1610915389-9cf4bb28a9b372fd268dec258c2fd2e7 (824751), страница 74
Текст из файла (страница 74)
29. Ц г = л/Яу; (О;О) центр сил)метрии: асимптота х = 0; максимум х = 1/л/2 при д = 1/уГ2, минимум х = — 1/л/2 при д = = — 1) 2) """ а б -'* =д = °,* = —. =хтзгз — 12)2 ад *) Уназан опии из возможных вариантов нарамвтризапии, ул. 4. Применение производных к исследованию функций у =-у,=121 рррр 11; 2) лемниската; г = „/згп2)рг)2; прямые д = хх оси симметрии; (О;О) точка самопересечония; максимум х = ~~у)277,)4 при д = ~ГЗ)4, минимум х = — ту)27))4 при д = — уу)3))4; максимумы г = 1))ту)2 при р = л,)4 и )р = 5пг)4; 2)ун«; =2)угр Бур; » р»рн р=у.
оси симметрии; (О;0) —.-изолированная точка; (х1;0), (О;х1) .— точу р;. у *=у))ру 1))2 . =-2))удрр))2 р у=22)уу; у=)))ууур))2 „„юу.„„у=-)г)руур))у,р, *=21) 2; точки перегиба (приближенно) (х1205;х0,35), (х0235; х1,05) (знаки произвольны): 4) г = ; прямые д = хх .
- оси симметрии; н|аксимум х = тзг)27/16 при д = тзгУЗ,)16, минимум х = — та)227))16 при д = — тзг)3/16; максимум д = таг)27,)16 при х = тзгУЗ/16, минимум д = = — таг)27/16 при х = — таггЗ/16; максимум г = тГ2 при )р = к,)4 и |р = 5кг)4; 5) г = ьlт8 2)р))2; (О;. О) — центр симметрии; асимптоты д = ххц (О;0) точка самопересечения; точки перегиба (приближенно): х| = = — тз 1,11, д| = — дз 0,68, ха = — хе а — 0,68, да = — где 1,11; 6) г = (Зсоз2)р — 1)г)(2соз2уо); оси координат .
оси симметрии; асимптоты д = хх; (О; 0) -- точка самопересечения; максимум х = 1 и минимум х = — 1 при д = 0; максимум д = ту)2 и минимум д = = — 2/2 при х = О, максимумы д = (хГЗ вЂ” 1)г)2 и д = — (тГЗ+ 1)г)2 и минимумы д = (ъ'3+ 1))2 и д = — (ъ'3 — 1)гу2 при х = ~1))ъ)2; 7) улитка Паскаля: г = 2сов)р х1: ось абсцисс . ось симметрии; (О;0) -- точка самопересечения; (3;0), (1;0), (О;х1) —.- точки пересечения с оснми координат; максимумы х = 3 и х = 1 при д = О, минимумы х = — 1))8 при д = ~./Р55,)8 - х0248) максимум д 1,76 и минин|Ум д — — 1,76 пРи х = (15-|- Уг)333)г)16 ре 1,3, максимУм д = 0,37 и минимум д — — 0,37 при х = (15 — т)УЗЗ)г)16 = 0258; 8) улитка Паскаля: г = 2+сову), г = 0; ось абсцисс ось симметрии; (О;0) изолированнан точка; максимум х = 3 и минимум х = — 1 при д = 0; максимум д 2,2 и минимум д — 2,2 при х = т)УЗг)2 - 0,87.
30. 1) Ось ординат ось симметрии; (О;0) точка самопересечения; (О;6) точка пересечения с осью ординат; максимум д = 6 при х = О, минимумы д = — 2 при х = +2тГ2; имеются два максимума и два минимума х; 2) четыре)слепестник; оси координат и прямые д = хх --. оси сим- 4ЛП Построение графиков мстрии; (О; 0) точка самопересечепия; максимумы х = 2 и минимумы х = — 2 при р = ~т/2; максимумы у = 2 и минимумы у = — 2 при х = хт/2; (О;0) " точка перегиба; 3) ось ординат ось симметрии; (О; 0) точка саклоперссечеллия; максимум х = л/2/3 и минимум х = — т/2/3 при у = 16/9; максимумы у=2 при х= х2; 4) асимптота р = 1 — х; (О;0) "-точка возврата; (4:0) -- точка пересечения с осью абсцисс: максимум х = 27/8 при у = — 9/8; точка перегиба (27/4;9/4); 5) каппа; оси координат оси симметрии; асимптоты у = х2; (О; 0) точка самопересечения и перегиба; 6) прямая р = х — ось симметрии; асимптота у = (2 — Зх)/3; точки пересечения с осями координат (1;0), (О; 1); (О;0) -- изолированная точка; максимум х 1,1 при у = 2/3, минимум х = 1 при у = 0; максимум у — 1,1 при х = 2/3, минимум р = 1 при х = 0; точки пери иба (2(3 х т/3)/9; 2(3 х т/3)/9); 7) прямая у = — х ось симметрии; (О;0) точка пересечения с осями координат; минимум = Зт/2/2 при у = — Зт/4/2; мак- 2 3= — 3 212 б =3 442, б б (334488 33гб; — Элдэ2 28312) б б (2,18; — 4,123, н,13; — 2218); 8) прямая р = х - ось симметрии; асимптоты и = 1, у = х, х = 1; точка самопересечения (е; е).
31. 1) Четырехлепестковая роза; оси координат и прямые д = = хх — оси симметрии; точка самопересечения (О;0); максимуллы г = 1 при со = бг(1+ 2й)/4, й= 0,1,2,3; при 0(бр ( я/2 максимум х = 43/3/9 при у = 23/6/9 (бр = агссоа,22/3): максимум р = 4т/3/9 при х = 2к/6/9 (442 = агсх4п 3/2/3); 2) трехлепестковая роза; прямые у = О, П = хт/Зх - - оси симметрии; (О;0) --. точка самопересечения; максимумы г = 1 ллри 442 = О, х2я/3; максиклукл т = 1 при р = 0 (бр = 0), минимунлы х = — 9/16 при р = х332/Г5/16 *0,73 (иб = хагссоа( — к/6/4)); максимум р 0,185 и клиллимум р — — 0,185 при х - 0,63, максимум у — 0,88 и минимум р - -0,88 при х = -0244; 3) (О;0) центр симметрии, точка самоперссечения и точка перегиба; асимптоты у = хх — 1/т/2 при х — л +со и у = хх + 1/к/2 при х -+ — со; 4) прямые х = 0 и р = йх/т/3 оси симметрии; асимптоты р = = О, у = ~хт/3; минимумы г = 1 при р = я(1+ 4й)/6, й = 0,1, 2; минимум х 0,83 и максиклум х — 0,83 при у — 0,68: максиклукл у - -1 при х = 0; 5) кривая из задачи 29,8) без изолированной точки (О; 0); йзо Гл.й.
Применение производных и исследованию сДуннний 6) кардиоида; ось абсцисс ось симметрии; (О;0) точка возврата: (2;0), (О;х1) точки пересечения с осями координат; максимум х = 2 при у = О, минимумы х = — 1зс4 при у = +ъзЗ/4 (ср = = ~2зс/3); максимум у = ЗсГЗ/4 и минимум у = — Зъ'Ззс4 при х = Ззс4 (р = ххссЗ),: 7) часть кривой из задачи 29, 7); 8) кривая, симметричная кривой 7) относительно оси ординат; 9) ось абсцисс — ось симметрии; асимптота х = 2; минимум х = 1 при у=О (ср=О); 10) (О; 0) — — центр симметрии; асимптоты х =*1; точки пересечения с осями координат (х1; О), (О; О); максимум х = тзс2 при у = сзз2, минимум х = — сзз2 при у = — ъ'2; максимум у - 0,23 при х - — 0,5, ллиниллум у — 0,23 при х 0,5; точки перегиба (О;0) и (приблилсенно) ф1,35; ~2,58).
~ 22. Задачи на нахождение наибольших и наименьших значений СПРАВОЧНЫЕ СВЕДЕНИЯ В прикладных задачах при нахождении наибольшего или наименьшего значения дифференцируемой функции 7(х) на отрезке [а; Ь] или на интервале (а;Ь) уравнение ~'(х) = 0 обычно имеет единственное решение хо Е (а; Ь), причем производная 1(х) имеет один и тот же знак ца интервале (а; хо) и противоположный знак на интервале (хо, Ь). В этом случае число г(хо) является нс только локальным экстремумом функции г", но и ее наибольшим значением на интервале (а;Ь) или отрезке [а;Ь], если производная при переходе через точ- ку хв меняет знак плюс на минус, и наи- В меньшим значением, если производная при переходе через точку хо меняет знак минус на плюс. ПРИМЕРЫ С РЕШЕНИЯМИ Пример 1. Среди всех равнобедренных треугольников, вписанных в данный круг, найти треугольник с наибольшим периметром.
а Пусть треугольник АВС вписан в круг радиуса В, причем АВ = ВС (рис. 22.Ц. Обозначим сВАС = н. По теореме синусов АВ = ВС = 2Ввш сх, АС = 2Вгйп(зг — 2о) = 2Ввш2о, Вез. Зада ш на нахенедение наибеаьших и наизгеньших значений евг поэтому периметр треугольника АВС будет равен Р(гг) = 2Л(2 вгп о + гйп 2о), где О < о < л/2.
Отсюда находим Р'(а) = 4Л(сов2сг+ совгг) = 4Л(2сов ге+ сова — 1) = = 4В(2совгч — 1)(саво+ 1). Уравнение Р'(о) = О имеет на интервале (О;л/2) единственное решение о = л/Зг причем Р'(о) > О при а е (О;зг/3) и Р'(гт) < О при о е (я/3;л/2). Следовательно, число Р(зг/3) является наибольшим значением функции Р(о) на интервале (О: зг/2). Но если ~ВАС = = гг = н/3, то ОВСА = л/3 и, значит, ~АВС = л/3, т. е. АВС равносторонний треугольник. Итак, среди всех равнобедренных треугольников, вписанных в данный круг, наибольший периметр имеет равносторонний треугольник.
а П р и м е р 2. Определить размеры закрытой коробки объема е с квадратным основанием, на изготовление которой расходуется наименьшее количество материала. а Пусть х сторона основания коробки, Ь высота коробки, Я ее полная поверхность. Тогда 5=2х ч-4хй, и=х 6, откуда Я(х) = 2х + 4и/х и, следовательно, У(х) = 4(х — а/хз), Уравнение Я'(х) = О при х > О имеет единственное решение ха = = фж причем при переходе через точку хо функция 5'(х) гиеняет знак минус на плюс. Следовательно, хо точка минимума функции 5(х), а число 5(хо) является наименьшим значением этой функции при х > О. Из формулы п = хзгг следует, что если х = (з/а, то ге= 1в/ш Таким образом, высота коробки должна быть равна стороне основания, т.
е. коробка Должна быть кУбом с РебРом Лз/ш а П р и м е р 3. Найти радиус основания цилиндра наибольшего объема, вписанного в шар радиуса Л. а Пусть г и 6 соответственно радиус основания и высота цилиндра, вписанного в шар радиуса Л, а --- объем цилиндра (рис. 22.2). Тогда а = лгзд, (6/2)з + гз = Лз, Рис. 22.2 4ЗЗ Гл.д. Применение производных и исследованию Ярнннш1 откуда и = 2лгз,Я2 — гз Обозначим 1 = гз, тогда о = 2л1тсГЛз — А где 0 < т < Л. 0 <1< Лз. Рассмотрим функцию ЗАДАЧИ 1. Среди всех прямоугольников, имеющих данную площадь Я, найти прямоугольник: 1) с наименьшим периметром; 2) с наименьшей диагональю. 2.
Найти наибольшую площадь прямоугольника, вписанного в круг радиуса Л. 3. Найти на гиперболе хз/2 — рз = 1 точку, ближайшую к точке (3;0). 4. Найти на параболе р = хз точку, ближайшую к точке А(2; 1/2). 5. Найти наибольшую площадь прямоугольника, две вершины которого лежат на осях Ох и Ор прнмоугольной системы координат, третья в точке (О;0), а четвертая на параболе р = 3 — лз. 6. Найти угловой коэффициент прямой, проходяшей через точку А(1; 2) и отсекающей от первого координатного угла треугольник наименьшей плошади. 7. Найти длину боковой стороны трапеции, имеющей наименьший периметр среди всех равнобедренных трапеций с заданной плошадью Я и углом о между боковой стороной и нижним основанием. 8.
Через точку А(2;1/4) проводятся прямые, пересекающие положительные полуоси в точках В и С. Найти уравнение той прямой, для которой отрезок ВС имеет наименьшую длину. из = 4я~зз(Лз — 1). Так как о ) О, то функция о(с) имеет на интервале (О;Лз) те же точки экстремума, что и функция и /4л = 1 (Й вЂ” 1) = У(1).
Найдем критические точки функции ~(1), решая уравнение ~'(1) = 21Л~ — Зсз = О. Это уравнение имеет на интервале (О; Лз) единственное решение за —— = 2Л""/3, причем точка 1о является точкой максимума функции, а число ~(го) наибольшим значением функции 11с) на интервале (О;Лз). Следовательно, при г = хзс)о = Л „з2/3 функция и принимает наибольшее значение, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
