1610915389-9cf4bb28a9b372fd268dec258c2fd2e7 (824751), страница 82
Текст из файла (страница 82)
А Пример 2. Доказать, что если гака(уо) = о (Ь = 1,2, ...,и — 1), га'й(уо) ~ о, (38) Гл.4. Применение производных к исследованию функций 46З то уравнение касательной к годографу в конце радиус-вектора г(1о) имеет вид г = г" (1о)1+г(то), -ж < с < +"о. (39) а Из условия (38) следует, что в рассматриваемом случае формула Тейлора для вектор-функции г(4) имеет вид Ьг = г(Со+ Ьй) — г(йо) = —, г~"~(Со)Ь1п + о(Ыо), Ьй — ~ О. Поэтому для всех достаточно малых с.'сй выполняется условие Ьг ф ф о и, следовательно, прямая, проходящая через концы радиус-векторов г(то) и г(йо + схт), однозначно определена. Вектор Ьг/Ьйп параллелен этой прямой, и существует предел 11ш, = — г~ ~(со).
Ьг 1 дс — ю Ып и! Поэтому прн Ы -ь 0 существует предел указанной секущей, т. е. существует касательная к годографу в конце радиус-вектора г(1о) и ее уравнение имеет вид (39). а Пример 3. Доказать, что если го = г(йо) ф о, существует г' = = г'(йо), е(1) единичный вектор в направлении вектора г(т) и ео = = е(то), то существует е' = е'(тв) и го = (ео,го)ео + !го!ео. (40) Каков механический смысл этой формулыГ Д Ясно, что из непрерывности г(1) в точке 1о и условия го ф о следует, что в некоторой окрестности точки йо выполняется неравенство г(1) ф о, поэтому в этой окрестности определена функция е(т) = г(с)/(г(с)~, причем, очевидно, (41) /е(с)! = 1.
Поскольку г = ~г~ е и 2 ' то из дифференцируемости в точке 1о вектор-функции г(1) следует дифференцируемость в этой точке скалярной функции ~г(1) ~ и вектор- функции е(с) = г(с)/~г(с)~. Поэтому го — — г(1о) = ((г/ е)', м = ()г/'е+ )г! е)~с=со — — (ео,г„') ео+ )го! ео, т.
е. равенство (31) доказано. Из (41) следует, что е (1) = 1. Дифференцируя это равенство, получим (е(1о), е'(то)) = О, что означает, что векторы ео — — е(йо) и е' = е'(йо) ортогональны. Поэтому в случае, когда годограф вектор-функции г(с) является траекторией движущейся точки, а параметр 1 есть время, равенство (40) показывает, что движение этой точки в каждый момент времени 1о можно рассматривать как результат сложенил двух движений: поступательного в напранлении радиус-вектора го и вращательного по окружности радиуса ~го~, 9 24. Вектор-функции. Кривые 469 (44) т.
е. в направлении, перпендикулярном вектору го. Формула (40) дает разложение мгновенной скорости го = г' на радиальную составляю- щую (ео,г') ео, представляющую собой проекцию скорости чо на направление радиус-вектора го, и трансверсальную составляющую ~го~ е' в направлении вектора е', т. е. перпендикулярно вектору ео, а следовательно,и вектору го. А Пример 4. Пусть вектор-функция г(1) определена и не обраща- ется в нуль в некоторой окрестности О' точки 1о, и пусть ~р(й) наименьший неотрицательный угол, выраженный в радианах, между векторами г(19) и г(1), 1 Е о', 0 < ~р(1) < х. Тогда ~ьЬв = ~р(й) — <р(19) = = цо(1) (ибо ю(йо) = 0). Положим ЬС = Š— 89. Предел (42) называется угловой скоростью вращения вектор-функции г(1) в точ- ке уо и обозначается через щ = щ(19, г).
Доказать, что осли го = г(1о) ф о и существует производная го = = г'(8о), то существует и угловая скорость вращения и = щ(1о,г), щ = )[го, г )[/г . (43) Для случая !г(1)! = сопят получить отсюда формулу 1гО Иго ! Каков ее механический смыслГ А В силу существования производной г' вектор-функция г(т) непрерывна в точке 19. Отсюда и из условия го ~ о следует, что для всех достаточно малых приращений ~.'И выполняется неравенст- во г(1о + Ы) ф о, и потомУ опРеделен Угол йхцв междУ вектоРами го = г(1о) и г(19 + йьт), причем 1пп Ь9в = О.
пе-во Для вычисления предела (42) заменим бесконечно малую при Ы вЂ” ь 0 функцию вх9о на эквивалентную ей функцию а1п йт99, которую найдем из равенства )[г(19), г(уо + ~1)) 1 = ~г(19) [)г(19 + Ь1) ([ а1п Ь9о(. Таким образом, будем иметь Ьу .
в1п йкг . )(г(Ьв), г($в .Ь вк1))! 1пп — = 1пп 1цп ье-во ЬЕ зе-во ЬХ ье-во )г(йв)[ [гйв+ ЬХ)~ ~ЬЕ~ = — 1' [[ ( в)' (" )) (45) еье (здесь снова была использована непрерывность вектор-функции г(1) в точке 1о. 1вп г(то + Ы) = г(то) ). Далее, в силу дифференцируелвости :\е — ~о функции г(1) в точке 19 имеем г(19 + Л1) = го + г~Ы+ е(К1)0 С, 470 Гл.д. Прилзенение производных и исследованию Яуннний где 1пп е(ззс) = о. Подставив это выражение в (45) и заметив, что [го, го] = о, а 1пп [го, е(схг)] = о, получим форзлулу (43). ас -зо Если ]г(6)] = г постоянная, то, дифференцируя равенство гз = = тз, будем иметь (го,г') = О, т.
е. [го[[г'[созф = О, где уз угол мезкду векторами ге и го~. Поскольку го ф о, то либо го — — о, либо ф = л7'2 и, следовательно, ашф = 1. В обоих случаях [[го, го][ = [го[]го][ и ф[ = го [го[. Подставляя это выражение в (43), получим формулу (44). В случае, когда годограф вектор-функции г(с) является траекторией движения точки, а параметр 1 временем и, следовательно, г' = г скоро- стью движения, в силу (44) получим из = о7'г, о = [г[, г = [г[, т. е. формулу, свнзывающую значения угловой скорости из и линей- ной г при движении точки по поверхности шара [г[ = г = совали А Пример 5.
Доказать, что если вектор-функция г(6) непрерывна на отрезке [а; 6] и дифференцируема внутри него, то существует та- кая точка С е (а; Ь), что [г(Ь) — г(а)[ < ]г'®](6 — а). (46) а Если г(а) = г(6), то равенство (46) верно при любом выборе точки с 6 (а; 6). Поэтому предполозким, что г(а) ~ г(Ь), и обозначим через е единичный вектор в направлении вектора г(6) — г(а). Тогда [г(Ь) — г(а)[ = (г(Ь) — г(а), е) = (г(6), е) — (г(а), е). (47) Рассмотрим скалярную функцию 7(1) = (г(г), е). Она удовлетворяет условиям теоремы Лагранзка о среднем значении, поэтому существу- ет такая точка С 6 (а; 6), что 7(6) — 7(а) = 7'(С)(Ь вЂ” а), т.
е. (г(6), е) — (г(а),е) = (г ®,е)(Ь вЂ” а). Отсюда, применив неравенство Коши длн оценки правой части этого [(г'(С), е)] < [г'(Я[[е[ = [г'(е)[, и воспользовавшись равенством (47), получим неравенство (46). а Пример 6. Представить пересечение шара хе+уз+ хе = Лз и цилиндра ха + у- = Лх в виде параметрически заданной кривой (точ- нее, носителя кривой). А Из у равнения х з + уз = Лх следует, что О < х < Л. Поэтому можно положить х = Л,аш й Тогда з уа = Лх — ха = Л' а1пз йсоаз г, х' = Лх — (х'+,у') = Л' — Лх = Лз соа' 6, и легко проверить, что кривая х = Лашз 7, у = Лзш1 соя|, х = Лсоа1, О < 1 < 2п, (48) р е4.
Вектор-функции. Кривые 471 совпадает с пересечением сферы хз + у + хз = Лз и цилиндра хз -~- + уз = Лх, причем точка (17';0;0) получается при значениях параметров г = л,72 и т = Зл/2, т. е. является точкой самопересечения. Кривая (48) называется кривой Вивиани (рис. 24.7). а П р и м е р 7. Найти касатель/ l ные прнмые и нормальные плос- 1 кости кривой з = х~ + у-, у = х. д Примем переменную х за и параметр на данной кривой. Тогда о представление кривой будет иметь вид а г(х) = (х; х; 2х ). Рис.
Г Ь7 Найдя отсюда касательный вектор г'(х) = (1; 1; 4х), получим, в силу формулы (4), уравнение касательной в точке (хо, хо, 2хо~) н виде х — хо = у — хо = (з — 2хоУ(4хо) Поскольку вектор г'(хо) = (1;1;4хо) перпендикулярен нормальной плоскости кривой в рассматриваемой точке, то уравнение этой плоскости имеет вид (х — хо) + (у — хо) + 4хо(х — 2хо) = О, т. е. х+ у+ 4хое = 2хо+ 8хо. П р и м е р 8. При каких значениях а кривая х=с' соа1., у=еыа1пй х=е', — ос<1<+со, (49) пересекает все образующие конуса х' + уз = ез под углом л,74Г д Простой подстановкой в уравнение конуса легко проверить, что криван (49) действительно лежит па нем. Если гГ1) вектор с координатамн (49), то касательный вектор г' = г'(1) к кривой (49) имеет вид г'(С) = (е"'(асозà — аш1); е"'(аейпт+ сову):ае"), а вектор 1 = 1(Г), направленный по образующей конуса хз + уз = хз в той же точке кривой (49), — вид 1(1) = (хцу; т77Р+ уа) = (е' созй е' ашй е' ).
Поскольку ~г'(1)~ = е'7 17 2аа + 1, ~1(1)~ = е'~ Д, соз(гЧ) = (50) Поэтому, если угол между векторами г' и 1 равен л,74 или Зл,74, то 472 Гл.4. Применение производных к исследованию функций из (50) получается уравноние (а! х/2 1 з/2а"- + 1 х/2 откуда а = ~1/т/2. А Пример 9. Найти длину дуги в(6) винтовой линии х = а сов 6, у = а вш 6, х = 66, 0 ( 6 ( +со, (51) и получить параметризацию винтовой линии, когда за параметр на ней принята переменная длина дуги. А Поскольку для касательного вектора г'(с) винтовой линии име- ет место формула г'(6) = ( — а яш 6; а соя 6; 1з), то, в силу формулы (14), для производной по параметру 6 длины дуги, отсчитываемой в сторону возрастания параметра, будем иметь "— ' = ь/Р+ Ь'.
Ж Если производная некоторой функции постоинна, то сама функция липейна, и так как в данном случае в(0) = О, то в(1) = Ьь/аз + Ьз, 6 > О. Подставлял 6 = в/'(~(а~ + Ьз) в формулы (5Ц., получим в в Ьв х = асов, у = ав1п,, х = . А т/аз -~- Ь' ' т/аз -|- Ь' ' х/аз и Ьз Поэтому =(- а . в в1п т/аз ж Ье х/ае -Ь Ьз ' с1т ( а в — = ( —,,соя Ив ( азжьз х/азжЬз Отсюда дт Ь= дв Кроме того, в силу первой формулы и = ( — сов исаз+ Ьз и, следовательно, а в соя х/аз -~- Ьз т/ао ж 67 т/аз -ь Ьз / а .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
