1610915389-9cf4bb28a9b372fd268dec258c2fd2e7 (824751), страница 63
Текст из файла (страница 63)
е. (о(х) > О, х 6 (сц Ь). (6) Условие 7~~(х) > О, х 6 (а:Ь), (7) является достаточным условием строгой выпуклости вниз функции ф(х) на интервале (а; Ь). Условие (7) не является необходимым для строгой выпуклости. В самом деле, функция ф(х) = хл строго выпукла вниз на всей числовой прямой, однако ее вторая производная фо(х) = 12хг равна нулю в точке х = О. Аналогично, для функции ф(х), имеющей на интервале (а; Ь) вторую производную, необходимым и достаточным условием выпуклости вверх на этом интервале является условие фо(х) ( О, х с (а; Ь), а достаточным условием строгой выпуклости вверх .
условие г~~(х) ( О, х 6 (а; Ь). (О) Пусть функция ф(х) определена в некоторой окрестности точки хо, за исключением, быть может, самой точки хо. Если существуют интервалы (хо — Ь;хо) и (хо...хо+6), б > О, на одном из которых ф(х) строго выпукла вниз, а на другом строго выпукла вверх, то говорят, что при переходе через точку хо функции Дх) меняет направление вьтуклости.
3) Пусть функция 1(х) определена в некоторой окрестности точки хо, непрерывна в точке хо и имеет в этой точке конечную или бесконечную производную. Тогда если функция 1(х) при переходе через точку хо меняет направление выпуклости, то точка то называется точкой перегиба функции Дх). В этом случае точку (хо; ф(хо)) называют точкой перегиба графика функции ф(х). Если (хо,.г"(хо)) --- точка перегиба графика функции ф(х), то график функции ф(х) переходит с одной стороны касательной к нему в этой точке на другую ее сторону.
Заметим, что обратное утверждение неверно (см. задачу 62). На рис. 20.2 и рис. 20.3 представлены график функции у = хз и график обратной ей функции у = фт для которых точка (О;0) является точкой перегиба. Функция у = ф х ов точке х = 0 имеет бесконечную производную. Гл.д. Применение производных к исследованию функций 370 Функция (рис. 20.4) 1з'х, если х ф О, О, если х=О, у при переходе через точку х = О меняет направление выпуклости, в точке х = О имеет бесконечную производную, однако точка х = О не является для нее точкой перегиба, так как при х = О функция разрывпа.
Для функции д = таге точка х = О (рис. 20.б) не является точкой перегиба, поскольку при переходе через точку х = О направление выпуклости Ркс. 20.0 Ркс. 20.4 Ркс. 20.0 не меняется (это так называемая точка возврата). При переходе через точку х = О функция е1пх, если х > О, хз, если х< О, 2 меняет направление выпуклости, но точка х = О не являетсн длн нее точкой перегиба (рис. 20.6), так как в этой точке у функции нет ни конечной, ни бесконечной производной (это так называеман угловая точка). 4) Необходимые условия существованил точки перегиба. Если точка хо является точкой перегиба функции Г(х), то либо ги(хо) = О, либо тп(хо) не существует. Эти условия не являются достаточными.
В самом деле, длн функции 7(х) = х вторая производнан в точке х = О равна нулю, а для функции /хз, если х >О, (хз если х <О, вторая производная в точке х = О не существует, но ни для Г(х), ни для д(х) точка х = О не нвляется точкой перегиба. 371 угб. Исследование 4уннкил Точюч перегиба функции следует искать среди критических точек ес первой производной. 5) Достаточные условия существования точки перегиба (с использованием второй производной). Пусть функция 1(х) дифференцируема в точке хо и дванчды диффеРенциРУема в некотоРой окРестности точки хо, кроме, быть может, самой точки хо. Тогда точка хо является точкой перегиба функции хо, если существует окрестность точки хо, в которой либо (и(х) < 0 при х < хо и 1и(х) > 0 при х > хо, (10) либо (н(х) > 0 при х < хо и 1н(х) < 0 при х > хо.
(1Ц В этом случае принято говорить, что при переходе через точку хо вторая производная меняет знак. 6) Условия сущестоооания точки перегиба (с использованием производных высших порядков). Пусть функция г(г) имеет в точке хо производные до порндка н > 2 включительно., и пусть Г'(хо) = Г(хо) = "=.(~" 0(хо) = О, а 1'00(хо) ~ 0; (12) тогда если н †. — нечетное число, то хо -- точка перегиба: если же п четное число, то хо не является точкой перегиба. В частности, если Ун(хо) = О, а Ун'(хо) у1 О, то хо точка перегиба функции 1(х).
ПРИМЕРЫ С РЕШЕНИЯМИ Пример 1. Найти интервалы возрастания и убывания функции; 1) ~(х) = хт — 30хг + 225х+ 1: ( 1/е, если х<е, ) (1пх)/х, если х>е; ) ~( ) ' х' а 1) Данная функция всюду дифференцируема, причем 1"'(х) = Зхг — 60х + 225 = 3(х — 5)(х — 15). Так как ~'(х) > 0 при х Е ( — оо; 5) и х Е (15:, +ос) и 7" (х) < 0 при х Е (5;15), то на интервалах ( — оо;5) и (15;+ос) функция строго возрастает, а на интервале (5; 15) строго убывает. 2) Функция дифференцируема на всей числовой прямой, причем О, если х<е, (1 — 1пх)/хз, если х > е. Так как г'(х) < 0 при всех х, то данная функция является невозрас- тающей на всей числовой оси.
На интервале ( — сю;е) она постоянна, на интервале (е;+ос) строго убывает. 372 Гл.д. Применение производных к исследованию функций 3) Данная функция нвляется четной, поэтому достаточно найти интервалы монотонности при х > О. Решая при х > 0 неравенство )'(х) = —,, аш — > О, х. х получаем 0 < пз|х < л или 2лй < л7'х < и + 2лй, й Е И, откуда х > 1 или 17|(2й + Ц < х < 1Ч2й), й 6 И.
Таким образом, па интервалах (1; +ос) и (1||(2й + Ц;1||(2й)), й Е е И, функция строго возрастает. На интервалах (17'(2й);1||(2й — Ц), й е Х, очевидно, справедливо неравенство ~'(х) < О, и поэтому на этих интервалах функция строго убывает. Если х < О, то, используя четность функции, получаем, что на интервалах ( — 1/(2й): — 17|12й— — Ц), й Е И, функция строго возрастает, а на интервалах ( †; — Ц н ( — 1||(2й — Ц; — 1||(2й)), й 6 И, строго убывает. Следует обратить внимание на то, что данная фу нкция не является монотонной ни в какой окрестности точки х = О. В любой окрестности этой точки содержится счетное множество интервалов возрастания и счетное множество интервалов убывания данной функции.
а Пример 2. Найти точки экстремума функции Д~х) = (х + Цех'. А Функция иыеет производную при всех х 6 Й, причем ~'(х) = е ' + (х + Ц2е х = (2х + 3)еах. Следовательно, у функции может быть только один экстремум в точке х = — 3||2. Так как ~'(х) < 0 при х < — 3,|2 и ~'(х) > 0 при х > — 3,72, то точка х = — 3/2 является точкой строгого минимума.
А П р и м с р 3. Найти экстремумы функции 7'(х) = 2. — Рбх + 36х — 14. А Так как ~'(х) = 6ха — 30х + 36 = 6(х — 2) (х — 3), то критические точки функции х = 2 и х = 3. Экстремумы могут быть только в этих точках. Так как при переходе через точку х = 2 производная меняет знак плюс на знак минус, то в этой точке функция имеет ыаксимум.
При переходе через точку х = 3 производная меняет знак минус на плюс, поэтому в точке х = 3 у функции минимум. Тот же результат можно получить, используя вторую производную. Так как 1п(х) = 12х — 30 и 1о(2) < О, а ~'(3) > О, то в точке х = 2 функция имеет максимум, а в точке х = 3 минимуэ|.
Вычислив значения функций в точках х = 2 и х = 3, найдем экстремумы функции: максимум Д2) = 14 и минимум 113) = 13. А 420. Исследование функций 373 Пример 4. Исследовать на экстремум функцию: и л | = "",; ) ло = уа - ои -згг; 3) У(х) = сЬх+соях. а 1) Функция определена и дифференцируема при всех х Е Й, кроме точки х = — 1. Вычисляем ее производную; (х + Ц"3(х + 3) — (х -ь 3) 2(х -~- Ц (х ж 3)а(х — 3) (х, Ца (.+Цз и находим критические точки: х = — 3 и х = 3. Легко видеть, что существует окрестность точки х = — 3, в которой г"'(х) > О, т. е, при переходе через точку х = -3 знак производной не изменяется.
Сле- довательно, эта критическая точка не является точкой экстремума. В точке х = 3 функция имеет строгий минимум, так как существуют левая окрестность этой точки, в которой 7'(х) < О, и правая окрест- ность этой точки, в которой г(х) > О. Вычисляя значение функции при х = 3, находим минимум: л(3) бз 74з 2) Функция определена и непрерывна при всех х Е й. Вычисляем ее производную: (1 — х) 2(х — 2) — (х — 2) 4 — Зх ЗУЕВ-Оси -тГ зугг-Оси -Е ' В точках х = 1, х = 2 производная не существует. Таким образом, функция имеет три критические точки: х = 1, х = 4,73, х = 2.
При переходе через точку х = 1 производная не меняет знака, поэтому критическан точка т = 1 не является точкой экстремума. При пере- ходе через точку х = 4,73 производная меняет знак минус на плюс, поэтому в точке х = 473 функция имеет минимум. При переходе че- рез точку х = 2 производная меняет знак плюс на минус, поэтому х = 2 точка максимума.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
