1610915389-9cf4bb28a9b372fd268dec258c2fd2e7 (824751), страница 78
Текст из файла (страница 78)
16. Пусть многочлен Р„(х) представлен в ниде Р„(х) = су(х) + Н(х), где су(х) содержит старший по степени член многочлена Р„(х) с по- ложительным коэффициентом и все члены с отрицательными коэф- фициентами, а Н(т) содержит все остальные члены Р„(х). Доказать, что если Я(с) > 0 при некотором с > О, то все действительные кор- ни Ри(х) меньше с. 17. Доказать, что уравнение Р(х) = 0 не имеет отрицательных корней, и, пользуясь результатами задач 13- 16, указать отрезок (а:Ь], 0 < а < 6, содержащий все положительные корни, если: 448 Гл.д. Применение производных и исследованию Езуннашг 1) Р[х) = 2хв — 100хз + 2х — 1; 2) Чз[х) = хл — 35хз + 380хз — Г350х + 1000. 18.
Указать отрезки [аг,бг], аз < бз < О, и [аз,.бз], 0 < аз < бз, содержащие соответственно все отрицательные и все положительные корни у равнения Зха + 7хл — 8хз + 5хз — 2х — 1 = О. Для положительных корней указать интервалы изоляции, длины которых не превосходит 0,5. 19. Доказать, что уравненио ха+ х'+ хе+ 10х — 5 = 0 имеет единственный корень, и указать интервал его изоляции, длина которого не превосходит 0,1. 20. 1) Доказать, что если 4рз + 27Чз > О, то уравнение хз + рх + + о = О, р,о Е й, имеет один действительный корень, а если 4рз + + 27бз < О, то зто уравнение имеет три действительных корня; 2) при каком условии на а, 6, с все корни уравнения хз + ахз + + бх + с = 0 действительныГ 21. При каком условии на р и д нсе корни уравнения ха — 5рхз + + 5рзх + 2д = 0 действительныГ 22.
При каком условии на р и о все корни уравнения х + ртп + + 9 = О, где т > п > О, т... п е М, Ч ф О., р ф О, действительныГ 23. Доказать, что уравнение [28) где а, Е Й [1 = 0,1, ...,в): 1) имеет хотя бы один корень в интервале [ — 2; 2), если [ос[ < 2; 2) имеет корень в интервале ( — 21;21), где 1 = [[ао[/2)гцзплгз [теорема Чебышева). 24. Указать в зависимости от значений а Е Й количество действительных корней уравнения: 1) х" — 4ахз — 2 = 0; 2) 2хз — Захе+ 1 = О. 25. Найти все значения а Е Я, при которых уравнение имеет указанное число действительных корней: 1) 2хз + 13хз — 20х + а = О, один корень; 2) Зхз+1,5хз — 12х+а = О, один двукратный корень и один простой; 3) Зх~ + 8хз + и = О, два простых корни; 4) 9хл + 14хз — 15хз + а = О, четыре различных корня.
26. Доказать, что уравнение 2ел + хз + 18х — 6 = 0 имеет единственный положительный корень; указать его интервал изолнцин, длина которого не превосходит 0,2. 27. Указать в зависимости от значений а число корней уравнения: 1) 1пх+ах = 0; 2) х1пх = а; 3) ел = ах"; 4) с1зх = ах; 5) созз х81пх = а; х с [О; я].
Зио, Численное решение уравнений 28. Указать все значения а 6 Я, при которых уравнение имеет указанное число действительных корней: Ц е* = а+ х — хг, два различных корня; 2) хг + х — 1п х + а = О, один двукратный корень; 3) хг = а 1и х, два различных корня; 4) багс18х — хг + а = О, три различных корня. 29. Дано уравнение 1пх — а — Ьх = 0; Ц доказать, что это уравнение не может иметь более двух корней; 2) указать на координатной плоскости множества точек (а: Ь), для которых число корней данного уравнения равно: О, 1, 2.
30. Дано уравнение е' — а — Ьхз = 0: Ц доказать, что зто уравнение не может иметь оолее четырех корней; 2) указать на координатной плоскости множества точек (а;Ь), для которых число корней уравнении равно: О, 1, 2, 3, 4. 31. Пусть сг > 1. Доказать, что уравнение а' = Ьх; Ц имеет два действительных корня при Ь > е!па; 2) имеет один двукратный действительный корень при Ь = е1па; 3) не имеет действительных корней при 0 < Ь < е1па; 4) имеет один простой корень при Ь < О. 32. Указать количество корней уравнения х" = ае, п Е Я, в зависимости от а Е гг.
33. Отделить действительные корни уравнения, указав интервалы изоляции, длины которых не превосходят единицы: Ц»з+2х — 7=0; 2) хз — 27х — 17=0; 3) хз — бхз + 9х — 10 = 0; 4) х" — 2хз — 5хг + 2х+ 2 = 0; 5) тл — 4тз — Зт+ 23 = 0; 6) хе + бхг — 2х»+ 1 = 0; 7) хл — 10»з+ бх+ 1 = О. 8) ха + 5хз — 7»+ 2 = О. 9) '+7,' — 5х+ П =0; 10) хз — 2х" — 5хз + 19хг — 17х + 1 = 0 34. Отделить корни уравнения,' +,,Ч +, = 1, где аг-Ьт Ь»-Ьх с»-Ь», р, Ч, г, а, Ь, с Е Я, а" > Ьг > с-, рдг у- .О. 35. Отделить действительные корни уравнения, указав для каждого корня интервал изоляции, длина которого не превосходит 0,1: Ц х — зьз2» = 0; 2) х = 4созх:, 3) е' — х — 5г4 = 0; 4) 2хй — е*ьг = 0; 5) х+ 1п(х+ 2) = О.
36. Методом деления пополам решить уравнение с указанной погрешностью гл: Ц хл+х — 10=0 ~=10 г 2) хз — 12х — 8=0 юг=10 3) хз+х» — 5х — 12=0, Л=10 450 Гл.4. Прииенение производных к исследованию функций 4) хе + 2тз 1 бхз 1 О з~ 10 — з. 5) х1 — 2хз + х — 1 = О 1Х = 10 з' 6) (х — Цз — 2 з1п х = О, Ь = 10 з. 7) ех = 2(1 — х)з, зл = 10 ', 8) 10(х — Ц = шпх, сл = 10 з: 9) 101пх = хз — 3, 1л = 10 10) тех=1 Ь=10 3, 37.
Шар радиуса 1 м с удельной плотностью 0,75 плавает в во- де. Вычислить высоту выступающей из воды части шара с погреш- ностью 0,05 мм. 38. Используя графики гипербол ху = у + 1 и хз — уз = 1 и метод деления пополам, вычислить с погрешностью 0,01 координаты точек пересечения этих гипербол. 39.
Ц Привести пример уравнения 7(х) = 0 с корнем 5 и его при- ближенным значением х* так, чтобы были выполнены неравенства 1'(х) > О и !х* — Ц > 105, 17(х*)! < 10 т. е. удостовериться в том, что из "близости" ф(:г*) к нулю не следует. "близость" х' к корню 5; 2) привести пример уравнения 7" (х) = 0 с корнем 5 и его прибли- женным значением х* так, чтобы ныполнялись неравенства 7~(х) > 0 и !х* — ~! < 10 з, !Дх')! > 10, т. е. удостовериться в том, что из "близости" приближенного значе- ния х' к коршо 5 не следует "близость" 7"(х*) к нулю. 40.
Уравнение 3 е 16 5+192 (29) при х > 0 равносильно каждому из следующих уравнений: а) х = 2 ~; б) х = — -(х" + 64): в) х = — ~1 — — (; ехе — 12, 1з3 .е . 1б/ 121 3 ' 2 2 ' 3 1 хз)' г) х = — ( — + —,). Ц Доказать, что уравнение (29) имеет два положительных корня, и отделить их; 2) указать из уравнений а)-г) то., для которого итерации наиболее быстро сходятся к меньшему положительному корню уравнения (29); вычислить этот корень с точностью до 10 3) выполнить длн большего корня уравнения (29) задание, аналогичное 2). 41.
Методом итераций найти действительные корни уравнения с указанной погрешностью зл: 3+ 1000 11 щ — 4. 2) 3 3,2+8 +Ш 0 и Ш вЂ” 5. 3) хз+5х+1=0, зл=10 5 4) 10х,=е х, Ь=5 10 4 5) 4' = 8х, зл = 10 5; 6) 4е = 5(х+ Ц, ел = 10 7) хз — 2х — 5 = О, Ь = 10 'е; 8) з1пх = 2х — 0,5, Ь = 5 10 9) х — гйп х = 0,25, зл = 10 4Ю. Численное решение уравнений 45! 42.
1) Выяснить, при каких значениях: 1) а > 0 уравнение х = а' имеет решение; 2) а сходится итерационная последовательность хо = а, х, = = а'"-', и е лз. 43. Найти с четырьмя верными знаками после запятой: 1) наименьший полозкительный корень уравнения хс4пх+1 = 0:, 2) два положительных корня -- наименьший и ближайший к не- му — уравнения соз х сЬ х = 1.
44. Решить с погрешностью не более чем 10 з уравнение 4х— — 51пх = 5, выбрав для каждого корня сходящийся итерационный процесс. 45. Решить методолз хорд уравнение с указанной погрешностью з5 1) хз — 4х + 2 = О, сз = 10 з; 2) хз + х — 1 = О, Ь = 10 3) з.з 32хз+31х — 22 0 Ь 10 — з 4) 0,1 гйп т, = х ж 2, Л = 10 з; 5) сает. = о:з, Л = 10 6) хз — 5х + 1 = О, сл = 10 46.
Методом хорд и методом касательных решить уравнение с указанной погрешностью Ь: 1) ха=13,,1=10 з; 2) 2хз+2хз — 11х+3=0, Ь=10 3) хе+хе+2х — 3=0, с1=ос 10 '. 47. Методом касательных решить уравнение с указанной погреш- ностью Ь: 1) хз — 2х — 2 = О, Ь = 5 10 ', 2) хз + х — 3 = О, сз = 5.
10 '; 3) 2хз — 7хз + х + 9 = 0 Ь = 10 з 4) хе+1/хз=10х, Л,=10 з; 5) х=созх,,3=10 6) х16х = 1, з5 = 10 з; 7) х+ е' = 1, з5 = 10 ', 8) хсзр х = 1, Ь = 10 9) 16х = х, сз = 5 10 5 (наиьзеньший положительный корень); 10) ссй х = 1сх — х/2, зл = 10 з (найти только два положительных корня — наименьший и ближайший к нему). 48.
Методом касательных вычислить отрицательный корень урав- нения хз — Зхз + 75х — 10000 = 0 с тремя верными знаками после за- пятой. 49. Найти с четырьмя верными знаками чисто мнимые корни уравнения з аш " + 1 = О. 50. Решить уравнение тз + 1,1хз + 0,9х — 1,4 = 0: 1) методом делания пополам с точностью 5.
10 2) методом хорд с точностью 5 10 "; 3) методом касательных с точностью 5. 10 4. 51. К какому из корней уравнения хз — х = 0 сходится последа- 452 Гл.д. Применение производных и исследованию фрннций ватсльцость, построенная по н|етоду касательных, в зависимости от выбора начального приближения хо Е ЙГ 52. Доказать, что для уравнения ~,Яв!йпх = 0 метод касательных не сходится. !п2, / !пх У 53. Проверить, что для функции )'(х) = — |йп (2т — ) + 1 пои (, !п2) следоватольность, построенная по методу касательных, начиная с хо = 1, сходится к числу, не явля|ощемуся корнем уравнснин )'(х) = О.
54. Используя метод касательных, построить итерационный процесс 2-го порядка для вычисления „за. 17 от 55. Доказать, что если то ) О, х„, = — (х„+ — ), то 1 ( а) 2 т,п Хив| — — (Хи — — ) < ||За < Х„Ы, (34) т', хил где т = ппп (хи, а)хзД. 56. Доказать, что если С -- двукратный корень уравнения Г'(х) = = О, то для его нахождения можно использовать итерационный проХп.Ы вЂ”вЂ” Хи — 2 1(Хи)/ Г'(Х„) (35) (модифицированный метод Ньютона). Указать достаточные условия схоДимости послеДовательности (хп) к коРню 4. 57. Какую точность дает двукратное применение комбинированного метода при вычислении корня уравнения хл — х — 1 = 0 начиная с интервала (1,22; 1,23) Г 58.
Решить уравнение хз — 4,1ха + 6,1х — 1,6 = 0: 1) методол| деления пополам с точностью 5- 10 2) методом хорд с точностью 5 10 3) методом касательных с точностью 5.10 "; 4) комбинированным методом с точностью 5 10 л. 59. Вычислить коыбинированным методом наибольший корень уравнения хь — х — 0,2 = 0 с точностью 10 4. 60. Вычислить комбинированным методом корни уравнения хл — Зха + 75х — 10000 = 0 из интервалов ( — 11; — 10) и (9;10) с точностью 10 61.
Вычислить наименьший положительный корень уравнения х|йпх = 0,5 с точностью 10 в. 62. Решить комбинированным методом с указанной погрешностью Ь уравнение: 1) 2хз — е| ' = О, йз = 10 ', 2) 2 — х — !ах = О, Л = 10 63. Доказать, что метод Ньютона (метод касательных) имеет второй порядок.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
