1610915389-9cf4bb28a9b372fd268dec258c2fd2e7 (824751), страница 59
Текст из файла (страница 59)
Доказать, что !пп В = 1 л — )о и-Ь1 36. Представить формулой Маклорена с о(хз) функцию: 1) е'в', 2) е ' з'"'; 3) с1)(в)пх); 4) сов(в1)(х/л))5)); 5) (1 — х+аз)з; 6) 1псовх. 37. Представить формулой 31аклорена с о(хз) функцию: ) ) )) — + * ) ))1 з- * + * ); 2) Лтз 2 . — о — е) — з* -~~ . ; 3) В) — Э* 2*; 4) Лз)Ю *), В) ." ", б) ) ')1 — *)2), 7) )1 + )')', й) у)з 3 ) *; 9) ) )) -; — .е ). 38. Представить формулой Маклорена с о(хл) функпию: 1) еелзь)е; 2) 1/(вшх+совх): 3) 18(в1)Зх); 4) вш(агсздх); 5) х/(ех — 1); 6) 1/сов х; 7) х/агсвшх; 8) х/агс18х; 9) е'"и'. 39.
Представить формулой Маклорена с о(хз) функцию: 1) (1 — 2х+ Зхз+ 4хз)з. 2) 1п(1+х+ха+ тз). 3) 1 сов х 4) с*7'У)зз; 5) 1п '; 6) , ; 7) (1 + х)"' * х ' 1 — 1из(1 + х) ' 418. Формула Тейлора 337 40. Представить формулой Тейлора функцию 7'(х) в окрестности точки хо с о((х — хо) ): 1) 7(х) = тих, хо = О, и = 6 3) 7(х) (6 тсс1 1074)сосгл хо = О, и = 9:, 4) 7'(х) (хг 1)ззтз хо = 1 п = 1973. 41. Найти такие числа А и В, чтобы при х -+ 0 были справедливы асимптотические равенства: 1) 4е' — = — — х — — х + о(х'); 1 г "' з .з. 1 — х 2 6 2) яп х(А + В соа х) = х + о(х'); 3) .4агсяпх+ Вагсгдх = — х — — ха+ о(х ); .3 1 3 .а 2 8 4) 18х = ',, -~- о(хз).
1+ Вхг 42. С помощью формулы Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа (25) приближенно вычислить (с точностью до 10 з); 1) Я27; 2) (783; 3) оа72осО; 4) з7е; 5) яп85', 6) сов 72'; 7) 1п 1,3; 8) агс18 0,8. 43. Оценить с помощью формулы Тейлора (25) абсолютную погрешность приближенных формул: хь лз х 1) е' - ~ ~—,, 0 ( х ( 1; 2) з1пх - х — —, + —,, (х! < 1: ь=о хг хс х 3) созх - 1 — — + — — †, (х~ < 0,5; 2! 4! 6! ' хз 4) 18 х ге х + †, (х! < 0,1: х х х 5) 1п(1+ х) — х — — + — — —, ~х( < 0,1; 2 3 4 ' 6) згТ+ х — 1 + — — — + —, 0 ( х < 0,2. 2 8 16' 44.
Вычислить с помощью формулы Тейлора (25); 1) е с точностью до 10 7; 2) ь710 с точностью до 10 3) яп1' с точностью до 10 о; 4) сов 5' с точностью до 10 з; 5) 4'30 с точностью до 10 з; 6) 1811 с точностью до 10 л. 45. Доказать, что длн всех и Е М (и ) 2) выполнлетсн равенство 1 1 1 У е=1+ — + — +...+ — + 1! 2! и. ьй и гдеО<В<1. 46. Пусть функцин 7(х) такова, что при всех х б Й справедливы 338 Гл.4. Приненение производных к исследованию функций неравенства Х(х) > О, Х'(х) > О, Хо(х) > О, Х'и(х) > О.
Доказать, что существует число и > 0 такое, что Х(х) > охг при л~обом х > О. 47. Пусть Х(х) е сйг~[0: Ц, Х(0) = Х(1) = О, и пусть существует число ЛХ такое, что для всех х 6 (О;1) выполняется неравенство ~Хо(х)~ < ЛХ. Доказать, что (Х'(х)! < ЛХХ2 при х 6 (О;1). 48. Пусть функция Х(х) дважды дифференцируема на 17, и пусть ЛХе = впр фь~(х)( < +ос (1: = О, 1, 2). Доказать, что ЛХ~~ < 2ЛХаЛХг. еея ОТВЕТЫ о / п ь=о ь — о о п 3) ~ х~ + о(х"); 4) ~~ 2ехь + о(х"); ь=е у=о 5) ~( — 1)ь ', ха + о(хо); ь=о п 2" 2к — 1и 6) ~( — 1), х +о(хи); в=о 7) 1п2+ ~~~ (-') тф + о(х"): у=1 п о 8) ~~ ( — 1)ь П , хь + о(х"); 9) ~ ~(й + 1)х" + о(л.").
у=о е=е п ц 1+~ ь+ ( и) 2) +~ ( ) й+ ( о). и ( 1)е 3) 3+ ~(3+ й(1с — 1)2ь ), х~ + о(хо); у=1 4) 1 + — х — — хг — ~ ' х ч- о(х") 3, 9 г 3(21 1Н2к 5)и, е 2 8 2ьк! ь=з 5 5) — 31п6+ (21пб — -)х+~ ( — 1)У ( — ) х" +о(хи), е=г 6) ~ ха+о(хо); ь=-~ 34О Гл.4. Применение производных н исследованию фуннций 6) ~ ~(2( — 1)»3 (й+Ц вЂ” 2»"+'1)х" + о(хи); й=о и 7) — + 2 (( — 1)» 3 1~и ~1 — Цх» + о(хи); й=1 1 — 1й' — 7 2 8) — + ~ ) хй + о(хи); 2 3 й=1 9) — 4- ~~ (( — 1)й 2»й+'1 — 1)хй + о(х").
2 й=» — Ей»1 й=.о и — 1 ай-1-1 + (, аи). (2й)! — 1 '2~ 3) ~ ~( ) х й+~ + о(хз"): (2й)! й=1 2» — — (3ий-н» 1) ей--1 + о( е.. ~-~ 2(2й -и Ц! (1 — 3ай) хайн 1 + о(х'и); 4(2й -Н Ц! й=е 3 '' — 1 7) ~~ Х~й+1+О(ХЕи); 2(2й+ Ц! 8) ~ ~( Ц 22» 1(1 — 22й)х йн.» 4- о(хеи) ~-~ (2й з; Ц! 6 Ц 1 — хе+ ~2( — 1)»х»+о(хаи) 3й — 1 + о ( х и ) й=1 ( — Ц" вЬ ((й н- Ц 1п 3) х +о(х "; й=о с 3+ (-Цй ий с (-Ц" ' — 3 ай-~.» + о(х и); с"л.
4. Прииенение производных к исследованию функций и п ( — 1) ' 2 — 1 2й 'с 1+ ( — 1)й2 2й-н! й=о — + о(х и 2) ~ 1 (3 — <й-10 3-1й-111)хзй,,з(хз з-1). й=.о 3) з Сй 1. ( ) хзй+ н Сй ( ) хзйз-1+ о(хзпз.1). -172 211 1 х ~ 1!2 4й 1с= 1 1=О п 4) ~ Сй "2 (й'з72) (1+ ( — 1) й)хзй 4- о(х'и' '). 1 — О и ц) ~ Сйс 1хзй + (х2сс- 1). с 1 с 2 1с= 1 зс=.! и 10. 1) ~ ~— (2 с~с 0 — 3 сй+~1)хек + о(хзи); Х сс2 й=.о и 2) 11 +Е(2( — 1)1 — 3 2 1й "1)хзй+о(х'и); й=1 п и — ! 3) т хзй ~~, 'хзй-11+о(хз.) й=о й=о 11. 1) Е(-1)й(~+1)хзй"1+ о(хз"-"1); й=а 'и 2) + ~~, з " ,зй + „(,з х1) 2 й й=1 3) ~(( — 1)й2 й + 7 1)хзй + о(хз"х~).
й=а и 12. 1) ~ (х — 2)" ц- о((х — 2)и); й=о 2) ~С1,12(х — 1) + о((х — 1)п); й=о й . 3 ) ~ 2 з 1 и ( й и / 2 1 ) ( ц й ( ( ц й=о е — 21 — 1(й 2) 4) — е з + ~ ~е , (х + 1)1' + оИх + 1)и); З44 Гл.4. Применение производных и исследованию фуннций 15. 1) 3 + ~~~ ( — 1)«(т — 2)« + о((т — 2)и); «=1 2) ~~ (т — 2)" + о((т — 2)и); «=г 3) †' + " „ , , (х — 10)« + о((т — 10)"); п 4) — — +~ ( — — )( — ) (т+ — ) +о((т+ — ) ); Еи! 5) 2+ — (т — 1) + ~~ (-1) + оЯх — 1)"); и 6) 3+ ~~ (-1)«(т — 3) + о((т — 3)и):, «=г 7) ~ ~(, — —,)(т+2)" +о((т+2)и); «=о 8) ~ ~й(т — 2)«+ о((т — 2)и).
«=1 й 1. 16. 1) ~ „(т+ 2)" + о((т + 2)и); 2) 1 + ~~~ (1 — 2 «')(т — 1)" + о((т — 1)"); и 3) -'+~'(3- „',)(т-3)'+о((т-3)"); «и1 4) ~( — 1)~+~ (1 + „, )(т — 2)" + о((х — 2)и); «=о 5) — + — (т — 1) + ~(1+ 2 ««~0)(т — 1)" + оНт — 1)и); «=.г 6) — 6(т — 2) + ~ ~( — 1) ' «(й + 1)(й + 4) « 2 (т — 2) + о((т — 2)й).
й 17 1) Х, —,(, +1)г'+ акт+1)ги); «=о и — 1 2) ~~, 'е-г13 (т+3)г«м«+о((т+ « — о 218. Форлгдла Тейлора п — 1 3) (х+ 2) 1п3+ ~~~ й (х+ 2) ~' +о((х+ 2)ги); йи1 и — 1 е гй-1 4) ~~,— ( цй-1 (х о) + о((х 5)гп). 1г 1=1 и 5) 1п2+~~ ~ +( „+ — )(х — Ц )+о((х — Ц и). й=1 и 13.
Ц 1+ ~ „" (х — Ц'"+оКх — Цги); й=1 и — 1 2) (х+ Ц+ ~( — Ц" ' " (х+ Цгй+'+о((х+ Цги); й=1 и — 1 (х — 2) + ~ ( — Ц (2п — Ц!! ( 2)гйй1+о((х — 2)гп) 2 22" '(2й)!! й=1 п — 1 4) (х — Цг+ ~ "', (х — Цгй "2+ о((х — Ц и); и-2 5) (х + Цг + ~ ( ) ( ) (х + Цгй-йз + о((х + Цги).
2" й! й=1 п — 1 . Ц Е ( ') ( — Цг""+ ((Х вЂ” Цги); 41; 1 — О п — 1 )1' 3 ( )гй-йг й=о и и — 1 й-,г 3) Е(- )й""х "' +Е(- )"-" +.((- — )2) 1 — О 1 — О и ц ~~, (х+ 2)'1 + о((х+ 2)гиа1). й=о 2) ~ ', (Х вЂ” 3)21 +ОИХ вЂ” 3)го+1); й=о ( Цй(й 22(1 2)й ( 1)гй (( 1 ~гил-11 й=о е-221 4) ~ , ((х + 2)2" + (х + 2) 1" ') + о((х + 2)2" ~'); й=о (!п2)й 5) ~~~ (х+ Цгй+ о((х+ Ц "" ); 1-=1 34б Гл.
4. Прииенение производных к исследованию функций и (1и 2)1 1 6) — — + ~ „, (й — 1п2)(х — Ц2" + о((х — Цхи ~'); 7) ЕЗ+~ . ( )(Х Ц2У+О((Х Цаии1) й1 21. Ц ", ( ) ( ) (х Цхй+ оЦх Ц2" 11). 4(2й)! 3. 6 ~ ~т 2" из ( — Ц"Зев и (2й+Ц. (х 6) ~ 2(2й), (х 6) "((Х- -) и") 3) ~, (х+ — ) + о((х+ — ) ): и 4 ~й-~ ( 4(2й)! (2й — 2)! ) ( 2 ) + о((х — — ) "~ ); Цй — 3 21 — 1 зй 1 1 21 8 ~ 2 ((2й — Ц! 4(2й Ц- Ц1) ( 2) "((" ~) аи") ( Ц 3 2й 22.
Ц 1+ ~~~ „(х — 4)2й+ онх — 4)~"~ ); 1=1 2) 1пЗ+ (х+ Ц!пЗ вЂ” ~ ' — ~ ' + й=1 + (( + ц2ий1) 2 21 4 2 2~ '(й — 4) 4) — 21пЗ+ (1пЗ+ — )(хц-2)2+~ ~' (х+2)~йи- 3 Зйй(й — Ц + о((х и- 2) 2" ' 1). 23. ц ~ ~С~,р (х — 2)2~и' + о((х — 2)2"и'); а=-в 2) — + — (х — 2) + ~ „ " ((х — 2) + (х — 2) 1 1, (2й — Ц!! 2Е , 2й-1-1 Л из5 Л 10" й1 о((х 2)2и-н1), и 3) 1 + (х — Ц + ~ " „ ' Нх — Цей + (х — Цай+") + 1=1 + О((Г, — цеи Н1) у!е. Формула Тейлора з»7 и — 1 '.1) ~~1 Сзл»1211"'/з(х — — ) + о((х — — ) ): й=о и 5) — ~~1 2з~» з(х — -) + о((х — -) ):, й=о и 6) 3+ ~(х — 2) л + о((х — 2) и» ~); 7) ~ ( — — )(х+ Цз" + о((х+ Цз"»'); (5 2з 5/ 1=1 и 2+4(, цз+ т, ( цл»1(2 л + 3Сз — 1)( цзл+ л=з + 11((Х ЦЗи»-1) 24 ~~, ' 2(1п2) (, цз + о((.
— ц'»и). л. а и 25. (х — 2) + ~ ~( )" (х — 2)зй '+о((х — 2)зим/) 24" й! й=1 и ( цй 1~1 26. ~ 1/з (х — 2)зй»1+оКх — 2)зи»1) 241' ' л=о 27. — 1 — — (х — Ц вЂ” ~( "+2 ")(х — Ц + 1 з / (2й 3)8 (4й — 3)!! 1»л з 2 (2й) 9 (4й)!! ) й=з + о((х — ц и"'). и — 1 1, 28 ц ~-~ ( — Ц 'сов 2 ( ц»з»-з ~ ( — Ц с4п2 ( ц»1, (2й + Ц! ~-~ (2й)! лю= о + (( -ц"*); и — 1 1, и ( Ц с4п1 ( 2)»ЗЕЗ+~ ( Ц соз1 ( 2)»й+ (2й + Ц! ~-з (2й)! + о((х — 2)»и): и — 1 1, з зл ( — Ц 3 соз1 ( ц»1.1.1 ~ ( — Ц 3 злп1 ( (2й -> Ц! ~-л (2й)! + о((х + Ц "). 29. Ц /з( — Ц й»~( — ) ', +о((х — — ) ); у=о 2) ~~ ( — Цл'( — ), +о((х — — ) ); й=а и и ( ) ъ/а(х+ /~)»л».з + ~, ( ) ( + / )»лез+ (2й»- Ц! (2й»- Ц! у=о у=о + (( + )» мз), д1д.
Вычисление пределов с памащью формулы Тейлора 349 119. Вычисление пределов с помощью формулы Тейлора СПРАВОЧНЫЕ СВЕДЕНИЯ 1) Пусть требуется найти 1пп, где г"(О) = д(О) = О. Предпоф(х) л-оо д(х) лагая, что функции Т и д можно представить формулами Маклорена, ограничимся первыми отличными от нуля членами в этих формулах: 1(х) = ах" + о(х'), а ~ О; д(х) = Ьх~+ о(х~), Ь ф О. ш и' то у(х), ихи+ а(хи) а 11ш = 1пп (1) л-оо д(х) л-оо уха Ч-а(х") Ь Если п>т, то (2) 1пп =О; л-оа д(х) если же ш>п, то Вш ф(х)— (з) е — оа д(х) 2) Формула Тейлора часто применяется для вычисления пределов ; а.))"*', где Т"(х) > О, 1пп 1(х) = 1, 1пп д(х) = со. л — оао л-лао Рассмотрим сначала случай хо = О и предположим, что функции 1 и д представляются в виде Т(х) = 1+ ахь + о(х~), д(х) = 1/(Ьхь + о(х")), х э О, где ар-.О, ЬфО, ЬЕ Н.
Таккак 1пп(1+ ах + о(х )) Д'* мЩ' О = е, 1ш л — оо ' л — оа Ьх" + а(хь) Ь ' то 11п1(Т(х))вол1 = 11ш(1+ ах~+ о(х ))'~ом +фа О = е~~~. (4) е-оа *-о Если 1 -е аохь -~- а(хн) Ьхь -1- а(хь) причем ифО, а~фО, Ьф-О, 1сЕИ, то 11вп(ф(х))в1о1 — е1~ щПь (о) х — на Заметим, что для вычисления предела функции ®х))вйй при х — ~ О можно предварительно найти предел ее логарифма, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
