ Г сйпех и 1 ' дх. Но расходимость 21 ' ' 14х доказана в примере 14 1 212. Интегралы с бесконечными пределами интегрирования 2бт (сг = 1). Таким образом, данный интеграл сходится, цо цс абсолютно.
Условная сходимость доказана. я Г ешх Пример 16. Исследовать / ' ГГх па абсоллотную и условную хо 1 сходимости при всех значениях параметра сг. д Ц Пусть о > 1; тогда справедлияо неравенство влвх 1 хо Ха ' из которого следует абсолютная сходнмость исследуемого интеграла. 2) Пусть О < Гг < 1.
Воспользуемся признаком Дирихле, положив /1х) = сйпх и д(х) = 1/х . Условие а) признака Дирихле выполнено, так как бш х непрерывная функция и ее первообразнан ( — собх), очевидно, ограничена. Условие б) также выполняется, так как д (х) = — сг/х Ел < О, поэтому д(х) убывает и 1 1пп д(х) = 1шл — = О. -лч-со г — г;- ог ха Следовательно, интеграл сходится. Абсолютно интеграл не сходится, что вытекает из неравенства бшх ейи х ха . ха ч-сю Г благ х и из расходиблости / ' Нх, установленной в приблере 14. ха 1 Пусть о < О.
Докажем с помощью критерия Коши, что в этом случае интеграл расходится. Для любого числа Ь > 1 выберем натуральное число п, так, чтобы выполнялось неравенство 2кп > Ь, и положим Ьл — — 2яп + я/6 и Ьг — — 2яп + 5я/6. Тогда бг 2кпжбкГб 2ппжбкГб бкГб Г'."-* = ./' ":-*"'- 1 б, зчнжгГб 2чп+гГб кГб Следовательно, существует число б = к/3 такое, что для любого числа Ь > 1 существуют числа Ь~ — — 2яп + я/6 > Ь и Ь2 — — 2яп + 5я/6 > Ь, для которых бг /' б1"„х Гх > . б, Поэтому при сг < О интеграл расходится. Итак, данный интеграл при сг > 1 сходится абсолютно, при О < сг ( 1 сходится условно, при сг < О расходится. а Гл. а".
Неевбетвенные интегралы 266 Евс вша: Пример 17. Доказать, что при ю >О интеграл ( 'атсгбхдх ха сходится. 1 А ВоспользУемсЯ пРизнаком АбелЯ. Положим Г"1х) = (зшх)ггх и д(х) = агота х. Условие а) признака Абеля выполнено, так как 1зшх)/х непрорывпая функция на [1;+со) и при ю > О, как пока- Г в1пх вано в предыдущем примере, ( ' дх сходится. Условие б) также ха 1 выполнено, так как д'1х) = 1гг(1+хг) > О 1поэтомУ д(х) монотонна) и ~дух) ~ = ~агс18х~ < лсс2.
а l япх 1 Пример 18. Исследовать интеграл / юп дх ца абсолютную и условную сходимости. 1 а Подынтегральная функция представима в виде пРичем пРи х > 1 спРаведливо неРавенство ~Л1х)~ < 1гс(3! хзссхх). Следовательно, / Л1х) асх сходится абсолютно. В примере 16 1о = 1сс2) -~-се ювх была установлена условная сходимость интеграла ( дх. Позссх этому и данный интеграл сходится условно. а -~-сю яп х с1х Пример 19. Исследовать интеграл ( на абсолютную тсср — юв х 1 и условную сходимости. а Представим подынтегральпую функцию в виде ювх мах 1 ешх ( яах зги — Япх зги 1 — 1ювх)ссзссх згх с згх .
/ . юих впг х згх х Так как ~Л(х)~ < 1/(х~х)с то Л1х) абсолютно интегрируемая функция. Характер сходимости данвого интеграла определяется характером сходимости интеграла Последний интеграл, очевидно, расходится, так как (з1пх)/зссх интегрируемая функция (пример 1б, сг = 1/2), а 1зшз х)/х — нсицтегрирусмая 1пример 14, о = 1).
Итак, данный интеграл расходится. а 412. Интегралы с бесконечными пределами интегрирования 2бо ЗАДАЧИ Вычислить интеграл или установить его расходиыость (1-14). 1. / —;. 2. / -' 4 3. / в!пЗхс/х. 4. / е ' Их. 2 о о 1 о о -1 юс 5. / — '* . О. / *+' Их. 7. / '*+' — СЮ вЂ” ЮЮ з г-юс -Н ЮС -~-СЮ . / ./ 2хг — Ьх+ 7 / х!пх ./ х!п х — СЮ С 11. / х2 нс/х.
12. / ( ' ) асх. 13. / о 1 о 14. х 1/х — 1 1 Вычислить интеграл (15- 42). СЮ вЂ” 2 .!/ '' ' ./ дх /' х дх /' дх (1 -!-х)1/х ' ./ (хг-Ь Цг ' ./ х1/хг — 1 -~-СЮ -нх -нх вь д 19 /' дх 20. /' ', /', . /' в11 2х ./ ег + и'еа „/ хг — 1 о о 2 1 о о .1-СЮ -ЬЮС сна о..)л —., ",,' югег —.с о (юсхг + 1 -!- 2)1 ,/ (422 -!- Ц.схг + 1 'о Е ЮЮ -!-СЮ хг+ 12 28. /,, с/х. 29. // е '*в!нЬхс/хс а > О. (ха+ 1)1 о о 30. / е '*совбхс/х, и > О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
