1610915389-9cf4bb28a9b372fd268dec258c2fd2e7 (824751), страница 73
Текст из файла (страница 73)
20. 1) Периодическая с периодом 2л функция, график симметричен относительно оси ординат; максимум р = е при х = О, мипи- 1 Л вЂ” 1 мум у = — при х = я, точки перегиба функции х = агссоа и е 2 Л-1 х = 2л — агссоз 2 420 Гл.4. Применение производных к исследованию функций 2) асимптоты: д = е"гз при х — г — со, д = е гз при х — г +со; функция убывает; ( — 1/2; е"""'згггзг) — точка перегиба; 3) область определения: 2Ьт < х < (21 + 1)л, й Е Е, периодическая с периодом 2л; асимптоты х = ггл, п Е Е; минимум д = 1 при х = = л/2+ 2кн, п Е Е:, 4) область определения: х > 0; минимум д = (1/е)гг' - 0,69 при х = 1/е; д(+0) = 1; функция выпукла вниз; 5) область определения: х > — 1; х ~ 0; д(+0) = д( — 0) = е., асимптоты х = — 1, д = 1; функция выпукла вниз; 6) область определения; х < — 1, х > О, асимптоты д = е при х — г сс, х = — 1(д — г +со); на ( — ос; — 1) функция выпукла вниз, на (О;+со) -- вверх.
21. 1) Область определения: х > 0; асимптота д = 1: максимум д = егг' - 1,44 при х = е; д(+0) = 0; 2) асимптота д = е(х — 1/2); у(+0) = 0; 3) периодическая функция с периодом 2к: максимумы д = 1 при х = 0 и х = л/2, д = — 1/уг2 при х = 5л/4, минимумы д = 1/;/2 при х=зг/4, д=-1 при х=к и х=Зл/2; 4) функция псриодическан с периодом 2гп х = л/2 ось симметрии, (О;0) --- центр симметрии; на (О;к] минимумы д = — ЗуГЗ при х = и/3 и х = 2к/3, максимум д = — 4 при х = л/2; 5) периодическая с периодом 2гг функция; максимумы д = 1 при х=л/2, д=1/3 при х=Зл/2, минимумы д=О при х=О, х=зг; 6) периодическая с периодом 2к функция, график симметричен относительно оси ординат; максимумы д = 11/6 при х = О, д = — 5/12 при х = 2л/3, минимумы д = — 1/2 при х = и/2 и д = — 5/6 при х = зг; 7) область определения; х. > 0: асимптота х = 0; максимум д = = — 21п2 — 5агсх8(1/2) при х = 1/2, минимум д = 21п2 — 5агсг82 при х=2; 8) область определения: х ф х1, график симметричен относительно оси ординат; асимптоты х = — 1 при х в — 1+ О, х = 1 при х — г — > 1 — О, д = 0: минимУм д = е пРи х = О, максимУм д = 1/(4уге)- - 0,15 при х = ~угЗ; 9) область определения: х ~ О, х ~ х2; асимптоты х = 2, х = — 2, у=1, х=О при х в+О; д( — 0) =0; минимум дю0,94 при х= — 4— — 2у'о — — 8,48, максимум д - — 0,5 при х = — 4+ 2уг5 0,48, функция возрастает на интервалах ( — 4 — 2у'5;2), ( — 2;0), (О: — 4+ 2у/5), убывает на интервалах ( — сс, — 4 — 2уг55), ( — 4+ 2ъг5; 2), (2;+со).
22. 1) Область определения: Я; максимум ( — 3;3), минимум (5; — 1); точка перегиба (1; 1); 2) область определения: Я; асимптоты д = х,, д = х+ бгц максимум ( — Зл — 1;Зл/2 — 1), минимум ( — З.г+1;1 — Зп/2); точка перегиба ( — Зл", 0); 4 25 Построение графиков 42! 3) область определения: Й; точки пересечения с осями координат (О; 0), (8/5;0)., асимптота д = х — 2; максимум (О;0), минимум (1/2; -1/2); выпуклость вниз; 4) область определения: х ( 0; асимптоты д = х+!п2, х = 0; максимум ( — 1п2гг2; 0); выпуклость вверх: 5) область определения: й; функция периодическая с периодом 2я; прямые х = зп, п Е У, оси симметрии; на [О; 2п) лгинимуло д = 0 при х = О, максимум д = 2 при х = я; на (О; 2я) выпуклость вверх; 6) область определения: Й; ось ординат ось симметрии; асимптота д = 0 при х -+ оо; максимум д = 1 при х = 0; функция выпукла вниз на ( — оо;0) и (О;+ос).
23. 1) (О; — 4) точка возврата: ; (О;0) -- точ- 2) ка возврата; 3) асимптоты: д = х + 3, д = О, х = О, 4) асимптоты: д = х — 1, д = О, х = 0; точка самопересечения ( — 1;Ц, 5) асимптоты; д = 1, д = 1/2, х = — 1/2; л22 Гл.4. Прилеенение производных к исследованию функций 6) асимптоты: у = 2, д = 2/3, х = 1, х = 4/3; 7) асимптота у = х при х + оо; точки перегиба (приблигкенно) (-2,4; 3,0), (2,2;3,0), (3,2;3,0), 24. 1) Асимптота х = 5/3, точка возврата ( — 4/3:,27/2), точка перегиба (77/3;27/2); 2) асимптота у = (4х — 1)/8, точка возврата (О;0), точка перегиба ( — 9/8; — 27/16); 3) асимптота д = — х+ 1/3, точка возврата (0,0); 4) асимптоты: у = 1, х = О, точка возврата ( — 2;0), точка перегиба (117/64;49/9), при 1 = ( — 3 х т/21)/4 точка самоперессченин с координатами х - — 1,1, у — '2,4; 4е1.
Построение графикое 5) асимптоты: у = (2х+ 1)/4, у = х — 1, х = — 1/2; 6) асимптота у = х+ 1, точка перегиба ( — 27/2; — 9/2); 7) кривая симметрична относительно оси ординат, асимптоты у = =хх — 5/4, у=О; 8) оси координат — оси симметрии; (О;О) . точка перегиба; 25. 1) Асимптота у = 2х при х -г +со: (1;1) — точка возврата; 2) асимптоты у = О, х = О; точки перегиба (чГ2е'а; ъг2е "г), ( — Ле~ г; — ъГ2е оз): 424 Гл.4. При,ненение производных к исследованию 4ункций 3) ( — 4;4) точка перегиба; 4) асимптота у = 1, точка возврата (е;0), точка перегиба ( — (Зе '7з)!2;(2бе 27200); 5) асимптоты: у = сзх — 2е, у = О, х = 0; 6) асимптота у = х — 1 при х — > — оо; 7) асимптоты: у = О, х = 0; точки перегиба ( — тГ2е ол1; — тГ2еозз), (Ц2соз.
т/2е оз). та гке кривая, что и в задаче 2); 8) асимптоты: у = х/4, х = 2, угловая точка (О;0); р к1. Построение графиков 9) кривая симметрична относительно оси абсцисс; асимптоты: у = = х — 1, у = 1 — х; точки самопересечения (О; 0), (2; 0); 10) кривая симметрична относительно осей координат; асимптоты у = хЗх, у = ~1гг2; точки самопересечения (~тГЗ/3:0), (О:, х~г2/2); 11) ось абсцисс.-- ось симметрии; (1;0) -. точка возврата; 12) ось абсцисс ось симметрии; 13) оси координат оси симметрии; точки самопересечсния (х1/2; ~1/ь'2) (зпаки произвольны); 14) эта кривая — — эвольвента единичной окружности; касательные параллельны оси абсцисс в точках (( — 1)"; хи( — 1)"), касательные параллельны оси ординат в точках (( — 1)"л(1+2п)гг2;( — 1)"), и б 7; 15) касательные параллельны оси абсцисс в точках с координатами 1)п х' = — у' = е"(»" 1П~ касательные параллельны оси ординат в Гл.4.
Применение производна!к к исследованию функций о о ( 1) п4о 1 4 тОЧКаХ С КООрдИНатаМИ Хи = ди = ( Со!4"+4У4. и о я 26. 1) д = — х — ось симметрии; асимптота д = х: точки пересечения с осями координат (О; — 1), (1;0), они же и точки перегиба; 2) оси координат и прямые д = хх — оси симметрии; (х1, 0), (О; х1) —.- точки пересечения с оснми координат; максимум х = 1 и минимум х = — 1 при д = 0; максимум д = 1 и минимум д = — 1 при х=О; 3) ось абсцисс ось симметрии; асимптота х = 1; точки пересечения с осями координат (О;0) и ( — 1;0); (О;0) точка само- пересечения; минимум х = — 1 при у = 0; максимум у - 0,3 при х= -06; 2 4) ось абсцисс ось симметрии; асимптоты д = хх; точка пересечения с осью абсцисс (~з 22;0); минимум х = К2 при д = 0; минимум д = 1 при х = — 1, максимум у = — 1 при х = 1; 5) ось абсцисс ось симметрии; (О; 0), (2; 0) точки пересечения с осями координат; (О;0) точка возврата; максимум х = 2 при д = О, минимум х = 0 при д = 0; максимум д = 27/16 и минимум д = — 27416 при х = 3/2; точки перегиба х = (3 — ъ'3)42 — 0,23., д — 0,35; 6) оси координат оси симметрии; (х1; 0), (О; 0) точки пересечения с осями координат; (О; 0) точка самопересечения; максимум х = 1 и минимум х = — 1 при д = 0; максимумы д = 2/тссЗ и минимумы д = — 2/тссЗ при х = ~т72/3, точки перегиба (приближенно) (х0,52, х0,70); 7) ось абсцисс — ось симметрии; асимптота д = 0 при х 4 +со; точка пересечения с осью абсцисс (1; 0); максимум х = 1 при д = 0; максимум д = 1 и минимум д = — 1 при х = 2; точки перегиба х = = (6+ 2тссЗ)/3 — 3,15, д = х /~3/2 - х0,93; 8) ось абсцисс ось симметрии; асимптота х = 2; (О;0) - точка возврата; минимум х = 0 при д = 0; 9) оси координат —.
оси симметрии; асимптоты д = хх; (х1;0)-- точки пересечения с осью абсцисс; минимум х = 1 и максимум х = = — 1 при д=О; 10) оси координат оси симметрии; асимптоты д = хх, х = х1; (О; 0), (х2; 0) точки пересечения с осями координат; (О; 0) точка самопересечения; минимум х = 2 и максимум х = — 2 при д = 0; 11) ось абсцисс ось симметрии; асимптоты д = х(х+2)4!3 и х = 1; максимум х = — 3 при д = 0; минимум д = 2,54 и максимум д = — 2,54 при х = тссЗ.
27. 1) Гипербола с осяъ|и х = 0 и д = 1 и с асимптотами д = 1 х х; 2) эллипс с осями на прямых д = — 2х и х = 2д; 3) ось ординат — ось симметрии; асимптоты с =О, у =0; (О;1)— уз1. Поен)роение графиков 427 точка пересечения с осью ординат; максимум д = 1 при х = 0; точки перегиба х = х)) — - х0,47, д = - 0,85; ) у'3 — 2л/3 )/ 8 ' ' 3 4) прямая д = х . - ось симметрии: асимптоты х = О, д = О, д = = — тл максимум х = — 94 при д = — лг4/2; максимум д = — л)4 при зг- 3 3 х = — лз/4/2; 5) (О;0) — центр симметрии; асимптоты д = О, д = т, х = 0; минимумы д = 1 х л/2 при х = 1, максимумы д = — 1 х л/2 при х = = — 1; 6) асимптота д = 2 — х; (О; 0), (6; 0) точки пересечения с осями координат, (О;0) — точка возврата; максимум д = 2~~/4 при х = 4; (6; 0) точка перегиба. 28.
Ц х = 47/(1 — т4), д = 4тг/(1 — то) *); ось ординат ось симметрии; асимптоты д = хх, — 1; (О;0) " точка самопересечения и точка возврата; точки перегиба (хб/л/3; 2л/3); 2) х = (С вЂ” 1)/тз, д = (С вЂ” 1)г/1', прямая д = х — ось симметрии: (О;0) . точка самопересечения; максимум х = 4/27 при д = 2/27; максимум д = 4/27 при х = 2/27; 3) х = 1(1 х у)81з — 1), д = 1(1 х л/811 — 1); прямые д = хх оси симметрии: точки пересечения с осями координат: (О; 0), (О; х1), (х1; 0); (О; 0) изолированная точка, ближайшие к началу координат точки (1/л/2; 1/л/2), ( — 1/ъ 2; — 1/л/2); точки перегиба х = 1/д = = ~(л/2 — 1), х = 1/д = ~(л/2 + 1); 4) х = 1з(1 — 21), д = 14/(1 — 2тз); ось ординат — — ось симметрии; асимптота д = — (4л/2х+ 1)/8; максимум х = — ЗУГЗ/(4л/2) и минимум х = Зл/3/(4уГ2) при д = — 9/8, максимумы д = — 1 при х = х1, минимум д = 0 при х = 0; точки перегиба (хЗл/3/5; — 9/5): а) =ех7~ — 2))П вЂ” ь ), з= ар Д вЂ” 2)/(\ — е)', ) °;О) симметрии; асимптота д = х; три точки перегиба, (О; 0) одна из них; 6) х = (ге+ 1/1)/2, д = (гз — 1/1)/2; прямая д = х ось симметрии; асимптоты д = хх; точки пересечения с осями координат (О; 1), (1;0); минимум х = 3/4'32 2при д = — 1/К322, минимум д = 3/К32 при х = -1/4'322; 7) астроида; х = соез т, д = в1п' 1; оси координат и прямые д = з = хх оси симметрии: (х1; 0), (О: х1) точки нозврата; 8) х = хсЬз/вт, д = а1)з/гт; оси абсцисс оси симметрии; асилгптоты д = хх: максимум х = — 1 и минимум х = 1 при д = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
