1610915389-9cf4bb28a9b372fd268dec258c2fd2e7 (824751), страница 75
Текст из файла (страница 75)
е. радиус основании цилиндра, вписанного в шар радиуса Л и имеющего наибольший объем, равен Л з2/3. А 4хх. Зада ш на нахождение наибольших и нашненьших значений ЛЗЗ 9. Найти острые углы прямоугольного треугольника, имеющего наибольшую площадь среди всех треугольников, у которых сумма длин одного из катетов и гипотенузы постоянна. 10. Найти наименьшую длину отрезка, который делит равносторонний треугольник со стороной а на две равновеликие фигуры. 11.
Определить углы треугольника АВС с наибольшей площадью, если задана длина его основания ВС и известно, что утол ВАС равен о. 12. Найти стороны прямоугольника наибольшей площади, вписанного в эллипс 2! 2 2/ьа х /а + 9 /Ь = 1 так, что стороны прямоугольника параллельны осям эллипса. 13. Вычислить наибольшузо площадь трапеции, вписанной в полукруг радиуса Л так, что нижним основаниелз трапеции служит диаметр полукруга.
14. Сечение тоннеля имеет форму прямоугольника, завершенного полукрутом. Определить радиус полукруга, при котором площадь сочения будет наибольшей, если периметр сечения равен р. 15. Через какую точку эллипса хз/аа + дз/Ьз = 1 следует провести касательную, чтобы плошадь треугольника, образованного этой касательной и положительными полуосями Ох и Оу, была наи- меньшейГ 10. Лист картона имеет форму прямоугольника со сторонами а и 6. Вырезая по углам этого прямоугольника квадраты и сгибая выступающие части крестообразной фигуры, получим открытую сверху коробку, высота которой равна стороне квадрата.
Какой должна быть сторона квадрата, чтобы объем коробки был наибольшимГ 17. Из трех досок одинаковой ширины нужно сколотить желоб. При каком угле наклона боковых стенок площадь поперечного сечения желоба будет иаибольшейГ 18. Найти высоту правильной треугольной призмы наибольшего объема, вписанной в шар радиуса Л. 19. Круг радиуса Л разделен на два сегмента прямой 1, отстоящей от центра круга на расстонние 6. Среди всех прямоугольников, вписанных в меньший из этих сегментов, найти прямоугольник с наибольшей площадью.
20. Найти наибольший объем цилиндра, периметр осевого сечения которого равен а. 21. Вычислить наибольший объем цилиндра, полная поверхность которого равна 5. 22. Консервная банка имеет цилиндрическую форму. Найти наиболее выгодные размеры банки, т. е.
определить отношение диаметра Гл.4. Применение производных к исследованию функций основания к высоте цилиндра, имеющего при заданной полной поверх- ности наибольший объем. 23. Каким должен быть котел, состоящий из цилиндра, завершенного полусферами, со стенками заданной толщины, чтобы при данной вместимости и ца него пошло наименьшее количество матсриалаГ 24.
Определить отношение радиуса основания к высоте цилиндра, имеющего при данном объеме наименьшую полную поверхность. 25. Найти наибольшую полную поверхность цилиндра, вписанного в шар радиуса Н. 26. Из всех цилиндров, вписанных в куб с ребром и так, что ось каждого цилиндра совпадает с диагональю куба, а окрузкности оснований касаются граней куба, найти цилиндр наибольшего объема. 27. Найти высоту конуса наибольшего объема, вписанного в шар радиуса Л. 28. Найти высоту конуса наименьшего обьема, описанного около шара радиуса Ры 29.
В конус, радиус основания которого равен Л, а высота Н, вписан цилиндр наибольшего объема. Найти радиус основания и высоту этого цилиндра. 30. Из круглого листа жести вырезают сектор и свертывают его в коническую воронку. Каким должен быть угол сектора, чтобы воронка имела наибольший объемГ 31. Найти наименьшую боковую поверхность конуса, имеющего объем о. 32. Найти наибольший ооъем конуса с данной образующей й 33. Найти наименьший объем конуса, описанного около полушара радиуса т (предполагается, что основания полушара и конуса лежат в одной плоскости и концентричны). 34.
Рассмотрим пучок прямых, проходящих через точку ЛХ(а; 6), где а > О, Ь > О., и пересекающих положительные полуоси Ох и Оу. Найти наименьшую длину отрезка РЦ, где Р и Я --- точки пересечения прямой пучка с положительными полуосями. 35. Камень брошен с заданной начальной скоростью под углом о к горизонту.
Пренебрегая сопротивлением воздуха, определить, при каком о дальность полета камня будет наибольшей. 36. Внутреннее сопротивление гальванического элемента равно г. При каком внешнем сопротивлении мощность тока, получаемого от этого элемента во внешней цепи, будет паибольшейГ 37. В чашку, которая имеет форму полушара радиуса Н, опущен однородный стержень длиной 1, где 2Н ( 1 ( 4Л. Найти положение равновесия стержня. 4хх.
Зада ш на нахождение наибольших и наиззеньших значений ЛЗЭ 38. К реке, ширина которой равна а, под прямым углом построен канал шириной Ь. 11айти наибольшую длину бревна, которое можно провести из реки н этот канал. 39. Чтобы уменьшить трение жидкости о стенки канала, площадь, смачиваемая водой, должна быть возможно меньшей. Показать, что лучшей формой открытого прямоугольного канала с заданной площадью поперечного сечения является такая, при которой ширина канала в два раза больше его высоты. 40.
Из круглого бревна вытесывается балка с прямоугольным поперечным сечением. Считая, что прочность балки пропорциональна ап-, где а основание, 6 высота прямоугольника, найти такое отношение Ь/а, при котором балка будет иметь наибольшую прочность. 41. Сосуд с вертикальной стенкой высоты 6 стоит на горизонтальной плоскости.
Из отверстия в стенке сосуда бьет струя. Определить положение отверстия, при котором дальность струи будет наибольшей, если скорость вытекающей жидкости равна ч/2ух,. где х .— глубина отверстия (закон Торричелли'Ь 42. Завод А нужно соединить шоссейной дорогой с прямолинейной зкелезной дорогой, на которой расположен поселок В. Расстояние .4С от завода до железной дороги равно а, .а расстояние ВС по железной дороге равно Ь. Стоимость перевозок грузов по шоссе в Ь раз (Ь > 1) выше стоимости перевозок по железной дороге.
В какую точку В отрезка ВС нужно провести шоссе от завода, чтобы стоимость перевозок грузов от завода А к поселку В была паимепьшейГ 43. На какой высоте над центром круглого стола радиуса Л следует поместить электрическую лампочку, чтобы освещенность края стола была наибольшейГ 44. Светящаяся точка расположена на линии центров двух шаров и лежит впе этих шаров. При каком положении светящейся точки сумма площадей освещенных частей поверхностей шаров будет наи- большейГ 45. Груз, лежащий на горизонтальной плоскости Р, нужно сдвинуть с места силой, приложенной к этому грузу.
Определить угол, образуемый этой силой с плоскостью Р, при котором величина силы будет наименьшей, если коэффициент трения груза равен й. 46. Наблюдатель находится напротив картины, закрепленной на вертикальной стене. Нижний край картины расположен выше уровня глаз паблюдателн на а, верхний край па Ь. На каком расстоянии от стены должен стоять наблюдателен чтобы утол, под которым он нидит картину, оказался наибольшимГ 47. Точка А(хо, .уо) Расположена внУ тРи паРаболы Уз = 2Рх, Р > О, точка В на самой параболе, Р ее фокус.
Доказать, что длина Гл.4. Применение производных к исследованию функций ломаной АВЕ будет наименьшей, если отрезок .4В параллелен оси параболы, а угол РВА делится нормалью к параболе в точке В пополам (принцип параболического зеркала). 48. Точки А и В расположены соответственно в верхней и нижней полуплоскостях прямоугольной системы хОу. Частица движется по ломаной АЛХВ, где ЛХ точка оси Ох.
Скорости движения частицы в верхней и нижней полуплоскостях соответственно равны от и из. Доказать, что время движения частипы будет наик|еныпим, если вгпа/яп,гХ = от/из, где а, Д вЂ” углы, образуемые отрезками АЛХ и ВЛХ с нормалью к оси Ох (в оптике зги углы называют соответственно углом падения и углом отражения).
ОТВЕТЫ 1. 1) Квадрат со стороной т/В; 2) квадрат со стороной х/В. 2. 2Л-'. 3. (2;1), (2;-1). 4. (1;1). 5. 2. 6. -2. 7. х/в/втпа. 8. 2х+4у = 5. 9. и/3 и и/6. 10. а/з/2. 11. (х — а)/2, (т — а)/2. 12. а ~2, Ьз/2. 13. Лзчт27/4. 14. ет( +4). 1е. ( Г 2;гГК2Г 16.
( +г — ' — ъ+ете. 17..т/3. 18. 2Л/хгЗ. 19. Расстояние от центра круга до стороны прямоугольника, параллельной прямой (, равно (Ь+ /8тг+ Ьз)/4. 20. паз/216. 21. Язгг/(Зт/бк). 22. 1. 23. Котел должен иметь форму шара с внутренним радиусом фЗо/(4п). 24. 1/2. 25. тг(ч/5+ 1)Лз. 26. Высота цилиндра а/т/3, радиус его основания а/т/6. 27. 4Л/3. 28. 4Л. 29. Радиус основания 2Л/3, высота Н/3. 30. 2згх/2/3.
31. Зт~в(хиз/2)тХгз. 32. 2хРчгЗ/27. 33. хт'зиГЗ/2. 34. (аздз + ЬзХз)зрй 35. л/4. 36. т. 37. Угол наклона стержня к горизонту равен „„(В е О 9712зячт!ЕП). 38. (агХз+Ьз1з)'Пз 40. Л. 41. Ь/2. 42. ВР = Ь вЂ” а/з/Ьг — 1, если Ь > а/т/кз - 1; ВР = О, если Ь ( < а/ъ%з: 1. 43 Л/т/2. 44. т,'/т,' = Лзг/Лз~, где т, и тг расстояния от светящейся точки до центров шаров с радиусами Лт и Лг соответственно. 45. агсгпЬ, 46. т/аЬ. 4Ю.
Численное решение уравнений ~ 23. Численное решение уравнений СПРАВОЧНЫЕ СВЕДЕНИЯ Интернал, содержаший только один корень*) (одно решение) уравнения з"(х) = О, (1) называют интервалом изоляции этого корня. Отделить корни уравнения значит указать для каждого из них интервал изоляции. Метод деления попал м (ополовинного деления", "взятия в вилку") используют для нахождения первого (часто говорят — нулевого) приближения к корню уравнения, а также для нахогкдения достаточно малого интервала изоляции.
Пусть !'(х) непрерывна на отрезке [а;6], (а;6) — - интервал изоляции корня ~ уравнения 1(х) = О. Определиги знак 1(с) в середине с отрезка [а;6] (если з(с) = О, то корень с = с найден), и пусть [ат,.Ьг] тот из отрезков [а;г], [с,6], на концах которого функция 1(х) имеет значения разных знаков. Аналогично выберем отрезок [аг,Ьг], вдвое меньший, чем [а~,.Ьг], и т, д, В результате получим последовательность вложенных отрезков 1[а„;6„]), на концах которых функции 1(х) принимает значения разных знаков, длина иго отрезка равна (Ь вЂ” а)/2", или на каком-то шаге найдем корень ч. Имеем !пп а„= !нп Ьо = с и — гсм и — гсо О ( ~ — а„< (Ь вЂ” а)/2о, О < ܄— Ч < (Ь вЂ” а)/2".
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
