1610915389-9cf4bb28a9b372fd268dec258c2fd2e7 (824751), страница 69
Текст из файла (страница 69)
Первый эскиз графика дан ца рис 21.4, а. Данная функция на своей области определения бесконечно диффе- /х — 2 2х — 11х ж 12 ~l :с — 3 2(х — 2)(х — 3) и / х — 2 11х — 24 )/ х — 3 4(х — 2)з(х — 3)з (3) (4) Ркс. 21.4 ренцируема всюду, кроме х = 0 и х = 2. Вычисляем производные 4 21. Пост роение графи нов 399 Из 13) находим, что при х = 3/2 функция имеет максимум, равный у(3/2) = ОгЗ/2 га 0,9, а при х = 4 минимум, у!4) = 4~Г2 5,7. При х -1 2 — 0 касательная к графику станонится вертикальной, так как 1пп у'1х) = +со. Отметим егцс, что х — гг — о 1цп у'(х) = — тг72/3, 1пп у'(х) = ~/2,г3 — 0,8. Из 14) следует, что при х > 3 и при х < 0 функция выпукла вниз, в частности, зто означает, что график приближается к асимптоте свер- ХУ И ПРИ Х вЂ” 1 +со, и при х -+ — оо.
При 0 < х < 2 функция выпукла вверх. График функции изображен на рнс. 21.4, б. а хг — 4 -, з. Пример 5. Построить график функции у1х) = е вдз'!. а Функция определена при всех х Е й, х ф О. График ее пересекает ось абсцисс в точках 12: 0), ( — 2; 0). Функция положительна на интервалах 1 — 2, 0), 12;+ос) и отрицательна на интервалах ! — оо; — 2), 10; 2). В точке х = 0 функция разрывна, и 1нпу(х) =+ос, !1пту1х) = -О. х — 0 хЕО Отсюда следует, что х = 0 вертикальная асимптота графика при х — 1 — 0; при этом у!х) -+ -~-оо. Применяя формулу Тейлора для экспоненты, находим у!х) = (х — — ) (1 — — +, + о( —,)) = х — — — — + о( — ), х — ! со.
Отсюда следует, что график имеет наклонную асимптоту у = т — 5/3 Рис. 91.5 и приближается к ней снизу при х — 1 +со, а при х — 1 — оо — сверху. Предварительный эскиз графика показан на рис 21.5, а. 4ОО Гл.4. Применение производных и исследованию фрнннигг Вычисляем производные: (х — 1)(Зх + 8а + 20) в,гз, 9 (х) = зхз е (5) 47* 240* Ч 100 — гэ 9 (х) =— е ' 9х" (6) Из (6) находим точки пере гиба функции: х г — — 10(12 — ъг977) гг47 0,5, хг = 10(12+ ъг97)/47 — 4.,6, и вычисляем у(хг) 0,2, у(хз) 2,8. На интервалах ( — со; О) и (хг, .ха) функция выпукла вниз, а на интервалах (О;хг), (хг, .+ос) выпукла вверх.
Вычислив, как и обычно, еще несколысо точек графика, рисуем его (рис. 21.5,. б). а При построении кривой, заданной параметрически, полезно предварительно построить графики функций х(1) и 9(1). Удобно бынает разбить ось ца интервалы, на каждом из которых обе функции х(1) и 9(т) монотонны. На каждом таком интервале эта пара функций определяет функцию 9(х) Рнс. 21.6 или х(у), и здесь можно использовать все ранее указанные приемы исследования и построения графиков. гг ф Пример 6.
Построить криную х(с) =, у(1) = 4(1 — 1) ' 8(1 — 1) а Строим графики функций х(4) и 1г(1) (рис. 21.6). Укажем некоторые результаты исследования этих функций: х = — (1+1)гг4 и Из (5) находим, что на интервалах ( — ж; 0) и (1; +со) данная функция возрастает, а на интервале (О: Ц уоывает. При х = 1 функция имеет лгинимум, у(1) = — Зе в7з — 0,6. Находим еще, что 1пп у'(х) = — (20ггЗ) 1пп (1ггхз)е ~гзл = О,. с — >л-о с — г-~-О т. е. при х -г +О касательная к графику становится горизонтальной. 421. Построение графикое 401 С = 1 асимптоты графика х(С), С = 1 асимптота графика д(С), С(2 — С) , С (2С вЂ” 3) 4(1 — С)е е 8(С вЂ” 1)г ' С = 0 точка минимума функции х(С), х(0) = О, С = 2 - - точка максимума функции х(С), х(2) = — 1, С = 3/2 — точка минимума функции д(С), д(3/2) = 27/32. Отметим дополнительно, что: а) х = — (С, + 1) /4 + о(1), д = (С' + С + 1)/8+ о(1) при С вЂ” + — со и при С вЂ” е +со; отсюда следует, что С = — 4х — 1+ о(1), и, значит, д (1бхз + 4х+ 1)/8 при С вЂ” г — оо и при С вЂ” ~ +со; б) х Сз/4, д — Сз/8 при С вЂ” г О, откуда следует, что х дгСз при С-оО; в) х 1/(4(1 — С)), д 1/(8(С вЂ” 1)) при С вЂ” г 1, откуда вытекает, что д -х/2 при С -г 1.
Рассмотрим пять интервалов изменения переменной С: ( — со; 0), (О; 1), (1; 3/2), (3/2; 2), (2;+ос). На первом интервале значения х и д убывают от +сю до О. Из а) следует, что д — (1бх +4х+1) при х — ~ -1-оо 1 2 8 (это соответствует тому, что С -г -оо), а из б) следует,. что х дг~~, или д х~Сз при х — г +О (это соответствует тому, что С вЂ” ~ — 0). По этим данным и делаем набросок первой части кривой (рис. 21.7). С вЂ” > -~-сс На втором интервале знас- 1-ьо 1' С чения х возрастают от 0 до С С С +со, а значения д убывают ШЛ 1 — — — 1 С г от 0 до — со.
При этом из б) г и в) следует, что г" з, г --1 О н 1 , зрг д -х ~ при х -+ -!-О, С вЂ” г-ЬО к д д -т/2 при х -+ +ос — 1 — К С-г1-О (это соответствует тому, что Рис. 21.7 С вЂ” ~ 1 — 0). Выясним, имеет ли эта часть (говорят также: ветвь) кривой асимптоту при х — ~ +ос.
Находим, что !пп — = — —, 1нп '(д(С) + — х(С)) = —. д(С) 1-о1 — о х(С) 2 ' с-о1 — о 1' 2 г' 8 Следовательно, прямая д = — х/2+ 1/8 - наклонная асимптота кривой. В соответствии с этими результатами изображена вторая часть кривой. 4О2 Гл.4. Применение производных к исследованию функций На интервале (1; 3/2) значения х возрастают от — со до т(3,72) = = — 9/8, а значения д убывают от +со до 27/32. Из в) следует, что д — л/2 при т — 7 — оо (это соответствует тому, что 1 — 7 1+ 0).
Как и в предыдущем случае, устанавливаем, что д = — л/2+ 178 --" асимптота этой части кривой при х — ~ — оо (см. рис. 21.7). На интервале (3/2; 2) значения ю возрастают от — 978 до — 1, а значения д возрастают от 27/32 до д(2) = 1. На интернале (2;+со) значения ш убывают от — 1 до — сс, а значения д возрастают от 1 до +со, причем согласно а) д (16юз+ + 4л + 1) 78 при т — ~ — оо. На рис. 21.7 указано, каким значениям 1 соответствует та или инан часть кривой. На каждом из рассмотренных интервалов функции ю(4) и д(4) определяют функцию д(ю) (и функцию ю(д) ).
Для уточнения рисунка кривой обратимся к производным этой функции. Находим зт де ( 2) о 4(С вЂ” Ц (! — 3) а' 4 — 2 ' е* 4(! — 2)е при 4 ф 1, 1 ф О, 4 ф 2. Рассматривая эти производныс на введенных интервалах, устананливаем, что часть 1 кривой является графиком возрастаюшей, выпуклой вниз функции (д,,' > О, д,",, > 0), часть П - график убываюшей, выпуклой вверх функции (д„', < О, д,"е < 0), часть Н1 — график убываюшей, выпуклой вниз функции (д' < О, д~', > 0), часть 1Ъ' график возрастающей, ньшуклой вниз функции (д,,' > О, д,", > 0), часть 17 график убывающей функции (д,' < 0). В последнем случае кривая имеет точку перегиба при 1 = 3., ю = ю(3) = = — 9/8, д = у(3) = 27/16.
Кривая у выпукла нвсрх при х Е ( — 978: — 1) и выпукла вниз при л е ( — оо; — 9/8). Отметим еше, что 1пп д.,' = 0 и е — ема 1 для первой, и для второй частей криà — — —— вой (соответственно 1-о — О, 4-о+0), 27 22 т. е. касательные к кривой в начале координат и в точке (-9,78;27/32) -28 -! * горизонтальны. В точке ( — 1;1) ка- сательная к кривой вертикальна, Рис. 21.8 так как !пп у,'. = 1пп д,' = оо.
— — Š— ез' ' С учетом этих попых сведений делаем более точный рисунок кривой (рис. 21.8). 4 21. Пост роение графи нов 103 Пример 7. Построить график уравнения х + у = Зху (дскартов лист). (7) а В примере 5 2 11 (рис 11.14- 11.16) уже было проведено предварительное исследование этой кривой, являющейся в полярных координатах (х = г соа во, д = т зги,р) графиком функции 3 в1в уг сое 1о (8) сонг сг ж гйиг 1о Дополним это исследование, определив экстремумы и направления выпуклости и дав теьл самым обоснование рис.
11.16. Если соево = О, то из (8) слодует, что и г = О, т. е. получаем точку х = р = О. При сов 1о ф О, полагая 1 = 181о, придем к параметрическому заданию кривой г 1гж1' 1 1г ь1' (9) Из (9) и из того, что (19) следует, что функция х(1) строго возрастает на ( — оо; — 1) от О до +ос и на ( — 1: 1/К2) от — оо до К4 и строго убывает на (1/4 2;+со) Рис.
21.0 Рис. 21.10 от ~~Г4 до О (рис. 21.9). На каждом из этих интервалов функция х(1) имеет обратную, и, следовательно, функции х(1) и у(1) определяют функцию 9(х) при х Е (О;+со) (часть 1 кривой, рис. 21.10), при х Е е ( — оо; Г4) (часть П кривой), при х е (О; 4'4) (часть Н1. Находим 31(2 — 1г) "в'г— Ц (11) 2(1 + 1г)' З(1 — 21г)г (12) и а также йвй Гл.4. Применение производных к нееледееанию функций Из (11) и (12) следует, что д' < 0 при 1 Е ( †; — 1), т. е.
у(х) убывает при возрастании х от 0 до +со (часть 1 кривой), а так как д,", > О, то кривая выпукла вниз и, следовательно, подходит к асимптоте сверху. При 1 я ( — 1;1/ъ'2) функция д(х) имеет минимум при 1= 0, т. е. х = 0:, при возрастании х от — со до х~,, изз — — ~Г4 значения у(х) сначала убывают от +со до 0 (при х = 0), а затем возрастают от 0 до у~,, изз — — ъ'2. При этом д,", > О, кривая выпукла вниз и при х — 1 — со подходит касимптоте сверху. Поскольку 1пп у.„'. =+ос з-зз/ бз — о и 1пп у,' = — со, касательная к кривой в точке х = ~~з4, у = ()з2 з — зг/иззл-о (соответствует 1 = 11' ~~ 2) вертикальна. На третьем интервале 1 Е (1/ 4'2:+со) функция д(х) имеет максимум при 1 = ~~Г2, а х~;,— = ~зз2.
Этот максимум равен д~, з. — — ~~4. Поскольку д" < О, кривая выпукла вверх. Если х — 1 +О, что соответствует тому, что 1-++ос, то у,' — 1 +ос, т. е. в точку (О; 0) кривая "входит' с вертикальной касательной. Таким образом, получено полное обоснование рис. 21.10 и найдены две дополнительные точки (.~Г4; ~~з2) и (~~Г2; 4'4) с вертикальной и горизонтальной касательными. А ЗАДАЧИ 1. Привести пример такой дифференцируемой функции у =1(х), х с (О;+со)., что: 1) ее график имеет асимптоту при х -+ +ос, но 1пп г"'(х) не существует; 2) ее график не имеет асимптоты при х — г +ос, но 1пп г"'(х) л — зн-из существует.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
