1610915389-9cf4bb28a9b372fd268dec258c2fd2e7 (824751), страница 77
Текст из файла (страница 77)
В силу выпуклости вниз график у = е' Рис. 23.3 лежит ниже отрезка АВ, где В(1:е '). По- этому и точка его пересечения с графиком у = х лежит ниже точки пересечения прямой АВ с этим графиком. В уравнение прямой АВ ц — е. -' е ' — е подставляем П = х и находим х' = 1/(е — е+ 1), 5 < х'. Итак, найден лучший интервал изолнпии е < с < 1/(е — е+ 1). Для перехода к числам оценим левую и праную грани соотнетственно снизу и сверху". 0,135 < е 2 < 5 < 1/(е — е + 1) < 0,177. За приближенное значение корня возьмем середину интервала ~* = (0,135+ 0,177)/2 = 0,156 с погрешностью )5 — 5'( < (0,177 — 0,135)/2 = 0,021. а Пример 2.
1) Указать сходящийся итерационный процесс для вычисления наименьшего корня уравнения 2хз — 8х + 1 = О. 2) Найти с помощью итераций приближенное значение наименьшего корня уравнении х — 1п х — 2 = 0 с погрешностью не более чем 5 10 а 1) В примере 1 был найден интервал ( — 13/6: — 92/45) изоляции наименьшего корня ~ данного ураннения. На этом интервале ураннение равносильно каждому из следующих уравнений: 2хз + 1 8х — 1 3 8х — 1 = Р (х), = , , = 1 (х) * = )( 2 = ~ ( ).
Лля производных со~(х) (й = 1,2,3) на отрезке [ — 13/6: — 92/4ос) имеем оценки ~,р',(х)~ = Зхз/4 > 3/4 . 4 = 3 > 1, н 2/3 уел'. Численное решение уравнений Ясно, что для построения итерационного процесса следует выбрать *и. - пп. ° * = Оа*-сип. пп. ° ° --. пп. удовлетворяет условию 15) с й = 0,32. Если в качестве нулевого приближения взять полученное в примере 1 значение С", то последовательность 14) будет определена н будет сходиться к корню С. 2) Левая часть данного уравнения положительна при т = 1/ез и отрицательна при х = 1. Производная левой части отрицательна при 0 < х < 1, поэтому на интервале 10;1) уравнение имеет и притом только один корень С, он и является наименьшим.
Данное уравнение, записанное в виде х = 1п х + 2, непригодно для построения итерационного процесса, так как 11пх+ 2)'=1/х >1 при хе 10;1). Преобразуем уравнение к знакомому по примеру 1 виду х = е' (26) Здесь 1е' э)' = е* а ( е ' < 1 при х Е [О; Ц, и, значит, для уравнения 126) итерационный процесс будет сходиться. В примере 1 были найдены приближенное значение наименьшего корня б' = 0,156 и его интервал изоляции 10,135; 0,177).
На этом интервале ( * — э)' < — и пзз < 0 162 — ~ 1работаем на обычном калькуляторе с математическими функциями). Вычислнем первое приближение: хч = еп ' = 0,1581834... Видно, что ~* < ~. Итерационная последовательность х„ = е»"-' п, Е рй, явлнется возрастающей. Округляя с недостатком, примем хп = = 0,158183 и найдем согласно 17) число итераций, требуемое длн достижения заданной точности: 0 162и 1 — 0,1б2 10,158183 — 0.,156) < 5 10 ', 0,162и ( 1,919 10 з, 1,62 10 " < 1,919 10 проверяя и. = 2 и и = 3, находим, что и = 3.
При этом и будем иметь оценку согласно 17): О < ~ — . < 1,.П . РО '. 127) Результаты вычислений приведены в следующей таблице: Округлня еще раз по недостатку, можно взять 5* = 0,15858 с погрешностью, заведомо не превышающей 2 10 '. Можно также заметить, Гл.4. Применение производных и исследованию фуннци11 что из (27) следуют неравенства 0,158584 < 5 < 0,158596 (с учетом погрешности округления), поэтому выбор приблилзснного значения ~' = 0,15859 дает большую точность. А П р и мер 3. Найти наименьший корень уравнения 2хз — 8х + 1 = = 0 с погрешностью, меньшей, чем 5 10 '".
я В примере 1 был найден интервал ( — 13/6; — 92/45) изоляции наименьшего корня ~. Для уменьшения этого интервала воспользуемся комбинированным методом. Поскольку /'(х) = 6хз — 8 > 16 > О, /и(х) = 12х < -24 < О, итерационную последовательность по методу касательных построим от начального приближения х'„= — 13/6: Хп = Х'„— /(Մ— 1)// (Х вЂ” 1) пЕИ, а для последовательности по методу Рис.
23сл хорд возьмем за начальное приближение т" = — 92/45, остальные члены последовательности вычисляем, используя (18), по формуле 1 и ~ /(хп-1), и п п — 1 /( и ) /( ! )1 'п — 1 п — 1)' подставляя в (18) на каждом этапе вместо хо значение х'„ (рис. 23.4). Вычисления проводим, например, по схеме, указанной в следуюшей таблице; Здесь рп = /(х'„)//'(х'„), д„= /(х'„)/(/(х'„') — /(х'„)). Уже после второго этапа вычислений получаем, что -2,05983 < 5 < -2,05978, ухо'. Численное решение уравнений поэтому, полагая с' = †(2,05983 + 2.,05978)/2 — — 2,05980, получаем приближенное значение корня с погрешностью не более чем 2,5 10 о.
А ЗАДАЧИ 1. Решить графически уравнение, указан для каждого корня интервал изоляции, длина которого не превосходит 0,5: 1) хз — Ох + 2 = 0; 2) хл — 4х — 1 = 0; 3) хз + 2х + 7,8 = 0; 4) хз — 1 75т + 0 75 = О. 5) 2тз — хз — х — 3 = 0 6) тз + хз — 5т — 12 = 0; 7) хз — 0,2хз — 0,2т — 1,2 = 0 8) 0 Зхл — 0 7хз — 0 Зтз — 2 = 0 2. Решить графически уравнение, указав для каждого корня интервал изоляции, длина которого не превосходит 0,1: 1) 2хз + х + 1 = О; 2) хл — х — 1 = О; 3) х + е" = 0; 4) т,— ыпх — 1 =0: 5) х = се8х, х е (О:л); 6) тз — соах = 0; 7) 4х — 5 1пх = 5; 8) х' = 10.
3. Доказать, что с помощью сдвига вдоль оси Ох или сжатия (растяжения) вдоль оси Ох уравнение иох" + о1х" ' + ... + о„1х+ о„= О, ао ~ О, можно принести к виду Ьо1" + Ь,ги-з+ ... + Ьи,Г+ Ь„= О или к виду соз" + сел" + ... + с„= О, где )со) = )с„~. 4. Пусть коэффициенты мпогочлена Р„(х) =похе жа,х" '+...+о„1х-ро„, ао~О, удовлетворяют равенствам и, = ии , (г = 0,1,...,п).
Доказать, что: 1) если п нечетно, то х = — 1 †. корень многочлена и коэффициенты частного 11„, =Ь хи +Ь1хи +...+Ь, з +Ь„ от деления Р„(х) на х+1 удовлетворяют равенствам Ь, = Ьи (е = О, 1, ..., п — 1); 2) если и четно, то замена з = х+ 1/х приводит уравнение Р (х) = = 0 к уравнению степени п/2 и к п/2 квадратным уравнениям; 3) если п четно, то замена (х+1)з также приводит уравнение Р„(х) = 0 к уравнению степени п/2 и к п/2 кяадратным уравнениям. 446 Гл.д. Применение производных к исследованию суупкпиа 5. Пусть функция 1 определена, дважды непрерывно дифферен- цируема на й и 1о не меняет знака на й.
Доказать, что: 1) уравнение )'(х) = О не может иметь более двух действительных корней; 2) если 1(хо)1'(хо) < О, 1(хо)уи(хо) < О, то УРавнение ((х) = О имеет единственный корень в интервале (хо, хо — 1(хо)з')'(хо)); 3) если Х'(хо) = О., 1(хо))о(хо) < О, то уравнение 1(х) = 0 имеет по одному корню в интервалах ( †;хо), (хо, 4-со).
О. 1) Пусть функция г" непрерывна на (а;+со), дифференцирусма на (а;+ос), 1(а) < О, 1'(х) > т, > О на (а;+со). Доказать, что урав- нение 1(х) = 0 имеет и притом только один действительный корень на (а:+ос); 2) привести пример, который показывал бы, что условие "1(х) > > т > О на (а;+со)" нельзя заменить условием "ги(х) > О"; 3) доказать, что при условиях 1) корень уравнения принадлежит промежутку (а; а — Г(а) (зтз).
7. Корень ~ уравнения г(х) = 0 называют р-кратным (р Е И), если 1(х) = (х — ()"р(х), где уз® ~ О. Однократный корень называют простым. Доказать, что: 1) если г" дифференцируема в окрестности р-кратного (р > 2) корин ~ уравнения г"(х) = О, то ( является (р — 1)-кратным корнем уравнения 1(х) = О; 2) если ае — 36 < О, то уравнение хз + ахи + Ьх + с = О имеет один простой действительный корень. 8.
Доказать, что многочлен х" + опх" + азхп + ... + ап зх — а„, где а, > 0 (1 = 1., 2, ..., и — 1), а„> О, имеет только один положитель- ный коРень, пРичем этот коРень пРостой и не пРевосхоДит бзаоо. 9. Доказать, что все корни производной многочлена Рл(х) = (х + 1)(х — Ц(х — 2)(х — 3) действительны, и найти их интервалы изоляции, длина которых нс более чем 0,5. 10.
Доказать, что многочлен аохп+азхп ~+...+х„зх+а„, ао у-О, имеет по крайней мере один корень на интервале (О: 1), если ао((п+ 1) + аз/и+ ... + а„з!2+ а„= О. 11. Расположим по возрастанию номеров коэффициенты оо, аз, ... ... ап, многочлена Рп(х) = аох' + азх" + ... + а„1х + ап, пропуская коэффициенты, равные нулю. Числом перемен знака по- лучившегося упорядоченного набора называют число пар соседних уЮ. Численное решение уравнений элементов, имеющих разные знаки. Доказать, что число положительных корней многочлена не больше числа перемен знака в наборе его коэффициентов, не равных ьсулю.
12. Доказать, что многочлен; 1) х' — 2хл — хг — 5 = 0 имеет и притом единственный действи- тельный корень: указать для этого корня интервал изоляции, длина которого не более чем 0,1; 2) те + 2хл + х — 3 = 0 имеет и притом только два действитель- ных корня; указать для этих корней интервалы изолнпии, длина ко- торых не более чем 0,1. 13. Доказать, что все корни уравнения иох" +а1хи '+ ... +а„ьх+а„= О, ао ф 0: 1) удовлетворяют неравенству ]С] < 1+ Ы1,с]ао], где Люсь = шах(]ас],]аг], ...,]аи]); 2) при о„ф 0 удовлетворяют неравенству ф > (1+ ЛХгДаи]) где Мг = спасе (]оо].,]о1], ",]он- 1]).
14. Пусть в уравнении аох" Ч-а1хи 1ж...жа„1хжа„=О, ао>0, ау (Й > Ц отрицательный коэффициент с наименьшим номером, А наибольшая из абсолютных величин отрицательных коэффи- циентов. Доказать, что все действительные корни этого уравнения удовлетворяют неравенству Ч < 1+ (ссА7а (теорема Лагранжа). 15. Пусть для многочлена Р„(х) = иох" +аьхЛ + ... + по,х+ он существует такое число с > О, что РОО(с) > 0 (й = 0,1, ...,и'), и пусть ао > О. Доказать, что все действительные корни этого мно- гочлеиа удовлетворяют неравенству ( < с (теорема Ньютона).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
