1610915389-9cf4bb28a9b372fd268dec258c2fd2e7 (824751), страница 68
Текст из файла (страница 68)
55 1) (О; Ц, (1; 0):, 2) (- 1:, — 1), (О; — 1); 3) (5; 5); 4) ( К2; 13/2). 56. 1) ((2+ ъ/2)/2; ъге), ((2 — ъ/2)/2; ъ/е); 2) (О;0), (ъ 6; — ъ'бе), ( — ъ'6; — — Я; 3) ( —: — — 1п2); ((бл + ( 1)ь) ~ .,— (еечч — Ц Ое!е) 12' 4 57. 1) т = хо; 2) х = О, х = хЬъ/3. 58.
1) Одна точка перегиба х = — Ь/(За); -е* 9/' — и . 2) если ЗЬз — 8ос > О, то две точки перегиба х = 12а если ЗЬз — 8ас ( О, то точек перегиба нет. 59. а 6 ( — оо; — е/6), а 6 (О:+со). 63. 1) Не может; 2) не может. 67. 1) (ъ/2съз; ъ/2е илз); 2) (9/2;27/2); 3) (5; 21/2); 4) (1/10;1/4). 73. Указание.
Можно либо воспользоваться неравенством из задачи 72, положив в нем х = а/Ь, о = 1/р, р/(р — 1) = д, либо, прологарифмировав неравенство Юнга, использовать выпуклость вверх функции 1п х. 74. Указание. В неравенстве Юнга (задача 73) положить и и а = х",./~ ",, Ь = у,//~ у,' ю=1 е=у и просуммировать полученные неравенства по 1 от 1 до и.
75. Указание. Применить неравенство Гельдера (задача 74) к суммам праной части тождества ~(х +уе)'= ~~',х (х*+р)' '+~ у (х +уе)' ' 394 Гл.д. Приненение производных и исследованию Яуннций ~ 21. Построение графиков СПРАВОЧНЫЕ СВЕДЕНИЯ При построении графика функции можно придерживаться, например, следующей схемы. 1. Найти область определения функции.
Проверить, является ли функция четной, нечетной, периодической. Найти точки пересечения графика с осями координат, промежутки, где значения функции положительны, отрицательны. Найти точки разрыва функции. 2. Найти асимптоты графика () 11). Найти односторонние пределы функции в граничных точках области определения и в точках разрыва. 3.
Сделать набросок графика, отразив на нем полученные результаты. 4. Вычислить первую производную функции, найти экстремумы и промежутки ее возрастания и убывания. 5. Вычислить вторую производную, найти точки перегиба графика, промежутки выпуклости вверх или вниз. 6. Нарисовать график функции. При решении конкретной задачи отдельные этапы этой схемы могут быть расширены, другие же могут оказаться излишними или невыполнимыми.
Например, если точки графика монотонно приближаются к асимптоте, то следует попытаться выяснить, с какой стороны от этой асимптоты они расположены. Это можно сделать методомз выделения главной части или по известному направлению выпуклости кривой. Метод выделения главной части можно использовать и для уточнения рисунка вблизи отдельных точек или при х — з +со, х з — оо. Часто бывает нетрудно найти и нарисовать касательную к графику в точках перегиба, в угловых точках и т, д. ПРИМЕРЫ С РЕШЕНИЯМИ Пример 1.
Построить график функции 1 з з у = — (х + Зх — 9х — 3). 4 А Данная функция определена и бесконечно дифференцируема на Й, асимптот цс имеет, 1цп у(х) = — сю, 1пп у1х) = +со. График пересекает ось ординат н точке (О; — 3/4). Найдем экстремумы функции. Вычисляем производную: д' = — (хз + 2х — 3), и находим, что у'>О при л< — 3, у'<О при — 3<х<1., у'>О при х > 1. Значит, х = — 3 -- точка максимума, у( — 3) = 6, а х = 1 точка минимума, у(1) = — 2. 4 21. Пост роение графи нов 395 Рис. 21.1 Отметим найденные три точки графика и сделаем его набросок (рис 21.1, а). Вычислив вторую производную: уо = — (х + 1), найдем, что функция выпукла вверх при х < — 1 (уо < 0) и выпукла вниз при:г. > — 1 (уо > 0). В точке перегиба х = — 1 вычисляем у( — 1) = 2, у'( — 1) = = — 3.
Для более точного изображения графика находим еще несколь- Таблица 1 ко значений функции (табл. Ц. Наносим полученные точки на чертеж, проводим касательную к графику в точке перегиба ( — 1; 2) с угловым коэффициентом, равным — 3, и рисуем график (рис 21.1, б). Из табл. 1 и графика видно, что корни данного многочлена нецелые, поэтому начинать исследование функции с нахождения корней было бы нецелесообразно.
А г П р и м е р 2. Построить график функции у = 4(2 — х)г а Функция определена при всех х Е Я, кроме х = 2. График ее пересекает оси координат в одной точке (О; 0). Функция положительна при х > О, х ф 2, и отрицательна при х < О. Функция разрывна в точке х = 2, и, поскольку 1ш1 у(х) =+ос, прямаи х = 2 вертикальная г — г2 асимптота графика.
Из того, что у(х) 1 . т 1 1 . х(х — 1) 1пп = —, Пш ~у(х) — — х) = 1цп, = 1, г-~со х 4 ' г-о~ 1 4 ) г-есо (х — 2)г следует, что при х -э оо график имеет наклонную асимптоту у = х/4+ 1. Отметив егце, что у хггг16 при х — 1 О, делаем предварительный рисунок графика (рис.
21.2, а). Гл.4. Применение производных к исследованию функций Вычисляем первую производную: у'(х) =, и нахо единственную точку экстремума х = 6, которая является точкой минимума, у(6) = 27/8. На интервалах ( — со; 2) и (6;+со) функция возрастает, на интервале (2;6) убывает. В точке х = 0 касательная к Рис. 2Н2 графику горизонтальна, как и было указано на рис.
21.2, а. Вычисляем вторую производную; у()=(,,), Отсюда следует, что имеется только одна точка перегиба функции х = О,. причем у(0) = 0 и д'(0) = О. При х < 0 функция выпукла вверх, поэтому ее график при х — > — оо приближается к асимптотс снизу, При 0 < х < 2 и при х > 2 функция выпукла вниз. Отсюда следует, что при х — «+со график приближается к асимптоте сверху. Вычислив еще несколько точек графика, на основе проведенного исследования делаем более точный рисунок (рис 21.2, б).
а ПРимеР 3. ПостРоить гРафик фУнкции У = хта/(х+1)'. а Функция определена и непрерывна на П. График пересекает оси координат в точках (О; 0) и ( — 1;0). Функция полоязительна при х > 0 и отрицательна при х < О, х ф- — 1. Так как у( — 1) = О, то х = — 1-- 4 21. Пост роение графи иов 397 точка максимума функции. Очевидно, 1пп у(х) = +ос, р(х) х г при х -+ +ос, х — г-~-со 11пг у(х) = — оо, д(х) - х' Д при х — > — со.
Легко также видеть, что у(х) х при х — 1 О, р(х) — (х+1)згз при х — 1 — 1. Делаем набросок графика: при "больших" значениях ~х~ он "похожи на график степенной функции у = овгз, в окрестности точки Рис. 21.3 х = — 1 на график функции у = — (х+ 1)~7~, а в окрестности точки х = 0 сближается с прямой р = х (рис 21.3, а). Для уточнения рисунка найдем и исследуем производные: 5(х + 3/5) (1) 3(х+ 1)Ог 10(х ж б/5) (2) 9(х — 1)г/г Из (1) следует, что функция возрастает на интервалах ( — со, — 1), ( — 3/5;+со) и убывает на интервале ( — 1; — 3/5). В точке х = — 1 функция имеет максимум (д( — 1) = 0), что было отмечено выше, а в точке х = — — минимум, й( — — ) = — — (720 5 ''1 бг' 25 — 0,3.
В точке х = 0 график касается прямой у = х, а в точке х = — 1 касательная к графику вертикальна, поскольку 11ш 11'(х) = +со., 11пг р'(х) = — со. г — г — 1 — Π— — гже Из (2) следует, что на интервале ( — оо; — 6/5) функция выпукла вверх, а на интервалах ( — 6/5; — 1) и ( — 1;+со) выпукла вниз. Точка х = = -6/5 — точка перегиба функции, у( — — ) = — — тз/5 5— 0,4, у'( — —,) = 1/о ю 1,7. зэз Гл.4, Применение производных к исследовоникз функций Используя эти результаты и вычислив езде несколько точек гра фика, делаем более точный рисунок (рис 21.3, б).
д хз — 2х Пример 4. Построить график функции у(х) = х — 3 д Преобразуем формулу к виду у(х) = (х),/ х . Данная функция определена при х < 2 и при х > 3, положительна при х ~ 0 и х ~ 2, у(0) = у(2) = О. Так как 1пп у(х) = +со, : — зео то х = 3 — вертикальная асимптота. При х — г оо имеем у(.)=И(,','//',) ' =~.~( --,') '( — 3) ' = = !х!(1 — — + о( — )) (1+ — + о( — )) = /х!(1+ — + о( — )); отсизда при и: -+ +ос получаем у(х) = х+ 1/2+ о(1), а при т, -+ — оо у(х) = — х — 1/2+ о(1). Значит, у = х+ 1/2 асимптота при х — э +ос, а у = — х — 1/2 асимптота при х — ) — сс. Отметим есле, что у(х) 2ъ~2 — х при х — г 2 — 0 и у(х) 1/2/3~х~ при х -э 0 ( ь/2/3 — 0,8).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
