1610915389-9cf4bb28a9b372fd268dec258c2fd2e7 (824751), страница 56
Текст из файла (страница 56)
вшх — х сов х Пример 4. Найти 11ш х-20 вшз х А Замечая, что яп х х при х 2 О, .по правилу Лопиталя находим Следовательно, искомый предел равен 9,22. д яах — хсовх . япх — хсовх !пп ., = 1пп х — зо япз х х-хо Хз совх — совх+хяах 1 . яах 1 = 1пп = — 1пп = —.
А хзо Зхз Зх ~0 Х 3 вЬ х!0(1-Ь х) Пример 5. Найти 1пп * — зо 19х — х д Замечая, что 1п!1+х) х, вЬХ - х при х 2 О и примення правило Лопиталя, получаем в!2 х!п(1-Ь х) . х' 1пп = 11пз х-20 16 х — х .2-20 16 х — х Зх . Зх = 1пп , = 1пп , сов х = 3. А .х-зо 1/совз х — 1 х — зо яп'х Иногда при вычислении пределов правило Лопиталя приходится применять несколько раз. х'о — 10х -1- 9 П р и м е р 6. Найти 1пп хзз хз — 5х -с 4 А Применяя правило Лопиталя, снова получаем неопределенность 0 0 хю — 10х -!- 9 .
10хо — 10 1пп = 1пп — хз — 5х -Ь 4 х-22 5хх — 5 Пользуясь еще раз правилом Лопиталя, находим 10хе — 1О . хз — 1 . 9х' 9 1пп „=21пп =21ш —, зх 5хх — 5 х — 22 х' — 1 х-хз 4хз 2 т 77. Правило Лояиталя 327 , а Пример 7. Найти 1пп — ', где а > О, Д > О. л — ~жсс Вдл я Пусть й = (и]+1; тогда и — 72 < О. Применяя правило Лопита- ля Й раз, получаем — о(о — 11..Ло — ~ ч- 1!ха-ь 1пп — = 1цп =...= 1пп ' ' ' ' =О.А л — ~з- х сд* — ~з-ж Леал * — 22-со г!ьедх 1па х П р и м е р 8. Найти 1пп, где сс > О, Д > О.
л-2-~-сс Х !п х А Пусть!пх=1; тогда х=е' и 12п2 = !пп — =О (при- л — ~з-со Ха 2 — 2З-ос Вас мер 7). а Неопределенности вида О со и ос — со часто удается свести к О оо виду — или — с помощью алгебраических преобразований, а затем О осс применить правило Лопиталя. Пример 9. Найти 1пп х1пх. я — 2 з-0 я Преобразуя неопределенность вида О оо к виду — и применяя правило Лопиталя, получаем 1пх . 122Х 1пп х1пх = 1пп — = 12ш о = !пп ( — х) = О. Я * — 2з-0 * — 2-го 122Х * — 2-во — 1/хв — 2-го 2 Пример 10. Найти !пп — е *-20 Х'В лс Полагая 122х~ = 1, получаем 1пп —,, е 2* = 1пп — = О.
А — 1 х х-во хоо с — 2-~ос ес 7 ! Пример 11. Найти 1цп ( —, — с!82Х). а — 20 х- О я Преобразуя неопределенность вида со — со к виду — и исполь- О зуя асимптотическую формулу гйпх х при х -в О, получаем ( 1, 2 1 . хпвх — х сових; 2 11ш ( —, — 018 х1 = 1цп *-~0 ~хс / ХМО Х2ВШ Х = 1пп (вш х -!- х сов х) (в!и х — х сов х) Х вЂ” 20 хосйп х в!пх-Ьхсовх . в!пх — хсовх = 1пп . 1цп я — 20 х хв Так как в!ихЧ-хсовх,. вшх,... вшх — хсовх ! 1ш2 ' ' = 1ш2 + 1ппсозх=2, а 1пп ' Х,— 20 х л — 20 х х — 20 с; — ~0 хз 3 (пример 4), то искомый предел равен 2223. А При вычислении пределов функций вида 02(х) = (7" (х))всх2 часто приходится раскрывать неопределенности вида 00, соо, 1'-'.
Представляя функцию 222(х) в виде ср(х) = сайд!от!и!2 можно свести вычисление предела функции д(х) 1п 7"(х) к раскрытию неопределенности вида О. со. Гл.й. Применение производных к исследованию функций 328 Пример 12. Найти 1цп х*. х — »-~-О 4» Так как х" = е"их, а 1ш1 х!пх = 0 (пример 9), то 1нп хх = ,о х — »-!-О х — »-!-О =е =1. А Пример 13. Найти 1пп (япх)свх, х-»л»»2 А Так как (яшх)'"х = е'Я "и "ах = ср»»»»»» "П"Я*, то, применяя правило Лопиталя, получаем 1всйпх с!8 х 1цп ' = 1пп, = 1пп ( — соях я!пх) = О, — О!8 х х — »л72 — 1/ Яш х х-.»л72 а, следовательно, 1пп (я!пх)'в' = е = 1. А х — »л/2 Пример 14.
Найти !пп (х + ъ7х~ + 1)'7 ь". х — »я-са а По правилу Лопиталя находим 1п(х -!- я»х'-'+ Ц . 1/л»»ха+ ! 1пп — 1шт х — »-Ьах !и х * — »я-ж 1/х И ПОЭтОМу 1ПП (Х+ Ь»сХ2+ 1)» "' = Е. Е» х-».Ь со ЗАДАЧИ Найти предел функций (1 — 75). Зх -!-4х — 7 . 1псоях . 1п(х — 8) 1. 1пп 2. 1пп 3. !1ш х а2 2хе + Зх — 5 х-»о !и сов Зх *-»з 2хе — 5х — 3 сЬ2х — 1, в!пах — в!пух 4. 1пп, . 5.
!!ш' ', а~5. х — »о хе х — »О вЬах — ОЬЬХ 6 Г х — 1, 3 ~ О. 7. Г !исояах х»2 ХЯ вЂ” 1 ' х--»О хха — ах ха ах 8. 1!п1, а>0, а~1. 9. 1ш х — »а ах — а» ' х — »а ха — аа 1п(1 -Ь х) — х . !»»((2!'к) асссоя х) . !в СЗ х 10. 1пп 11. 1пп 12. !пп * — »О !82х *»О 1п(1-1- х) х — »л74 О!8 2Х 4сйп х — 6яшх+ 1 4 !..св — Зх + 7х — 5 1цп 14. 1пп ' х — »л7я Зв!п~х+5яшх — 4 х — »~ х» — 5х+4 П х 1 10 ! х» Ох — х — 2х 17 !. ОгсФК (х — Ц ах — ° + е»:» хв — Зх'+ 7х — 5 /зсяех — 1 18. 1пп я, ' . 19. 1пп х-»с хе+ 2хя — 9х+ 6 х-»л7я 2вш х -!- 5вшх — 3 соя(2т+ Цх )»1 и Е А( 21 Пп хассе!пх ; »л»2 соя(2я -Ь Цх ' х — »о хсоях — сйпх х — сйпх .
(х+ Ц1п(1+ х) — х 22. 1ш1 ' . 23. 1ш х.— »О СЗг, — х х — »О е* — х — 1 24. 1ш 1п((1 -Ь х)/(! — х)) — 2х . (а Ь х)* — о, 25. 1'пп , а>0. х — »О х — яшх х — »О х» 217. Правило Лвииталв 319 26яЗх — 019х . 710 — 2х+ ! 26. 11пг 27. 1ип ' х — Го Засосах — агсгцЗх * — »1 хвв — 2х+ 1 28 11 Гя х — х 29 1! яп 2х — 2х :с»0 1пв(1+х) х — ~о хвагся!пх 30. 1пп 3 . 31. 1ип ! ", !. :с — ~о вгсяпх — 1п(1+х) х»Г ~ (х — 1)х хвв — 50х + 49 . 2х' 4- Зхв — 4х — 9», — 4 32. 1ип 33. 1ип х — 11 хяв — !00х+99 х — » — 1 Зх' 4-охв 4-Зхх я Зх-р 2 34. 1пп атв 1 — (о 4-1)х"'1+ х х — »1 (х — Ц» 35.
11пг . оГЗ ф О. 36. 1пп х-»1 (1 — Х")(! — Хя) ' х-»1 Х вЂ” Хх 37 ! е е 38. ц х'+х — Зх — Зх — 2 х — Го яшх — х хн .1 х»+ 2хв — 2х — ! 39 11 !11 л 40 11 1п яп х 41 1. !а(х — х/2) . — ~.~-0 1пвпах -»в-о свях Г,/всо Гях 1п(! — сов х) . 3 -~- !ах 1пп 43.
1ип х — »В-о 1п 18х:с — »+о 2 — 31пяах 44 1пп ' 45 1нп х)хсю евх х»ххс,х/2х 4- Зх/!ах ех 46. 1шг ' . 47. 1пп яшх1п с!8х. х-»В-сю Х» 1»Р х х — »О /2 48. 1ип х1п ( — агсгдх). 49. 1нп х"е ' . х — »В-сс в х-» ' сю 50. !ип (т — 2агсгяг/х)1/х. Х вЂ” Г-ВСю 51. 1шг х(х — 2агся!п(х/1~/х~ + 1)). х — »В-сю 52. 11ш х 1п~(1/Гх), о > О, ГЗ > О. 53. 11пг (хх — 1) 1пх. х» 1-0 х -»-~-0 54.
!пп х~ах, а > О, а ф 1. 55. !гш ( х»-~-юс *-во 1 В!ПХ Х / (1 1 1 . (1 1 56. 1ип ( — — 1. 57. 11ш ( —,— х — »О гх агсяпх/ х — »О гхв яп х) (' '1 ( 58. !ип (- — 1. 59. 1шг ( х — »о Г.х ех — 1/,à — »о ',хагсгях хв/ ( 7/В 6/71 в ) 61 1 ( /» 1 Ц х — 14сю х — »1 1 ! — х" 1 — гп / 62.
!ип хг/(х 1). 63. !ип ( — агс18х) /2 х — »1 х — »,сс ГГ /2 64. 1нп ( — агссоях) . 65. 1ип(соя х)1/х . х — »О ГГ х — »О )1/х ., 1/х 66. 1пп (1+х)1"'. 67. 1пп ( ) х — ГВ-О х — »О Е 68 йп (агсягп х) св 69 1ип х1/1 ( вь ) -вГО -14О ЗЗО Гл.д. Применение производных и исследованию фрннцш1 70. Ппз (зг — 2х)'""". 71. 11пз хз х — зпз'2 — 0 х — зжо 72. 11ш (18х)сов< 73.
1цп (Зхз+3')~~ . л — зп/2 — 0 л — з-Ясо 74. 1пп [1пх[2*. 75. 1шз (1/х)ы"'. е — ~я-О з — зя-0 76. Показать, что следующие пределы не могут быть вычислены по правилу Лопиталя, и найти эти пределы; х -Ь соя х,, х я1о(1/х) * — з~ Х вЂ” СОяХ з:-зО СйояХ 77. Выяснить, можно ли применить правило Лопиталя для вычисленин предела 2+ 2х+ я!п2х 11ш х — зсо (2х + яш 2х)е'и'* Найти этот предел, если он существует. /(о, + 5) + /(о — 5) — 2/(и) 78. Найти Пш ' предполагая, что суп-~0 пз ществует /о(о), /(о + 35) — 3/(а -~- 25) + 3/(и + 6) — /(и) 79.
Найти 1пп , предполай- о дя гая, что существует /'о(о). (е в~х, хфО, 80. Показать, что функция Д(х) = ~ ' ' ' ' бесконечно [О, х=О, дифференцируема на всей числовой прямой, и найти /60(0), й Е И. 81. Найти предел функции: 1) 1пп 1п х 1п(1 — х); 2) 1пп 1пх 1в(1+ х) з — з1 — 0 з — зя-0 /х соя х — соя Зх + хя соя(х/х) 3 1пп з — зо 4) 11ш х[(1+ о/х)звзГх — х ОТВЕТЫ 1. 10/7. 2.
1/9. 3. 6/7. 4. 2. 5. 1. 6. а//1. 7. -оз/2. 8. сзоо " '/1по. 9. 1 — 1по. 10. — 1/2. 11. — 2/г. 12. — 1. 13. — 1/4. 14. — 6. 15. 1. 16. 15/4. 17. О. 18. — 2. 19. 16/105. 20. ( — 1) "(2т+ Ц/(2п+ 1). 21. — 3. 22.
1/2. 23. 1. 24. 4. 25. 1/а. 26. 2. 27. 9/14. 28. 1/3. 29. — 4/3. 30. О. 31. 45. 32. 49/198. 33. — 1/6. 34. а(а+ 1)/2. 35. (а — Н)/2. 36. 1/2. 37. 1. 38. 3/2. 39. 1. 40. О. 41. О. 42. 2. 43. — 1/3. 44. 0 при у > 0 (а,,д любые), при ",~ = О (а < О, Д любое; а = О, ,3 < 0); +ос при у < О (а, )1 любые), при 7 = 0 (а > О, Д любое; а = О, /д > О); 1 при а =,6 = 7 = О. 45. О.
г!8. Формула Тейлора зг> 46. 0 при и > 1 и при а = 1, В > -1, 1 при и = 1, Д = -1; +ее при о<1 и при о=1, ф<-1. 47. О. 48. -2гл. 49. О. 50. 2. 51. 2. 52. О. 53. О. 54. 0 при О < ег < 1 (о любое), +ос при а > 1 (о любое). 55. О. 56. О. 57. — 1г3. 58. 1г2. 59. 1г3. 60. +се. 61. (а — д)г2.
62. е. 63. е гга. 64. е гг". 65. е 66. 1. 67. е 'гг. 68. 1. 69. е. 70. 1. 71. 1. 72. 1. 73. 3. 74. 1. 75. 1. 76. 1) 0; 2) 1. 77. Правило Лопиталя неприменимо, предел не существует. 78. гв(а). 79. ~"'(а). 80. ~~л~(0) = О, ге е И. 81. 1) 0; 2) О; 3) 4; 4) а. Л 18. Формула Тейлора спрдвочные сведения 1) Пусть функция Д(х) определена в окрестности точки хо, имеет в этой окрестности производные до (и — 1)-го порядка включительно, и пусть существует (ОО(хо).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
