1610915389-9cf4bb28a9b372fd268dec258c2fd2e7 (824751), страница 66
Текст из файла (страница 66)
+Т('), н = — 2„Г = 1. Ее= ье И* — гя, = — 1г=2; 6)~= ьеиэГг — и„= — иь=2. з ~1+Зх, х < О, ((х), х>О, 3) у = Е(х)/х + х/3, а = 1, Ь = 3. 43. 1) у = сов(х+ гг/Зв15ггх) + яп(х+ гг/6), а = — гг, Ь = л; 2) у = яш(х — гг/4) — соя(х — (Згг,Г4) я5п х), а = — л, Ь = л; 3) д = яп(т — гг/3) — сов(х — (2л/3) в15п х), а = — гг, 6 = з.
ЗЗ4 Гл.4. Применение производных к исследованию функций 4) / =,, х 6 (а; +ос), а 6 П. х 4-1 48. Найти интервалы выпуклости функции: 1) /=хо, о>1, х>0; 2) /=хо, 0(а(1, х>0; 4) / = 1пх; 5) / = х1пх; 6) / = агс18х. 3) /=е', Найти интервалы выпуклости и точки перегиба функции (49, 50). 49. 1) / = 2х' — Зхз+х — 1; 2) / = хз — 10хз+ Зх; з 3) / = , ' 4) / = , 5) / = Огх + 3; 6) / = т) 4 = "4*' - зз; 8) 4 = ) "Ж-Т. 50. 1) / = сов х; 2) / = х+ зшх; 3) / = е *; 4) / = е))*; 5) / = — 1и —; 6) / = тяп 1пх; 7) / = агс1р —; 8) / = е"""з'.
10 х . 1 х 10 х Найти точки перегиба функции (51 53). ц / х4 6 2 ) 5 . 2) / х4 12 3 ) 48 2. 3) / = 2хз+ 2хз+ Зхз+ Зх+ 1: 4) / = (хз — 1)з 1) / 4.2+1/ . 2) / 2/Г цз 3) / з/хз з, 2 — 4, з) 4= ~0-*)(*-~)', З) 4=)* — и) ' 53 Ц / ( 2+1) з:. 2) / з — 4л, 3) / 21 4) / = 1п т/х/х; 5) / = ес" '. Найти точки перегиба графика функций (54 — 56). 54. 1) / = 36х(х — 1)з: 2) / = х+ 36хз — 2хз — х4; 3) / = 1+ ха — х4/2; 4) / = хз/20 — ха+ 8хз — 32хз; 5) У = (2хз — х — 4) Дхз — 4х+ 4); 6) У = ха/(х+ 1)'.
55 1) /= ',/à — хз' 2) /= тз/х — ~фх+ 1: 3) /=5+:~/(х — 5)з 4) 4 = з48:* )))з*). 56. 1) / = ез* ' 2) / = хе )ззз); 3) / = 2хз + 1пх; 4) /=е 2'яп х. 57. Найти точки перегиба функции /) Ц / = е ' 12" , (т > 0; 2) / = ,, ' ,, а ~ О, Ь ~ О. оз/2л. ' хз+ Ьз ' 58. Исследовать на точки перегиба многочлены: Ц Рз(х) = ахз + Ьхз + сх + 41, а ~ 0; 2) Р4(,г) = ахл -Ь Ьх + схз + 41х + е, а ф- 0 59. При каких значенипх параметра а функция / = е + ахз имеет точки перегибаГ 60. Доказать, что график функции у(х) = (х + 1)/(хз + 1) имеет три точки перегиба, лежашие на одной прямой.
220. Исследование ууннциа 385 61. Доказать, что точки перегиба графика функций у(х) = х яп х лежат на кривой уз(4+ хе) = 4хз. ( хз(2+ соз(1/ха)), х ~ О, Доказать, что: 1) график функции 1(х) в точке (О;0) имеет касательную; 2) график функции 1(х) переходит с одной стороны касательной к нему в точке (0,0) на другую ее сторону; 3) точка (О, 0) не является точкой перегиба графика функции 1(х).
63. 1) Может ли точка перегиба функции быть ее точкой экс- тремумаГ 2) Может ли всюду выпуклая вниз (вверх) функция иметь более одного экстремумаГ 64. Доказать, что у любой дважды дифференцирусмой функции: 1) между двумя точками экстремума лежит хотя бы одна точка перегиба; 2) между точками перегиба функции может и не быть точек экстремума.
65. Доказать, что; 1) каждый многочлен нечетной степени и > 1 имеет хотя бы одну точку перегиба; 2) каждый многочлен четной степени с положительными коэффициентами не имеет точек перегиба. 66. Пусть 1(х) непрерывно дифферепцируемая на интервале (а, Ь) функция, и пусть для любых точек хы хе этого интервала существует единственная точка с такая, что 1(хе) — У(х~) хе х1 Доказать, что 1(х) не имеет точек перегиба. 67. Найти точки перегиба графика функции у = г"(х), заданной параметрически уравнениями: 1) х=гее, у=ге е, 1>0; 2) х=, у=, 1>2: 1 — 1' 1 — 1' 3) 21 + 3 х= Р ,у= ,0<1<1, 1 — 21 — 5 е — 41 -~- 5 41 х— у =, 1>1. е'Ч-10Гж25' Фе-Ь41 — 5' 68.
Доказать, что если функции ((х) и д(х) удовлетворяют условилм ~~ у'(хе) = д1е~ (хо) (И = О, 1, ..., и — 1) и (~еб (х) > д~'0(х), т > хе то ((х) > д(х) при х > хо. 886 Гл.4. Применение производных и исследованию фуннчиа Доказать неравенство (69-.71). 69. 1) е' > ех, х б Я; 2) х — хз/2 < 1п(1 + х) < х, х > О; 3) 1п(1 + х) > х/(х + 1). х > 0; 4) 1 — 2 1п т, < 1/ха, х > 0; 5) ее > 1+ 1п(1+ х), х > О, 6) 1пх/(х — 1) < 1/т/х, х > О, х ~ 1.
70. 1) сов х > 1 — х~/2, х Е Я; 2) с1зх > 1+ хз/2, х Е Я; 3) гдх > х+ х'/3, 0 < х < зг/2: 4) агсгдх ( х, х > 0; 5) гйп х > 2х/зг, 0 < т. < зс/2; 6) х — хз/6 < зш х < * — хз/6+ хз/120 * 6 Я 7) гйпх+ Фйх > 2х, 0 < х < н/2; 8) х — хз/3 < агсрбх < х — хз/6 0 < х ( 1; 9) (зшх/х)з > созх, 0 < ~х~ < зг/2.
2) ( ( ', т>0, у>0, пЕИ; 3) (х + у") ~ > (ха + уа) ~'з, х > О, у > О, О < < /1., 4) У <1п — < ' У, х>у>0; х, у у х!ах -~- у1п у х + у 5) > 1п , х > О, у > О. х + у 2 72. Доказать неравенство х — 1 < сс(х — 1), х > О, 0 < о < 1. 73.
Доказать неравенство Юнга: если а > О, 6 > О, р > 1 и 1/р + 1/о: 1 то рур1 р ~д < причем знак равенства имеет место только при а = 6. 74. Доказать неравенство Гельдера: если х; > О, у, > 0 (1= 1,2,... ..., и), р > 1 и 1/р+ 1/д = 1, то ~"'-(~.')"(~')'" 75.
Доказать неравенство Минковского: если х,, > О, у, > 0 (1 = = 1.,2,...,п), р > 1, то (~(".' )"-(~")'". (~з ')кр 76. Пусть функции /(х) определена на отрезке [ — 2; 2) и не имеет бесконечного числа нулей. Пусть существует /о(х) на етом отрезке, /и(х) = ха1(х), /'(0) = О, /(0) > О. доказать, что при всех х Е ( — 2; 2) справедливо неравенство /(х) > О. 77.
Пусть на отрезке (а;6) задана дважды дифференцируемая функции /(х), не имеющая бесконечного числа нулей, такая, что /и(х) = е*/(х), /(Ь) = О. Доказать, что /(х) ~ 0 при х ~ Ь. 78. Пусть на отрезке (а;Ь) задана дважды дифференцируемая функция /(х), имеющая бесконечное число нулей, такая, что /(х) ф 0 уху. Исследование 4уннлия 387 на отрезке [а, Ь).
Доказать, что на этом отрезке существует общий нуль функций /(х), /'(х), /е(х). 79. Пусть на отрезке [а;Ь) задана дважды дифференцируемая функция /(х), не имеющая бесконечного числа нулей, такая, что /н(х) = 2е/(х). Доказать, что функция /(х) не может иметь на отрезке [а; Ь) более одного нуля. ОТВЕТЫ 1. 1) ( — со,1/2), (3;+ос) - интервалы возрастания, (1/2;3) интервал убывания; 2) ( — оо;6) --- интервал возрастания, (6;+со) --. интервал убывания; 3) ( — оо; 1), (3:+ос) —.
интервалы возрастания, (1; 3) интервал убывания: 4) ( — со; — 3/2), ( — 1/2;+со) -- интервалы возрастания, ( — 3/2; — 1/2) — — интервал убывания. 2. 1) ( — со; 1/3) интервал возрастания, (1/3;+ос) интервал убывания; 2) ( — со;0), (О;1) -- интервалы убывания, (1;+со) — интервал возрастания; 3) ( †; — 1), (О;1) интервалы возрастания, ( — 1;0), (1; +ос) интервалы убывания: 4) (О; о) интервал возрастания, (об+ос) интервал убывания: 5) (О;т/5) .
интервал убывания, (ъ'5;+ос) . интервал возрастания; 6) (О;1/;/е) - интервал убывания, (1/т/е;+со) — интервал возрастания; 7) (О; 1), (1; е) — интервалы убывания, (е;+ос) - интервал возрастания, 8) ( — со; 3), (3;+со) — интервалы убывания; 9) (О;+ос) -- интсрвал убывания; 10) (2Й вЂ” 3/4: 2й+ 1/4), Ь Е л, — интервалы возрастания, (2Й -Ь 1/4; 2Ь+ 5/4), Ь Е л, интервалы убывании. 3. 1) ( — ос; — 2), ( — 2; — 1/2), (т/2,+со) интервалы возрастания, ( — т/2; — 1), ( — 1; т/2) -- интервалы убывания; 2) ( — со; — 1), ( — 1;0), (О;1), (1;+ос) -- интервалы убывания; 3) ( — оо; — 3), .(3;+со) -- интервалы убывания, ( — 3; — т/3), ( — т/3; т/3), (т/3;3) ..
интервалы возрастания; 4) ( — со;0), (2;+ж) .- интервалы убывания, (О;2) -. интервал возрастания. 4. 1) ( †, — 50), ( — 50;25) - интервалы возрастания, (25; +оо) -. интервал убывания; звз Гл.4. Лрииенение производных к исследованию функций 2) ( — 2т/2; — 2), (О; 2) интервалы возрастания, ( — 2; 0), (2; 2ч'2) интервалы убывания; 3) ( — 9/2; — 3), (О;+со) -- интервалы возрастания, ( — 3;0) -- ин- тервал убывания; 4) ( — 1; — 2/5) — — интервал убывании, ( — 2/5;+ею) -- интервал воз- растания; 5) ( — со; — т/3), (з/3; +со) .-- интервалы возрастания, ( — т/3; — 1), ( — 1;1), (1;ъ~З) интервалы убывания; 6) г — со; — 1), г1; +со) интервалы возрастания; 7) ( — со; — 1); (О; +со) интервалы возрастании.
5. 1) ( — 2;0) интервал возрастания, ( — со; — 2), (О;-~-со) ин- тервалы убывания; 2) ( — гг/2+ 2Ьгс я/2+ 2й.г), 1- а л, ---. интервалы возрастания, (л/2+ 2кл; Зл/2+ 2йл), 1с 6 Е, - - интервалы убывания. 6. 1) ( — оо; 0) -.- интервал возрастания, (О;+со) "- интервал убы- вания, 2) (О;1) -- интервал возрастания, (1;+со) -- интервал убывания. 7. ( — сю; — е з) -- интервал возрастания, ( — е -;0) -- интервал убывания.
8.Ц а<0; 2) а< — 3, а>1; 3) а>1; 4) а>5; 5) а>6; 6) — 1 < а < 7. 11. Нет, не следует; коптрпример: /(х) = ° гх, х > 0; /(х) = 1пх, х>0; /(х) =х+вгпх, хб й. 13. 1) х = 0 точка максимума, х = 8/3 точка минимума; 2) х = (3 — т/17)/4 и х = 3 точки минимума, х, = (3+ т/Г7)/4 точка максимума; 3) х = ( — 1)ря/6+ я1 точки максимума, х = я/2+ яй — точки минимума, й Е л; 4) х = (2+ т/7)/3 точка максимума, х = (2 — т/7)/3 точка минимума; 5) х = 4 — — точка минимума; 6) х = 1/2 — точка минимуыга; 7) х = 1 -- точка максимума, х = 2 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
