1610915389-9cf4bb28a9b372fd268dec258c2fd2e7 (824751), страница 65
Текст из файла (страница 65)
Поэтому при т, ф у получаем строгое неравенство е < . а гл.гуг ~з ЗАДАЧИ Найти интервалы возрастания и убывания функции (1- 5). 2) / = Зхз — хл = (х — Цз(2х+ 3)з. 3) / = хзе / = хз — 101пх; б) / = хе1пх; 9) / = агсгбх — 1пх, 1. Ц / = 4хз — 21хз -~- 18х + 7; 3) / = ха — 5х' + 5хз — 1; 4) / 2. Ц / = хе з*; 2) / = е'/х; 4) / = х е ', х > О, и > 0; 5) 7) /=.
/1; 3) /=3'П'-з~; 10) / = е" сваях. 3. ц / х — Зх-Ь2 хе+ Зх+ 2 ' 4) /= (х — 2)е то у,' = соей(2 а1п 1+ Ц. Вычисляем вторую производную функции у = /(х). Так как (у,')', = = Зсоа21афп2, то уи, = — 3 аш 8 соа 2М. Вторая производная у,", равна нулю при 2 = .г/4 и 1 = Зя/4. При переходе через эти точки у,"и меняет знак.
Следовательно, при этих значениях параметра 2 график функции у = /(х) имеет точки перегиба. Значениям параметров 1 = я/4 и й = Згг/4 соответствуют точки (2,0) и (0,0) графика функции. Таким образом, график функции имеет две точки перегиба (О;0) и (2;0). А е*+ еи Пример 13. Доказать неравенство еГи+иГгз <, х,у Е й. д Рассмотрим функцию /(х) = е'. Так как /'(х) = е* > О, то /(х) на всей числовой прямой выпукла вниз. По определению всюду выпуклой вниз функции для любых точек хг и хз числовой прямой и любых чисел ог > О, сиз > 0 таких, что ог + аз — — 1, верно не авенство 920.
Исследование функций 379 Ц 7= иаа*2-99); 2) 7= '8* — е2 2) 7= 2+89 4) ( = 7( +1)'; 5),( =,747х-':1; 6),( = (. + Цц7хз:1; 7) 7" = (1 + 17)х)'. 8.Ц)=2)У= 1 к)х! 1 ж )соех/ 6. Найти интервалы возрастания и убывания для функции у = ,((х) 2 заданной неявно уравнением: 1) хэуа + у = 1, у > О; 2) хзуз = х — у, х > О. 7. Найти интервалы возрастания и убывания для функции у = ((х), заданной параметрически уравнениями — 8 8 е е х= —, у=, 1>1.
1 — 1' 1 — 7' 8. Выяснить2 при каких значениях параметра а функции ((х) возрастает на всей числовой прямой: 1) ((х) =хз — ах; 2) ((х) = ха+(о — 1)х'+2т; 3 3) 7(х) = ох — а1пх; 4) ((х) = ах+ 38йпх+4созх; 5) ((х) = (8о — 7)х — аашбх — эш5х; 6) ((х) = 4х+ 1~(ха — + Ц+ агсхд 2 973 3 О. Доказать, что если функция ((х) непрерывна на интерва- ле (о; Ь) и 7'(х) > О всюду на (а; Ь), кроме конечного числа точек, то ((х) строго возрастает на (а; Ь). 10. Доказать, что для строгого возрастании функции ((х) на не- котороэ| интервале необходимо и достаточно, чтобы для любых то- чек х) и хз (х) < хз) этого интервала существовала точка ~ Е б (х):хз) такая, что ('(ц) > О.
11. Пусть функция ((х) возрастает на интервале (а;Ь). Следу- ет ли из этого, что производная ('(х) также возрастает на интерва- ле (о;Ь)Г 12. Функция ((х) называется возрастающей в точке хо, если су- ществует такое число Б > О, что У(х) < У(хо), если х е (хо — б; хо), и ((х) > ((хо), если х с (хо;хо + б). Доказать, что: 1) из возрастания функции ((х) в каждой точке некоторого ин- тервала следует возрастание ((х) на этом интервале; ( х + хэ э)п(27)х), х ф О, 2) функция ((х) = ' ' ' ' возрастает в точке х = 02 но не является возрастающей ни в каком интервале, содержа- щем эту точку.
13. Найти точки максимума и минимума функции; 33О Гл.4. Применение производных к исследованию функций максимумы и минимумы функции (16. 20). д= ' — 8'+12 2) у=~2 ' 0.' (хз+1, х~0, 3 11 2 — — 2х 4- — х — бх+3; 4) у=х — 4х +бх — 4х+5; 4 3, 2 2 (хз — 10)(х+ 5)2; 6) д = (х+ 2)2(х — 3)3 1 х (х — Ц (2 — х)' хз — т.' хз 4- 4 ' х 4- 1 ' (3 — х)2 ' хз ) 2х- хз 6) д= (х — 1)2 ' ' (х+ 1)з 3 у = япх+ — яп 2х; 2) д = вш х+ сове х; 3) у = 2 2 4- совх ' х+ япх; 5) у = х — 2япзх; 6) у = х — 2агстйх; (х — 2) сов лх — — яп.Ггх; 8) у = (х + 1) агс$8 х — — х — х. 1 7Г )Г 4 у = (х — 1)ез"'; 2) у = (3 — хз)е*; 3) у = (хз — 8)е .3 — 4;Г. «) 4 — ез.
6), ( . + 1)3 — е. (хз + Зхз -~- бх+ 6)е ', 8) у = (х + 2)е') '. 1и х 1 д — ьг 1пх 2) —, 3) — 1 ( '+~~~+30) ' х2 — 4х — 1 — 1п(х' — 4х+ 4); 5) у = 1п сов х — сов х; 1п(хв — 1) — 2 агсс8 х. з=*«з:; 2)«=К«:2 ~; з)у=«о— — — 6) у 44* — 2)')ы - 4Г 3) « = 43Г - )Г* — 3)', ,'/)3 -2) Л -Г); ГО) «=à —,'/( «1) )) «2) д = х'; 2) у = хз)з. д = )х — 5)(х — 3)'; 2) у = )пах(7х — бхз, /хз/), Найти 16. 1) 3) д= 5) у= 17. 1) 18. Ц 4) д= 7) у= 19.
1) 4) у= 7) у= 20. 1) 4) д= 6) д= 21. 1) 4) у= 7) д= 9) у= 22. 1) 23. Ц 1) д = хз — 4хз; 2) у = х(х — 3)2(х+ 1)3; 3) д = 23)их+ сов 2х, 4) у =,; 5) у = (х — 5)е*; 6) д = хзв)Г'; 1 7) д = (2т + 1) Ях — 2) 2 8) д = О+и 1+)4х+ 5! 14. Найти точку минимума функции о У(х) = ~ ~(х — хь), хь Е Я, и Е IЧ. в=1 15. Найти многочлен наименьшей степени, имеющий локальный максимум, равный 6 при х = 1 и локальный минимум, равный 2 при х = 3. у 20.
Исследование функций Зз! Е ь = Л + 2!* — 1У(6-~ Е* — 2!г Е У =,/* $2 — Ц 5) у = (х — 1) фх+ 2; 6) у = (хг — Це!е!; 7) у = !хг — 4)е 8) у=с !' ')(х+1). 24. 1) у = яп(х+ 1) — <совх!, х Е (О;я); 2) у = яп /х — 3! + сов х, х Е (О; л); 3) д =, х е (О; т). 2+ сов х -1- и'Зяпх (х, х(0, .(1+х, х(0, 26. Исследовать на экстремум функцию: Ц д = (х+ 1)"е ', и Е И; а х" т 2) д=(1+хч- — -!-...-)- — )с ", не И; 2! и! ) 3) у = хь(1 — х)", й, п Е И; 4) д = ае"* + Ье "', а, Ь, р Е й.
27. Исследовать на экстремум в точке х = а функцию д = (х — а)"д(х), и, Е И: уг(х) непрерывна н точке х = а и уг(а) ф О. 28. Исследовать на экстремум функцию у = д(х), заданную неявно уравнением; 1) хз + дз = 3с', 2) х + у = ху(у — х), <д~ ( ~х~; 3) хл ул хг 2уг у > !х<. 4) (хг уг)(х д) 1 у > ф 29. Исследовать на экстремум функцию у = 1(х), заданную параметрически уравнениями: 1) х=, д=, 1>0; 2) х=!пяп —, д=1пяпй г(с!1) ' ! 2 30. Доказать, что если в точке минимума существует правая произноднан, то она неотрицательна, а если существует левая производная, то она неположительна.
31. Пусть функция д(х) определена на интервале (а;Ь) и непрерывна в точке хо Е (а;Ь). Доказать, что если 1(х) возрастает на интервале (а;хо) и убывает на интервале (хо,.Ь), то хо является точкой максимума; если же 1(х) убывает на интервале (а:хо) и возрастает на интервале (хо,Ь), то ха — точка минимума. 32. Доказать, что функция г:гв!и'(1)х), х~о, О, х = О, в точке х = 0 имеет нестрогий минимум. 882 Гл.д. Применение производных к исследованию функций +сов-), х ф О, 1т хфО, х=О, Найти наибольшее и наименьшее значения функции (37 40). 37 1) у=ха — Охи+9, хЕ [ — 1;2]: 2) у = — хз — 9хз+ 48х, х б [О;9]; 1 2 3) у = 2хз + Зхз — 120х+ 100, х Е ( — 4:,5]; 4) у=хе — 8ха+3, хЕ[ — 1;2]: 5) у = ха — 5х" + 5хз+ 1, х е [ — 1; 2].
е 38. 1) у = — +, х б (О;Ц; 2) у = '„, х б [О;1]; 3) у=,', хе17; 4) у=',, хе[ — 1;1]. 39. 1) у = х — 2т(х, х Е [О:5]; 2) у = х — 21пх, х Е [3/2;е]; 3) у = хй1(х!5), х б [1; 5]; 4) д = [ха + 2х — 3] + 1, 5 1п х, т Е [1/2; 2]: 5) у = (х — 3)елее~~, х Е [ — 2; 4]; 6) у = х', т е (О; 1]. 33. Доказать, что функция [ хз(2+ соа(1/х)), х ~ О, х=О, имеет строгий минимум в точке х = О, но ни в каком интервале ( — д; 0), 5 > О, не нвляется убывающей и ни в каком интервале (О; 5), б > О, не является возрастающей. 34.
Пусть ~ ]х[[2+ соз — ), х ф О, ]Г е 'Дл'(— (о, х = О. Доказать: 1) г'(0) не существует, дбб(0) = О, п е И; 2) 7'(х) и д(х) в точке х = 0 имеют строгий минимум; 3) 7'(х) и д(х) ни в каком интервале ( — б; 0), б > О, не являют- ся убывающими и ни в каком интервале (О; б), Б > О, не являются возрастающими. 35. Пусть е ~7е, .() хе че, х~О, Доказать: 1) У~"~(О) = дрб(О) = О; 2) 1(х) в точке х = 0 имеет строгий минимулц д(х) в точке х = 0 не имеет экстремума.
36. Пусть г(х) - четная, дважды непрерывно дифференцируе- мая функция, причем го(0) е О. Доказать, что точка х = 0 является точкой экстремума этой функции. я 20. Исследование функций 40. 1) д = 2япх+ яп2х, х б [О:Зл/2]; 2) д = совах+ сояз(л/3+ х) — сояхсов(гг/3+ х), х Е й; 3) у = 4х+ Оггз/х+ ьйпх, х Е [з-,2гг],: 2.г 4) у = 2агстйх+ ахся1п е ', х Е Й. хе+1' 44. Найти номер п наибольшего члена последовательности: Ц (105гг+Зпз-пз) 2) ( '/и ). 3) ( "" ). (.;...) '( —;.-') )( —;"-е) 1пГ/ и впр/ (45 — 47). / = 1/х+ хз, х Е (О;1]; 2) / = 1пх — х, х ~ (О;+со); 2 15х — Гйах, х Е ( — л/2: гг/2); гй х — Зх, т е [ — л/4; л/2). / = (хз + 4)е ', х б (О; +со); е ' совхз, х Е й; 3) / = (1/х)е ~~', х Е (О;+со); хл, х е (О; 1/2].
/=х+( — ), хЕ ( —;5); ( +Ч(','), е(-',;е); г)Г= ',.ек; Найти 45. 1) 3) /= 4) /= 46. 1) 2) /= 4) У= 47. 1) 2) /= Найти экстремумы функции у = /(х) на интервале (а; Ь), а так- же ее наименьшее значение гп и наибольшее значение ЛХ на отрез- ке [а; 6] (41 — 43). 41. Ц у=(х — 3)зс~", а= — 1, Ь=4; 2) д = (х — З)зе~*л Ц, а = — 2, Ь = 4; 3) д е~Ф ~~~~~ а 2 Ь 1. 4) Ь =! (1+ ~Щ .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
