1610915389-9cf4bb28a9b372fd268dec258c2fd2e7 (824751), страница 79
Текст из файла (страница 79)
рИ. Численное решение уравнений х„+ 2ахн з 64. Доказать, что итерационная формула х„4т = ., для Зх-„' 4- а решения уравнения ха = а, а > О, имеет третий порядок. 65. Исчтользуя разложение функции по формуле Тейлора до второго порядка, получить итерационную формулу для решения уравнения /(х) = 0 и доказать, что она имеет третий порядок: У(')/'( -) (/'(хгг))з — /(хн)/и(хо)/2 ' 2) хн т = х —, —, ',, (утврлгула Чебышева). /(Хи) /т(Хн)/и(Хгг) 66.
Доказать, что наименьший положительный корень Е уравнения сг8х = Л вЂ” х, Л > 2, удовлетворяет неравенству Е< 2 Л -~- итЛз — 4 67. Пусть (х„) . возрастающая последовательность положительных корней уравнения х зги х = 1. Доказать., что при и — т оо: Ц х, = лп+ о(Ц; 2) хн = пи+ ( — Ци/(тгп) +о(1/тг),: 3) хн = нгг + ( — Ц" /(;тп) — (1/(тгзпз))(1 — ( — Цн/6) + о(1/пз).
68. Пусть (х„) - . возрастающая последовательность положительных корней уравнения 18 х = 1/(1+ ха). Доказать, что при и -+ оо х„= нп+ 1/(нп) + о(1/п ). 69. Пусть (х„) возрастающая последовательность положительных корней уравнения с8х = х. Доказать, что при п, -+ оо: тг тг 1 т1л Ц хн = — + ли+ о(Ц; 2) х„= — + лп— +о[ — ), 2 2 н/2 + тгп [, п ) ' тг 1 2 /11 3) хо= — +нп +Π—. 2 н/2 ж нп З(тг/2 -~- ггп)з г, тгз l ОТВЕТЫ 1. Ц (-3; -2г5) *) (0,5; Ц, (2; 2,5); 2) (-0,5; 0), (1; 1,5); 3) ( — 2; — 1,5); 4) хт — — — 1,5, хт = 0,5, хз = 1; 5) х = 1,5; 6) (2,5; 3); 7) (1; 1,5); 8) (-1.,5; -Ц, (2,5; 3).
2. Ц (-0,6; -0 5); 2) (1,2: 1,3); 3) (-0,6; -0,5); 4) (1,9; 2); 5) (0,8; 0,9); 6) (-0,9; -0,8), (0,8; 0,9); 7) (0,5; Огб)., (2,2; 2,3); 8) (2,5;2,6). 9. (-0,5;0), (1;1,5), (2,5;3). 12. Ц (2,3;2,4); 2) ( — 1,1; — Ц, (0,9;Ц. 17. Ц [0,5; 3,7); 2) [0,74: 22). 18. [ — 11/3,:— 1/9), [0,27;2,64); (1;1,5).
19. (0,4;Ог5), 20. 2) 45з + 27сз + 4азс — алба — 18абс < О. 21. р' > Чз *) Злесь и далее указан один из нозмолгных интерналов изоляции корни. Гл.4. Прииенение производных к нооледовонию функчий 22. 44 ( рз при т = 2, а = 1; 0 < 27дз ( — 4рз при т = 3, и = 1; — 4рт(27у<0 или 0<274( — 4рз при за=3, п=2; р<0 и 0 < 4д < рз при т = 4, а = 2; при всех остальных т и и при любых р и 4 уравнение будет иметь хотя бы один комплексный корень.
24. 1) Два корня; 2) один корень при а < 1, три корня при а > 1, два корня, из которых один двукратный, при а = 1. 25. 1) а < — 175, а > 188/27; 2) а = 7,5, а = 104/9: 3) а<16, афО; 4) 0<а<23/16. 26. 10;0,2). 27. 1) Один корень при а < О, два корня при 0 < а < 1/е, один двукратный корень при а = 1/е, нет корней при а > 1/е; 2) нет корней при а < — 1/е, один двукратный корень при а = = -1/е, два корня при -1/е < а < О, один корень при а > 0; 3) нет корней при а < О, один корень при 0 < а < ез/4, один простой и один двукратный корень при а = ез/4, три корня при а > > ез/4; 4) нет корней при (а~ < з1з хо и 1,5, один двукратный корень при )а) = ай хо, два корня при )а( > зЬхо, где хо положительный кореш уравнения сиз х = х; 5) нет корней при ~а( > Зт/3/16., один двукратный корень при ~а~ = = Зт/3/16, два корня при 0 < ~а( < Зт/3/16, три корня, из которых один трехкратный, при а = О.
28. 1) а > 1; 2) а = — 13+ 1п16)/4; 3) а > 2е; 4) ~а~ < Зк/2 — 1. 29. 2) Нет корней при Ь > е з о, один двукратный корень при Ь=е з ",дванорняприО<Ь<е з о,одинкореньприЬ<0. 30. 2) Границей областей в плоскости (а; Ь) служат прямая Ь = 0 и параметрически заданная кривая а = се(3 — х)/3, Ь = е'/Зхз. 32.
Если и четное число, то: один корень при а > /и/е)", два корня, из которых один двукратный, при а = (зз/е)", три корня при 0 < а < 1п/е)", один п,-кратный корень при а = О, нет корней при а < 0; если п нечетное число, то: нет корней при а > Яе)о, один двукратный корень при а = (и/е)", два корни при 0 < а < (п/е)", один и-кратный корень при а = О, один корень при а < О. 33. 1) 11: 2); 2) (-5; -4), (- 1; 0), (5; 6); 3) 14; 5); 4) 1-2; -1), 1-1; 0), 10; 1), (3; 4); 5) (2; 3), (3; 4); 6) (-7,:-6), (-1;0) 7) (-4;. -3), (-1; -0,5), (-0,5; 0), (О; 1), (3; 4); 8) (-2;-1), (О;0,5), (0,5;1); 9) (-2;-1); 10) 1-3:-2), 10;1), (1;2). 34.
( — аз; — Ьз), 1 — Ьз; — сз), ( — сз;+со). 35. Ц (-1: -0,9), (0,9; 1); 2) (-3,6; -3,5), 1-2,2; -2,1), (1,2; 1,3): 3) 1-0,9; -0,8), 10,6, 0,7); 4) 1-0,8; -0,7); 5) (-0,5; -0,4). 36. 1) хз = — 1,86, хз = 1,70; 2) хз = — 3,06, хз = — 0,69, хз = 3,76; 3) х = 3,63; 4) хт = — 0,43о, хз = 0,381; 5) хз — — — 0,867, хз = 1,867; 6) хз = 0,.27, хз = 2,2,з; 7) х = 0,21; 8) х = 1,088; 4 г4. Вектор-функции. Кривые 9) хз = 0,776, хз = 2,223; 10) х = 0,567. 37.
652,7 мм. 38. ( — 1,10:, — 0,48), (1,71; 1,39). 40. 1) х1 Е (3;3,1), хз Е (4,7',4,8); 2) хз = 3,028; 3) хз = 4,728. 41. 1) х = 9,9667; 2) х = — 0,88677; 3) х = — 0,19994; 4) х = 0,091; 5) х = 0,15495; 6) х = — 0,5283; 7) х = 2,094э514815; 8) х = 0,4816; 9) т = 1,172. 42. 1) а < е'~', 2) е ' < а < е~~'. 43.
1) 3,4368; 2) х~ = 4,7300; хз = 7,8532. 44. х' = 0,5896, хич1 — — ео зе" ':ги = 2,2805, хе+з = 1,25 х х(1+ 1пхи), 45. 1) хз — — — 2,214, хз = 0,539, хз = 1,675; 2) хз = — 1,221, хз = 0,724; 3) 2,259; 4) х = — 2,087; 5) хз = — хз = — 0,824: 6) хз = — 2,33006, хз = 0,20164, хз = 2,12842. 46.
1) х = х3,60555127.; 2) хз = -2,666667, хз = 0,292893, хз = 1,707107; 3) 0,84375. 47. 1) х = 1,76926; 2) х = 1,21341; 3) хз — — — 0,951, хз — — 1,756, хз — — 2,694; 4) хз — — 0,472, хз — — 9,999; 5) х = 0,739087; 6) х = 2,5062; 7) х = — 0,56715; 8) х = х1,199678, 9) х = 4,49341; 10) хз = 2,081, хз = 5,940. 48. х = — 10,261. 49. г = хз0,93211 50. 1) х = 0,675; 2) х = 0,6705; 3) х = 0,6705. 51. Сходится к з18пхо, если )хо! > 1/хгЗ: сходится к О, если ~хо~ < 1/Л; нс сходится при ~хо~ = 1/х75; при ~хо! = 1/з73 после- довательность не определена; при 1/згб < (хо) < 1/~ГЗ, если последо- вательность определена, то она сходится либо к +1.
либо к -1. 54. хилз = (х„ + а/х„)/2. 57. (Š— хз < 10 58. 1) х = 0,325; 2), 3), 4), х = 0,3295. 59. х = 1,0448. 60. хз = -10,2610, хз = 9,8860. 61.:г = 0,740841. 62. 1) х = 0,78669; 2) х = 1,755581. 3 24. Вектор-функции. Кривые СПРАВОЧНЫЕ СВЕДЕНИЯ 1. Вектор-функции скалярного аргумента. 1) Если Х подмножество множества действительных чисел (Х С й) и каждому значению 1 Е Х поставлен в соответствие вектор г(1) трехмерного пространства Й, то говорят, что на множестз ве Х задана вектор-функция (или векторния функция) г(1) скалярного аргугкента й Если в пространстве Ф фиксирована декартова система координат х,у,г, то задание вектор-функции г(1), 1 Е Х, равносильно 456 Гл.
4. Применение пронзводныт к исследованию функций выполняется неравенство !г(1) — а~ ( ж В этом случае пишут 1!ш г(1) = а или 1-«, 1пп г(1) = а. (2) Геометрически это означает, что вектор г(1) при 1 -~ !о стремится к вектору а как по величине, так и по направлению (рис. 24.1). Условие (Ц, (2) равносильно тому, что для любой последовательности Р„ Е Х, й, ф 1о, и Е Й, такой, что 1пп 1„ = 1о, имеет место равенство !пп г(1 ) = а. Если а = (аш аз; аз), то для того, чтобы а = 1пп г(1), необходимо и достаточно, чтобы 1пп г(1) = а„1пп у(1) = аз, !пп з(1) = аз.
~ — «о с — ~м ~ — ~м Если 11ш г(1) = о, с †«е то вектор-функция г(1) называется бесконечно малой при 1 — г 16. 3) Если функция г(1) определена в некоторой окрестности точ- ки!си 1пп г(1) = г(16), с-«О то функция г(г) называется непрерывной в точке йп заданию трех скалярных функций л(1), у(1), з(г) координат вектора г(1) (эти функции называются координатными функциями вектор-функции г(1) ): г г(с) = (г(1); у(1), з(1)). Если 1, з, 1с .- координатные орты, то (1) = (1) +у(1)3+ (1)й Если начало всех векторов г(1) помещено в начало координат, то они называются радиус-векторами, а множество их концов годографом вектор- функции г(г), ! б Х. Физический смысл годографа вектор-функции г(1) состоит в том, что он является траекторией движущейся точки, совпадающей с концом радиус- вектора г(1), причем за параметр 1 можно принять время.
2) Если вектор-функция г(1) определена в некоторой проколотой окрестности то ти 1о, то вектор а называется пределом функции г(1) в точке 1о (или, что то же самое, при 1 — г 1о), если для любого е > О сушествует такое д > О, что для всех 1, удовлетворяюших условию !! — 16~ < б, !у'= 16, 4 24. Вектор-функции. Кривые 457 4) Если существует предел Впо г(~) — г(~о) о — ооо 8 — уо то он называется производной вектор-функции г(7) в точке уо и обо- де значается г'(7о) или — (Уо).
47, Если Хуу = у — уо, соог = г(2) — г(7о) = г(Хо + йоо) — г(уо) (вектор Ьг называется приращением вектор-функции г(2) в точке 7о), то (рис. 24.2) ~'(7~) = Пщ (3) ги о оку Вектор-функции г(Х) = (х(У); у(Х); е(о)) имеет в точке Хо производную тогда и только тогда, когда ес координатные функции имеют в этой точке производные, причем г (Хе) = (х (Хо); у (Хе)' е (Хв))- Если годограф вектор-функции г(7) является траекторией движущейся точки, а за параметр 1 принято время, то производная йг — 'м йу является мгновенной скоростью в момент времени Х = Хо.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
